湖南大學++王淑燕+++馮昌黎+++鄭燦暢++++蔣卓征

摘要：建立一個投資組合首先需要求解其中各項資產(chǎn)的最優(yōu)比例，馬科維茨的均值-方差理論已經(jīng)成為了此類規(guī)劃問題的經(jīng)典解法，但是其鎖定風險或收益其一求解另一者的方法需要人為設定約束條件的數(shù)值，因而可能不是理論上的最優(yōu)解。本文試圖將多目標模型運用到投資組合中求解風險資產(chǎn)的占比，再在考慮居民風險收益偏好的基礎上探索在組合中加入無風險資產(chǎn)，從而為家庭資產(chǎn)的投資組合與運用提出建議。

關鍵詞：投資組合 多目標 最優(yōu)解 規(guī)劃求解

一、引言

無論是居民家庭還是機構(gòu)的投資組合，都統(tǒng)籌會考慮風險與收益兩者之間的協(xié)調(diào)。一般來說，風險資產(chǎn)與風險資產(chǎn)的占比反映了投資者的風險偏好，可以通過調(diào)查和計算了解到具體數(shù)值，作為風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)的分配依據(jù)。進而在風險資產(chǎn)內(nèi)部，一般是通過規(guī)劃求解得出風險資產(chǎn)的最優(yōu)占比，在具體的求解方法上，我們有均值-方差理論、單因素模型以及多因素模型以及多目標即規(guī)劃投資組合選擇理論。但是在實際運用中，馬科維茨的均值-方差理論最為常見。

馬科維茨（H.Markowitz）（1952）首先運用數(shù)學中概率論知識研究在不確定條件下把模型最優(yōu)化處理的投資行為，即固定期望收益率求風險最小化時的資產(chǎn)，或固定風險損失率，求期望收益率最大化時的資產(chǎn)。隨后，Sharpe和Ross等人提出了市場處于均衡狀態(tài)下的CAMP模型、市場處于不均衡狀態(tài)下的特征曲線，單因素模型以及多因素模型等用以估計資產(chǎn)收益。對于投資組合工具，F(xiàn)ouad Ben Abdelaziz等人構(gòu)建了一個機會約束妥協(xié)規(guī)劃模型，研究了多目標即規(guī)劃投資組合選擇。

二、符號說明及模型假設

（一）符號說明

n ：投資組合中證券的個數(shù)；

[R=（R1，R2，...，Rn）T]：證券預期收益率的期望值向量；

[σ2]：證券組合投資收益率方差；

[F=（1，1，...，1）T]：n維單位列向量；

[W=（W1，W2，...，Wn）T]：證券投資比例系數(shù)向量；

[E=（σi，j）n×n]：[n]種證券收益率的協(xié)方差矩陣；

[R0]：證券組合投資的預期收值；

[α]：根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)求出的居民風險厭惡參數(shù)；

（二）模型假設

假設一：我們對風險評價的兩個指標是投資收益率均值R和收益率的方差[σ2]。

假設二：理性的投資者會在固定的風險水平下，要求更高收益；在固定收益的水平下，要求更小風險。

假設三：證券投資比率系數(shù)為正，賣空在中國市場上很難實現(xiàn)。

假設四：證券市場是有效的，信息透明。

三、多目標組合投資模型的建立與求解

（一）模型建立

在經(jīng)典的馬科維茨投資組合模型中，確定資產(chǎn)組合單個資產(chǎn)收益與風險間的相互關系，在此基礎上，按照理性投資者的投資理念求解出最小方差的投資組合.馬科維茨關于組合投資模型在資產(chǎn)完全不相關的情況下，資產(chǎn)組合的風險會隨著資產(chǎn)數(shù)量的增加而消失。馬科維茨組合投資模型是在單目標情況下考究最優(yōu)投資組合，而在現(xiàn)實生活中，這樣做是不全面的，所以在這里，將建立多目標投資組合模型進行探究。

