徐瑞莉 方建會 張斌 王菲菲

(中國石油大學(xué)理學(xué)院，青島 266580)

Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性導(dǎo)致的一種守恒量*

徐瑞莉?方建會 張斌 王菲菲

(中國石油大學(xué)理學(xué)院，青島 266580)

研究Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性導(dǎo)致的一種守恒量，給出無限小群變換下Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性的確定方程，得到Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性直接導(dǎo)致的一種守恒量及其存在條件，并舉例說明結(jié)果應(yīng)用．

非完整系統(tǒng)， Nielsen方程， Lie對稱性， 守恒量

引言

對稱性原理是物理學(xué)中更高層次的法則［1］．尋求守恒量是對稱性理論的重要用途之一，動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量研究在數(shù)學(xué)、力學(xué)和物理學(xué)中具有極其重要的理論意義和實際意義．近代分析力學(xué)中尋求約束力學(xué)系統(tǒng)守恒量的方法主要有Noether對稱性［2］、Lie 對稱性［3］和 Mei對稱性［4］，這三種對稱性導(dǎo)致的守恒量主要有Noether守恒量、Hojman守恒量和 Mei守恒量［5］．近年來，人們對各類力學(xué)系統(tǒng)Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性導(dǎo)致的Noether守恒量、Hojman守恒量和Mei守恒量的研究取得了一系列重要成果［6－14］．隨著其研究的不斷發(fā)展，尋找新守恒量的研究受到了人們的關(guān)注．文獻［15］給出了Lagrange系統(tǒng)Lie對稱性直接導(dǎo)致的一種新守恒量，文獻［16］進一步研究了Lagrange系統(tǒng)Noether對稱性和Mei對稱性導(dǎo)出這種新守恒量，Nucci［17］在文獻［16］的基礎(chǔ)上對其中算例具有的這種新守恒量做了更細致的研究．

約束動力學(xué)系統(tǒng)的各種運動方程可分為三大重要體系:Lagrange體系、Nielsen體系和Appell體系．關(guān)于Nielsen體系中Nielsen方程的對稱性與守恒量已有許多研究．王樹勇和梅鳳翔［18］給出了Nielsen方程Noether對稱性與Mei對稱性的關(guān)系，方建會［19］等研究了非保守力學(xué)系統(tǒng)Nielsen方程的Mei對稱性，喬永芬［20］等研究了非完整系統(tǒng)相對論變質(zhì)量Nielsen方程的Mei對稱性和守恒量，許學(xué)軍［21］等給出了非保守 Nielsen方程的Mei對稱性導(dǎo)致的非Noether守恒量，文獻［22］研究了相對運動動力學(xué)系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性與Hojman守恒量．然而，Nielsen方程對稱性導(dǎo)致文獻［15］給出的新守恒量的研究成果還未見報道．本文在文獻［15］的基礎(chǔ)上研究Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性導(dǎo)致的這種新守恒量，給出無限小群變換下Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性的確定方程，得到Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性直接導(dǎo)致的這種新守恒量的形式及其存在條件．

1 Nielsen方程的Lie對稱性

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1，…，n)確定，L=L(t，q，q)為系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)，Qs=Qs(t，q，q)為非勢廣義力，其運動受到g個雙面理想Chetaev型非完整約束

約束(1)加在虛位移δqs上的Chetaev條件為

由D＇Alembert－Lagrange原理和虛位移上的Chetaev條件(2)，用Lagrange乘子法可得系統(tǒng)的Nielsen方程為

其中λβ為約束乘子，方程(3)可寫為

其中Ns為Nielsen算子

Λs為廣義非完整約束反力

假設(shè)系統(tǒng)(3)非奇異，即

可求出所有廣義加速度，記作

引入時間和廣義坐標(biāo)的無限小變換

其中ε為無限小參數(shù)，ξ0，ξs為無限小變換生成元．

根據(jù)力學(xué)系統(tǒng)的Lie對稱性理論［1］，非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性的確定方程為

方程(8)對應(yīng)的Lie對稱性的確定方程表示為

可以證明Lie對稱性的確定方程的兩種表示(10)和(14)是等價的．

于是，可得到如下判據(jù):

判據(jù)1 如果存在無限小生成元ξ0，ξs滿足確定方程(10)或(14)，那么相應(yīng)不變性為與非完整系統(tǒng)(1)，(3)相應(yīng)的完整系統(tǒng)(4)或(8)的Lie對稱性．

非完整約束力學(xué)方程(1)在無限小變換(9)下的不變性歸為如下限制方程

判據(jù)2 如果存在無限小生成元ξ0，ξs滿足確定方程(10)或(14)以及限制方程(15)，那么相應(yīng)不變性為非完整系統(tǒng)(1)，(3)的弱Lie對稱性．

考慮到等時變分與非等時變分有如下關(guān)系

將(16)式代入(2)式，有

稱方程(17)為附加限制方程．

判據(jù)3 如果存在無限小生成元ξ0，ξs滿足確定方程(10)或(14)，限制方程(15)以及附加限制方程(17)，那么相應(yīng)不變性為非完整系統(tǒng)(1)，(3)的強Lie對稱性．

