劉金容

(海南大學信息科學技術(shù)學院應用數(shù)學系，海南?？?570028)

激發(fā)生成，促成內(nèi)化:線性代數(shù)教學研究＊

劉金容

(海南大學信息科學技術(shù)學院應用數(shù)學系，海南?？?570028)

分析線性代數(shù)的教學現(xiàn)狀，結(jié)合多年的教學經(jīng)驗，借鑒國內(nèi)外先進的教育理念，開展以“激發(fā)生成，促成內(nèi)化”為目標的線性代數(shù)教學研究。加強背景知識介紹，并根據(jù)專業(yè)線性代數(shù)與其它學科的聯(lián)系，引入抽象概念;對不同專業(yè)增設不同應用實例，從解決問題需要，激發(fā)學生生成知識;教學中突出比較學習，培養(yǎng)學生的類比思維，并促成內(nèi)化知識;鼓勵學生探求一題多解，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，激發(fā)知識生成;教學中注重使用反例論證，培養(yǎng)學生的批判性思維，促成知識的內(nèi)化;創(chuàng)設多樣化的學習平臺與評價方式。

激發(fā)生成;促成內(nèi)化;行列式;矩陣;向量

線性代數(shù)以研究有限空間線性理論為主要內(nèi)容，由于線性問題廣泛存在于科學技術(shù)各個領域，并且非線性問題也經(jīng)常轉(zhuǎn)化為線性問題來處理，因而線性代數(shù)已成了許多自然科學和現(xiàn)代工程技術(shù)的基礎，是解決實際問題的有力工具，應用非常廣泛。對大學生來說線性代數(shù)是最主要的工科數(shù)學之一，同時也是研究生入學考試必考科目，是科學與技術(shù)的語言，同時是后繼課程的基礎，學好它非常重要。

1 線性代數(shù)教學的現(xiàn)狀分析

經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，目前高校線性代數(shù)課時占32～48課時，而線性代數(shù)概念抽象，理論深刻，內(nèi)容零散，計算繁雜，與幾何密切相關的特點，課時相對偏少，因而現(xiàn)行線性代數(shù)教學從內(nèi)容層次看，大多數(shù)仍采用傳統(tǒng)的“概念～定理～例題～習題”的模式，過于強調(diào)理論知識，強調(diào)數(shù)學的嚴謹性和系統(tǒng)性，側(cè)重于學生對純數(shù)學方法和技巧的學習。由于“大容量”、“高密度”、“滿堂灌”，知識呈現(xiàn)方式“被動”，很難有生成性資源的立足之地，學生課上記筆記，課后模仿筆記、例題作業(yè)，期末考筆記。這種忽視學生探究品質(zhì)和學生個性的自由發(fā)展、忽視知識自然生成和知識的內(nèi)化的邏輯規(guī)則的教學，抑制了課堂教學中學生的能動性和內(nèi)發(fā)性，否定了教學中的動態(tài)生成性，導致個人知識的獲得普遍缺乏個體思維的深層參與，學生的變異、批判與創(chuàng)造的品質(zhì)被剔除，探究、建構(gòu)與超越的個性被削弱。其最終結(jié)果是公共知識不能內(nèi)化為個體知識，思維不能凝結(jié)成思想，方法不能升華為智慧，學生的個人認識普遍僵化，很難有效獲得真知與創(chuàng)造性，以至于學生數(shù)學學習的積極性逐步下降?；谏鲜鲈?，結(jié)合多年的教學經(jīng)驗，學習國內(nèi)外先進的教學理念，提出以“激發(fā)生成，促成內(nèi)化”為目標的線性代數(shù)教學進行了以下幾方面的思考與探索。

2 教學改革措施

2.1 加強背景知識介紹

教材第一章就遇到“行列式”這一抽象概念的教學，講解不好，將影響學習的積極性及后續(xù)內(nèi)容的學習。筆者針對不同專業(yè)做不同處理，對文科專業(yè)的學生采取加強背景知識的介紹，介紹了行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來，行列式的提出可以追溯到17世紀，最初的雛形由日本數(shù)學家關孝和與德國數(shù)學家萊布尼茲各自獨立提出，時間大致相同。它當初只作為解方程組的工具出現(xiàn)時，只是一種速記的表達式，在很長一段時間內(nèi)，行列式都只作為解線性方程組的重要工具被使用著，并未形成獨立的理論體系，首個把行列式理論與線性方程組求解相分離的人是法國的數(shù)學家范德蒙德，之后，在行列式理論方面作出突出貢獻的數(shù)學家還有柯西、雅可比等等。這些背景知識的介紹幫助充實教學內(nèi)容，使其更加生動有趣，學生對這些數(shù)學家充滿好奇和崇拜，他們渴望了解這些數(shù)學家的具體工作，自然在學習過程中積極尋找答案。從以教師的教為本位，回歸到以學生自己主動去學為本位的數(shù)學教學觀。