1、傳統(tǒng)的馬科維茨組合投資模型

（1）約束收益，使風險最小。模型一是在一定收益水平下使風險最小，即目標函數(shù)為風險[σ2]，約束條件為收益[R0]，如下：

[Minσ2=WTEW]

[stWT?R=R0WT?F=1W≥0]

（2）約束風險，使收益最大。模型二是在一定風險水平下使收益最大，即目標函數(shù)為收益，約束條件為風險A，如下：

[Maxf=i=1nWiRi]

[stWTEW=AWT?F=1W≥0]

2、多目標投資組合模型

模型三同時考慮風險與收益，使風險最小的同時收益最大，即構(gòu)建新的目標函數(shù)[g=WTEWi=1nWiRi]，如下：

[Ming=WTEWi=1nWiRi]

[stWT?F=1W≥0]

（二）模型求解

1、約束收益，使風險最小

模型一目標函數(shù)為線性約束條件下的二次函數(shù)，作為二次規(guī)劃問題，可用拉格朗日函數(shù)求解。

首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

[L（W，λ1，λ2）=WTEW+λ1（WT?R-R0）+λ2（WT?F-1）]

根據(jù)矩陣代數(shù)理論分別對[W，λ1，λ2]求偏導得：

[?L（W，λ1，λ2）?W=2EW-λ1?R-λ2?F]

[?L（W，λ1，λ2）?λ1=WT?R-R0]

[?L（W，λ1，λ2）?λ2=WT?F-1]

令 [?L（W，λ1，λ2）?W]=0，[?L（W，λ1，λ2）?λ1]=0，[?L（W，λ1，λ2）?λ2]=0 ，可求出：

[λ1=2R0RTE-1F-2RTE-1RFTE-1RRTE-1F-FTE-1FRTE-1R]

[λ2=2R0FE-1F-2FTE-1RRTE-1RFRTE-1F-RTE-1FFTE-1R]

[X=R0RTE-1F-RTE-1RFTE-1RRTE-1F-FTE-1FRTE-1R?E-1R+R0FE-1F-FTE-1RRTE-1RFTE-1F-RTE-1FFTE-1R?E-1F]

2、約束風險，使收益最大

模型二是非線性約束條件的規(guī)劃問題，可使用迭代算法在Matlab中編程求解。

3、風險與收益的比值最小

模型三是線性約束條件下和非線性目標下的規(guī)劃問題，可使用模型一構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)求解。但在實際中一般通過Matlab編程求解。endprint

四、投資組合實例分析

假設有5種證券（或股票）可供投資，已知上一年月收益率如表1：

表1 5種可投資證券（或股票）的上一年月收益率（%）

[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]

由此得出5種證券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]

[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]

令[R0=10.0]，把數(shù)據(jù)代入模型三，通過Matlab編程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。

再在此基礎上，在已知居民風險厭惡參數(shù)[α]的條件下，在投資組合中加入無風險資產(chǎn)，將投資比例在風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)之間進行再分配，最終得到包含無風險資產(chǎn)的投資組合最優(yōu)解，如表2：

五、結(jié)束語

多目標投資組合模型在馬克維茨的均值-方差模型的基礎上繼續(xù)添加目標，使模型更加可控。在投資方案的設計中，多目標投資模型同時考慮了客戶對收益和風險的要求，更貼近客戶家庭的實際需求，從而使得投資組合中股票和債券的比例更加準確，以便合理分配資金，盡可能地實現(xiàn)目標收益率，從而為家庭資產(chǎn)的投資組合建立和求解的方法選擇給出有價值的參考。

