程 瑜

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院, 江蘇 徐州 221111)

0 引言

作為孤立子理論中的熱門課題，孤子方程的精確解及其性質(zhì)長期以來受到學(xué)者的關(guān)注.隨著研究的深入，很多有效尋求孤子方程精確解的辦法被提出,其中，Wonskian技巧[1-2]是一種以Hirota雙線性方法為基礎(chǔ)，求解具有雙線性形式的孤子方程的直接且高效的方法.雙Wronskian是Wronskian技巧的一種推廣[3]，被用來構(gòu)造雙Wronski行列式解[4].在離散系統(tǒng)中，雙Wronskian解又被稱為雙Casoratian解[5-6].孤子解、有理解等多種形式的精確解都可用Wronskian行列式形式表示.Nimmo和Freeman根據(jù)文獻(xiàn)[7]中提出的長波求極限的觀點(diǎn)首次給出了KdV方程的有理解的Wronskian形式[8].基于此，張大軍等[9-10]研究了Toda鏈和微分-差分KdV方程的有理解等.陳登遠(yuǎn)等在此基礎(chǔ)上將Wronskian行列式元素滿足的下三角方程推廣到任意的矩陣方程,得到AKNS方程的新Wronski解，通過將矩陣取成不同的形式，給出Wronskian行列式形式的孤子解、有理解等多種形式的精確解[11].最近，文獻(xiàn)[12]中借助該方法構(gòu)造了等譜4位勢(shì)Ablowitz-Ladik(AL)方程的廣義雙Casoratian解.

本文利用[11]中的矩陣方法研究負(fù)向等譜4位勢(shì)AL方程[13]

(1)

其譜問題為[13-14]

Φn+1=UnΦn，

其中

時(shí)間發(fā)展式為

Φn，t=VnΦn，

1 廣義雙Casoratian解

設(shè)E是一個(gè)位移算子，定義為Ekv(n)=v(n+k)，k∈Z.通常為了方便，在不引起混淆的情況下,記v(n)=vn.若在方程(1)中作分式變換

(2)

則fn，gn，hn，F(xiàn)n，Gn，Hn滿足雙線性方程[15]

(3)

其中D是著名的Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)算子，定義為

設(shè)向量函數(shù)Φn和Ψn對(duì)一切n和t具有任意階的導(dǎo)數(shù)，則Φn和Ψn的(m+p+2)階雙Casoratian行列式定義為[16]

Casm+1,p+1(Φn;Ψn)

=|Φn，EΦn,…,EmΦn;Ψn,EΨn,…，EpΨn|

借助雙Wronskian技巧，得到如下定理[17].

定理1負(fù)向等譜4位勢(shì)AL方程(1)的雙線性方程(3)具有雙Casoratian行列式解

(4)

其中Φn,Ψn滿足矩陣方程組

(5)

這里矩陣A=(aij)是與n，t無關(guān)的(m+p+2)×(m+p+2)階任意的非奇異實(shí)矩陣.

于是，相應(yīng)的負(fù)向等譜4位勢(shì)AL方程(1)的解可表示為

(6)

2 孤子解和類有理解

方程組(5)存在通解

(7)

(8)

將(8)展開成級(jí)數(shù)得

(9)

若設(shè)矩陣B為對(duì)角線矩陣,

則有

由其構(gòu)成的雙Casoratian行列式fn，gn，hn，F(xiàn)n，Gn，Hn是雙線性方程(3)通常意義下的多孤子解[15]

若設(shè)矩陣

由于Bm+p+2=0，則(9)可截?cái)酁?/p>

從而Φn和Ψn的分量分別表示為

(10)

其中j=1,2,…,m+p+2.由其構(gòu)成的雙Casoratian行列式fn,gn,hn,Fn,Gn,Hn即為雙線性方程(3)的類有理解.

特別地,若取c1=d1=1,ck=dk=0 (k=2,3,…,m+p+2)，則(10)化為

(11)

將(11)式代入(6)后即可得到方程(1)的雙Casoratian行列式形式的類有理解.

如果取m=p=0,由(11)式可得

(12)

將(12)代入(4)，有

(13)

同理可得

(14)

于是,將(13)和(14)代入(2)式，得到方程(1)的類有理解為

另外，不難求出

(15)

將(12),(15)代入(4)，可類似解出方程(1)的前幾個(gè)類有理解.

當(dāng)m=1,p=0時(shí)，得到

當(dāng)m=0，p=1時(shí)，解出

若取m=p=1，則有

(16)

將(16)代入(2)，可得此時(shí)方程(1)的類有理解.類似地，可分別算出在(m，p)=(2，0)和(m，p)=(0，2)條件下的類有理解.

參考文獻(xiàn):

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