2.2 突出與其它學科的緊密聯(lián)系

就拿“行列式”這一概念教學來說，針對學生原有的知識結(jié)構(gòu)不同，筆者對理工科的學生采取了另一種引入方式，學生剛學完高等數(shù)學，才開設的線性代數(shù)。行列式在數(shù)學中，是一個函數(shù)，其定義域為n×n矩陣A(矩陣概念以后待學，留下懸念)，取代為一個標量，寫作det(A)或。行列式也可以看作是有向面積或有向體積概念在一般的歐幾得空間中的推廣?；蛘哒f在n維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)，多項式理論還是在微積分學中(比如換元積分法中)行列式作為基本的數(shù)學工具，都有著重要的應用。接著解釋二階行列式對應幾何意義是二維向量的有向平行四邊形的面積。二階行列式為零，當且僅當2個向量共線(線性相關待學，留下懸念)，這時平行四邊形退化為一條直線。三階行列式幾何意義對應三個向量為棱的平行六面體的有向體積，也叫做這三個向量的混合積。同樣可得如下性質(zhì):三階行列式值為零當且僅當3個向量共線或共面(三者線性相關)，這時平行六面體退化為平面圖形，體積為零。再引入n維向量到n階行列式，n元線性方程組，從一開始讓學生深切感受到線代與解析幾何，高等數(shù)學等學科的緊密聯(lián)系，在以后的教學中也經(jīng)常突出線代與其它課程的聯(lián)系。讓學生有興趣，有動力去建構(gòu)知識。

2.3 對不同專業(yè)應用不同實例，激發(fā)學生知識生成

針對經(jīng)管類學生，在講授矩陣乘法公式之前，選取了一個常用又簡單的實例。

例1:某工廠生產(chǎn)3種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品每件所需的生產(chǎn)成本以及各個季度每一產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)見表1和表2。

請給出一張指明各個季度所需各類成本的明細表。

又比如對化工專業(yè)講授“線性方程組的解”，給出了下面例子，

例3:一個化學方程式:

表1 生產(chǎn)成本(單位元)

表2 生產(chǎn)件數(shù)(單位件)

為了配平這個化學方程式，需找到x1，x2，x3，x4使方程式左右兩端的碳原子數(shù)(C)、氫原子(H)和氧原子(O)的總數(shù)相等。建立在反應過程中每種原子數(shù)目的數(shù)學模型:

利用矩陣的初等行變換，可得方程組的通解為

由于化學方程式中的系數(shù)必須為整數(shù)，(般用最小整數(shù))可取x4=4，此時配平后的化學方程式為:C3H8+5O2→3CO2+4H2O.［1］

又如信息學院學生講解逆矩陣時，引入密碼問題等等不一一例舉，總之針對學生專業(yè)，也就是對學生原有的知識結(jié)構(gòu)不同的基礎上，重新構(gòu)建線性代數(shù)知識，是建構(gòu)主義教學觀的體現(xiàn)，一方面讓學生主動去構(gòu)建新知識，另一方面，讓學生明白線性代數(shù)在專業(yè)課程中的實用性。

2.4 教學中突出比較學習，培養(yǎng)學生的類比思維，并促成內(nèi)化知識

比如講授余子式和代數(shù)余子式，讓學生自己對比得出了以下結(jié)論:

(1)對于給定的n階行列式D=det(aij)元(i，j)的余子式Mij和代數(shù)余子式Aij僅對位置(i，j)有關，而與D的(i，j)元的數(shù)值無關。

(2)它們間的聯(lián)系是Aij=(-1)i+jMij，因而當i+j為偶數(shù)時，二者相同，當i+j為奇數(shù)時，二者符號相反，它們之間的關系也可用圖示來表示，

其中，符號“+”表示對應位置上Aij=Mij;符號“-”表示對應位置上Aij=-Mij，上圖概括為:對角線上為正，正的“鄰居”為負，負的“鄰居”為正。

學生自己歸納對比得出結(jié)論，學生內(nèi)化成了個體知識，在考試中就很少出現(xiàn)Aij符號錯誤現(xiàn)象。在教學中經(jīng)常對一些既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念，定理讓學生自己去對比分析其區(qū)別與聯(lián)系。不僅有利類比思維的培養(yǎng)，還利于促成知識的內(nèi)化。比如行列式與矩陣的聯(lián)系與區(qū)別;矩陣的等價與向量組的等價的區(qū)別與聯(lián)系，行階梯形矩陣與行最簡形矩陣，矩陣的秩與向量組的秩等等，線代中這種易混概念好多。基本方法的總結(jié)，如行列式的計算探討，矩陣初等變換的應用，逆矩陣的求法探討;用小課題或開放式作業(yè)方式要求學生課外完成。能滿足不同專業(yè)不同層次的學生的需求。學生通過對這些開放性作業(yè)的完成，激發(fā)學生的學習興趣，充分利用網(wǎng)絡學習，加深對基本概念的理解，對基本方法與基本技能的掌握。