參考文獻：

[1]雷曉燕，周月剛.中國家庭的資產(chǎn)組合選擇：健康狀況與風險偏好[J].金融研究，2010，（1）：31-45

[2]鄒紅，喻開志.中國城鎮(zhèn)居民家庭資產(chǎn)選擇行為研究[J].金融發(fā)展研究，2010，（9）：13-17

[3]趙曉英，曾令華.我國城鎮(zhèn)居民投資組合選擇的動態(tài)模擬研究[J].金融研究，2007，（4）：72-86

[4]汪紅駒，張慧蓮.資產(chǎn)選擇，風險偏好與儲蓄存款需求[J].經(jīng)濟研究，2006，（6）：48-58

[5]史代敏，宋艷.居民家庭金融資產(chǎn)選擇的實證研究[J].統(tǒng)計研究，2005，（10）

[6]Markowitz H. Portfolio selection[J].Journal of finance， 1952， 7：77-91

[7]Viceira， L.M.， 1998， “Optimal consumption and Portfolio choice for Long—horizon Investors”， PHD thesis， Harvard Universityendprint

四、投資組合實例分析

假設有5種證券（或股票）可供投資，已知上一年月收益率如表1：

表1 5種可投資證券（或股票）的上一年月收益率（%）

[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]

由此得出5種證券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]

[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]

令[R0=10.0]，把數(shù)據(jù)代入模型三，通過Matlab編程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。

再在此基礎上，在已知居民風險厭惡參數(shù)[α]的條件下，在投資組合中加入無風險資產(chǎn)，將投資比例在風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)之間進行再分配，最終得到包含無風險資產(chǎn)的投資組合最優(yōu)解，如表2：

五、結(jié)束語

多目標投資組合模型在馬克維茨的均值-方差模型的基礎上繼續(xù)添加目標，使模型更加可控。在投資方案的設計中，多目標投資模型同時考慮了客戶對收益和風險的要求，更貼近客戶家庭的實際需求，從而使得投資組合中股票和債券的比例更加準確，以便合理分配資金，盡可能地實現(xiàn)目標收益率，從而為家庭資產(chǎn)的投資組合建立和求解的方法選擇給出有價值的參考。

參考文獻：

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[2]鄒紅，喻開志.中國城鎮(zhèn)居民家庭資產(chǎn)選擇行為研究[J].金融發(fā)展研究，2010，（9）：13-17

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四、投資組合實例分析

假設有5種證券（或股票）可供投資，已知上一年月收益率如表1：

表1 5種可投資證券（或股票）的上一年月收益率（%）

[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]

由此得出5種證券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]

[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]

令[R0=10.0]，把數(shù)據(jù)代入模型三，通過Matlab編程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。

再在此基礎上，在已知居民風險厭惡參數(shù)[α]的條件下，在投資組合中加入無風險資產(chǎn)，將投資比例在風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)之間進行再分配，最終得到包含無風險資產(chǎn)的投資組合最優(yōu)解，如表2：

五、結(jié)束語

多目標投資組合模型在馬克維茨的均值-方差模型的基礎上繼續(xù)添加目標，使模型更加可控。在投資方案的設計中，多目標投資模型同時考慮了客戶對收益和風險的要求，更貼近客戶家庭的實際需求，從而使得投資組合中股票和債券的比例更加準確，以便合理分配資金，盡可能地實現(xiàn)目標收益率，從而為家庭資產(chǎn)的投資組合建立和求解的方法選擇給出有價值的參考。

參考文獻：

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[3]趙曉英，曾令華.我國城鎮(zhèn)居民投資組合選擇的動態(tài)模擬研究[J].金融研究，2007，（4）：72-86

[4]汪紅駒，張慧蓮.資產(chǎn)選擇，風險偏好與儲蓄存款需求[J].經(jīng)濟研究，2006，（6）：48-58

[5]史代敏，宋艷.居民家庭金融資產(chǎn)選擇的實證研究[J].統(tǒng)計研究，2005，（10）

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[7]Viceira， L.M.， 1998， “Optimal consumption and Portfolio choice for Long—horizon Investors”， PHD thesis， Harvard Universityendprint