2 Nielsen方程的Lie對稱性的結(jié)構(gòu)方程和守恒量

已有的研究表明［5］，非完整系統(tǒng)的Lie對稱性可以直接導(dǎo)致Hojman守恒量．下面研究非完整系統(tǒng)Lie對稱性直接導(dǎo)致的一種新守恒量及其存在條件．命題1 如果非完整系統(tǒng)(1)，(3)的Lie對稱性的生成元ξ0，ξs以及規(guī)范函數(shù)G=G(t，q，q)滿足如下結(jié)構(gòu)方程

則相應(yīng)完整系統(tǒng)的Lie對稱性直接導(dǎo)致一種守恒量

證明 求守恒量I對時間t的導(dǎo)數(shù)，得

由(12)式易得

結(jié)合(20)和(21)式，有

考慮如下關(guān)系式

由(23)和(24)式得

將(25)式代入(22)式，得

由(27)式，結(jié)合(4)，(10)和(18)式可得

命題1得證．

利用命題1，判據(jù)2和判據(jù)3容易得到如下命題:命題2 對于Chetaev型非完整系統(tǒng)(1)，(3)，如果存在無限小生成元ξ0，ξs滿足確定方程(10)或(14)以及限制方程(15)，且存在規(guī)范函數(shù)G=G(t，q，q)使得方程(18)成立，則非完整系統(tǒng)的弱Lie對稱性直接導(dǎo)致守恒量(19)．

命題3 對于Chetaev型非完整系統(tǒng)(1)，(3)，如果存在無限小生成元ξ0，ξs滿足確定方程(10)或(14)，限制方程(15)以及附加限制方程(17)，且存在規(guī)范函數(shù)G=G(t，q，q)使得方程(18)成立，則非完整系統(tǒng)的強Lie對稱性直接導(dǎo)致守恒量(19)．

對于一般完整系統(tǒng)，Λs=0，由上述命題可得推論:推論1 對一般完整系統(tǒng)，如果存在無限小生成元ξ0，ξs滿足確定方程

X(2)Ns(L[ ])=X(1)(Qs)，(s=1，…，n)，(29)

且存在規(guī)范函數(shù)G=G(t，q，q)滿足結(jié)構(gòu)方程

則一般完整系統(tǒng)的Lie對稱性可直接導(dǎo)致守恒量(19)．

對于完整保守系統(tǒng)，Qs=0，Λs=0，由以上命題可得推論:

推論2 對完整保守系統(tǒng)，如果存在無限小生成元ξ0，ξs滿足確定方程

且存在規(guī)范函數(shù)G=G(t，q，q)滿足結(jié)構(gòu)方程

則完整保守系統(tǒng)的Lie對稱性可直接導(dǎo)致守恒量(19)．

3 算例

非完整系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

系統(tǒng)非完整約束力學(xué)方程為

非勢廣義力Qs=0，試研究非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性導(dǎo)致的一種守恒量．

將(33)，(34)式代入方程(3)，得

對(34)式求時間t的導(dǎo)數(shù)

結(jié)合(35)式和(36)式，可得

將(37)式代入方程(35)，得

由確定方程(14)和(38)式得

根據(jù)限制方程(15)得

根據(jù)附加限制方程(17)得

聯(lián)立方程(39)、(40)和(41)，求解方程組可以得到如下無限小生成元

將生成元(42)代入結(jié)構(gòu)方程(18)，存在

利用生成元(42)，規(guī)范函數(shù)(43)和命題3可得

4 結(jié)論

本文給出了無限小群變換下Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性的確定方程，得到了Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性直接導(dǎo)致的一種守恒量及其存在條件．該守恒量是與Chetaev型非完整系統(tǒng)Nielsen方程Lie對稱性直接導(dǎo)致的Hojman守恒量，間接導(dǎo)致的Noether守恒量和Mei守恒量不同的另一種守恒量．本文結(jié)果更具一般意義，對非完整系統(tǒng)、一般完整系統(tǒng)和完整保守系統(tǒng)都適用．若將Nielsen算子轉(zhuǎn)換為與之等價的Euler算子，在Qs=0，Λs=0的條件下，本文結(jié)果將回到文獻［15］的結(jié)果．

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*The Natural Science Foundation of Shandong Province of China(ZR2011AM012)，and the Postgraduate＇s Innovation research Foundation of China University of Petroleum(East China)(13CX06005A)

? Corresponding author E－mail:w13666363629@163．com

A TYPE OF CONSERVED QUANTITY OF LIE SYMMETRY FOR
NONHOLONOMIC SYSTEM OF NIELSEN EQUATION OF CHETAEV'S TYPE*

Xu Ruili?Fang Jianhui Zhang Bin Wang Feifei
(College of Science，China University of Petroleum，Qingdao266580，China)

This paper studied a type of conserved quantity deduced by the Lie symmetry for nonholonomic system with Chetaev－type of the Nielsen equation．Firstly，the determining equations of the Lie symmetry for nonholonomic system with Chetaev－type of the Nielsen equation were given under the infinitesimal transformation of groups．Secondly，the conditions of the existence of the type of conserved quantity of the system as well as its forms were obtained．And finally，an example was given to illustrate the application of the results．

nonholonomic system， Nielsen equation， Lie symmetry， conserved quantity

9 March 2013，

23 April 2013．

10．6052/1672－6553－2013－069

2013－03－09 收到第 1 稿，2013－04－23 收到修改稿．

*山東省自然科學(xué)基金(ZR2011AM012)、中國石油大學(xué)(華東)研究生自主創(chuàng)新科研計劃項目(13CX06005A)

E－mail:w13666363629@163．com