2.5 鼓勵學生探求一題多解，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

一題多解是由同一問題在解法上引起發(fā)散思維，對某一問題的一種新的解法，很可能意味著一次新的突破。所以在教學中經(jīng)常鼓勵學生探求一題多解，有利如知識的生成。如教材［2］課后題很多題是有多種解法的，P27:8(1)題。

解:(方法一)an-2(a2-1)方法二做完第一步后得Dn=aDn-1于是遞推可得結(jié)論。

(方法三)

看似簡單的一道行列式計算，確是一個引起發(fā)散思維的很好素材，可以借此在習題課中總結(jié)行列式計算常用的方法。課后很多習題都是有多種方法求解的，鼓勵學生探求一題多解，能幫助學生知識的內(nèi)化與生成。

2.6 培養(yǎng)學生批判性思維，促成知識內(nèi)化

反例在線性代數(shù)教學中有其特殊作用，尋求反例的過程，是加深理解、鞏固知識的過程，也是培養(yǎng)學生的批判性思維與辯證思維過程，通過引導學生如何尋求反例，激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣，從而使教學收到事半功倍的效果。

如:從群的角度，零矩陣和實數(shù)0都是群的單位元。但是在實數(shù)中0是一個數(shù)，而在矩陣中，零矩陣并不是一個矩陣，而是一類矩陣的統(tǒng)稱。實數(shù)0=0成立，而矩陣0=矩陣0未必成立。

又如:在小學接觸乘法時，定義是加法的簡便運算，在矩陣運算中由于數(shù)乘是通過數(shù)作用于每一個元素上來實現(xiàn)，因在在矩陣運算中，數(shù)乘是矩陣加法的簡便運算，而矩陣乘法與數(shù)乘法有著截然不同的性質(zhì)。

(1)數(shù)的乘法滿足交換律，而矩陣乘法不具備，即在矩陣乘法中AB≠BA未必成立。

這里反例的構(gòu)造，利用了初等矩陣的性質(zhì)，左乘一個初等矩陣相當于對初等矩陣作初等行變換，而右乘一個初等矩陣相當于對矩陣做初等列變換，因此只要A矩陣不是對稱矩陣，AB≠BA。

(2)數(shù)乘法有消去律，而矩陣乘法中消去律也未必成立，即AB=0未必A=0或B=0.

此外向量的線性表示，線性相關性等是線性代數(shù)課程教學中的重點與難點問題，這部分內(nèi)容十分抽象，必須結(jié)合實例與反例講述其中一些概念。

2.7 創(chuàng)設多樣化的學習平臺與評價方式

為了在學時不斷減少的情況下保證教學目標的實現(xiàn)，在加強和提高有效的傳統(tǒng)教學方法與手段的基礎上，注重了現(xiàn)代教學手段的建設和合理應用，除實施多媒體教學大大提高教學效率外，還積極創(chuàng)造條件，建立網(wǎng)絡課外自主學習系統(tǒng)，提供課堂教學內(nèi)容的輔助學習資源:線代視頻課件，線性代數(shù)PPT、網(wǎng)上答疑，線性代數(shù)習題庫等，實現(xiàn)多媒體與網(wǎng)絡化，從而使課堂教學與課外學習有機結(jié)合。評價方式采取綜合評定，平時考勤、普通作業(yè)15%，開放作業(yè)15%，期末考試占70%。為了增加考試的信度，在考題中采取了彈性設計，比如可以從150分的考題中選取100分考題做，加大了考題的覆蓋面。

3 總結(jié)

數(shù)學教師的使命不僅僅是傳授，知識的更重要的是將數(shù)學方法這一工具服務于社會各行各業(yè)，要讓學生明白數(shù)學來源于實踐，最終也要回歸到實踐中去解決實際問題。通過以“激發(fā)生成，促成內(nèi)化”為目標的線性代數(shù)教學改革，提高學生的學習積極性，并培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，為今后的學習和工作奠定堅實的基礎。

［1］謝國瑞.線性代數(shù)及應用［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［2］陳懷深.線性代數(shù)實踐及MATLAB入門［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

［3］孫 兵.線性代數(shù)教學中的反例構(gòu)造［J］.數(shù)學理論與應用，2011(6):39-40.

G642.0

A

1674-5884(2014)02-0101-03

2013-11-25

劉金容(1979-)，女，湖南婁底人，講師，碩士，主要從事數(shù)學教育教學研究。

(責任校對 謝宜辰)