梅茂飛, 胡 峰, 韓 崇

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院,江蘇 徐州 221111)

0 引言

自Schmidt等[1]發(fā)現(xiàn)滴狀冷凝這種更為高效的相變傳熱方式之后,眾多學(xué)者就滴狀冷凝中的熱質(zhì)傳遞現(xiàn)象進(jìn)行了大量研究．其中,我國學(xué)者開展了許多重要的、開創(chuàng)性的工作[2-5]．

(1)

這里ΔT為氣體與凝結(jié)表面之間的溫差,Ts為飽和蒸汽溫度,Hfg為汽化潛熱,σ和ρ分別為液滴的表面張力和密度．從方程(1)可以看出,對于相同的凝結(jié)工質(zhì)和飽和蒸汽溫度,成核密度只與溫差有關(guān),而與固體表面的幾何形貌無關(guān)．而Mu等[7]通過觀察鎂表面氧元素的增加量,發(fā)現(xiàn)成核密度與鎂表面的粗糙程度成正比．綜合Rose和Mu等的觀點(diǎn),冷凝表面的成核密度應(yīng)該既與溫差有關(guān),又與表面的粗糙形貌有關(guān)．由于缺少測定成核密度的有效實(shí)驗(yàn)手段,目前研究成核密度對滴狀冷凝熱交換的影響主要依靠數(shù)值模擬[8]和理論分析[9]．本文將通過數(shù)值模擬研究冷凝表面的液滴生長過程．

1 粗糙表面成核密度

令面積為Af的粗糙表面液滴成核密度為Nf,粗糙表面在光滑表面的投影面積為A0,投影表面上液滴成核密度為N0．若粗糙表面與光滑表面的成核密度成正比,則有

(2)

這里f=Af/A0表示實(shí)際面積與其投影面積之比,稱為粗糙因子．從方程(2)可知,若光滑表面的成核密度為1010cm-2,f=2的粗糙表面可以使Nf增加一倍．由于最小液滴尺寸為納米量級,納米結(jié)構(gòu)的粗糙表面對液滴的成核密度影響較小,本文的粗糙表面主要指具有微米結(jié)構(gòu)的表面．在光滑表面,若初始液滴呈正方形排列,液滴之間的平均等效間隔記為de,于是,N0=A0/(de+2rmin)2,令de/rmin=a,則

(3)

將方程(3)帶入(2)可得

(4)

由于成核液滴的最小半徑可由方程(1)表示，所以

(5)

其中a表示光滑表面凝結(jié)核的疏密程度,稱為密集度.對于相同的溫差,a越小意味著液滴的密集程度越高,說明表面的成核密度也越大;a=0意味著相鄰兩個(gè)液滴相切．(5)式說明成核密度不但受溫差,而且受粗糙因子的影響.對于1 cm2的區(qū)域,以水蒸氣為凝結(jié)工質(zhì),圖1為方程(5)的預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[10]的比較．圖中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是利用Getdate軟件從文獻(xiàn)[10]中截取,并利用1stOpt軟件將方程(5)和文獻(xiàn)[10]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得出f和a的最佳估算值分別約為2和6 500．由于文獻(xiàn)[10]中初始液滴的分布非常稀疏,所以密集度a較大．

圖1 凝結(jié)表面液滴成核密度的理論預(yù)測和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

從圖1可以看出,理論預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值在ΔT>2 K時(shí)吻合得較好．當(dāng)ΔT→0時(shí),凝結(jié)表面幾乎沒有初始液滴生成,而在實(shí)際的滴狀冷凝過程中,因溫度場和濃度場的脈動,仍會有初始液滴形成,故此時(shí)預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值出現(xiàn)明顯差異．

2 滴狀冷凝的數(shù)值模擬

2.1 模擬區(qū)域的選擇

表1 不同溫差下凝結(jié)表面的成核密度和最小液滴半徑

2.2 數(shù)值模擬過程的描述

圖2 鄰近兩個(gè)球形液滴的間隔

由于大液滴的表面面積較大,其表面張力和基底的粘附阻力比小液滴更大,因此,新液滴的重心靠近大液滴．為了簡便起見,規(guī)定合并后液滴的重心與大液滴的重心重合[13]．當(dāng)表面對最大液滴的粘附力小于其重力時(shí),最大液滴就會從凝結(jié)表面滑落,并且掃除沿途所接觸的所有液滴,留下一道裸露的冷凝表面．接著,水蒸氣又會在裸露表面重新凝結(jié)生長．在模擬液滴脫落時(shí),脫落行為是瞬間的．

3 結(jié)果與討論

首先,考察液滴尺寸分布函數(shù)N．Δr·N表示半徑落在r-Δr到r+Δr之間的液滴數(shù)目,一般地,Δr=0.2r[14]．Mei等[12]將凝結(jié)表面的液滴類比成多孔介質(zhì)中的孔隙[15],應(yīng)用分形幾何理論和方法,給出了液滴尺寸分布的微分形式

(6)

這里df是液滴尺寸分布的分形維數(shù),rmax是液滴的最大半徑．從方程(6)即可獲得液滴尺寸分布函數(shù)

(7)

在數(shù)值模擬中,每迭代一次,就計(jì)算出Δri內(nèi)的液滴數(shù)目Δri·Ni,再利用最小二乘法對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合．?dāng)M合結(jié)果顯示,logN(r)與logr之間存在線性關(guān)系,其斜率為(-df-1)．模擬結(jié)果得出,最大液滴第一次脫落事件大約發(fā)生在第300次迭代.為了考察液滴脫落和重新凝結(jié)對液滴尺寸分布的影響,總的迭代次數(shù)設(shè)定為1 000．圖3(a)～(e)顯示不同溫差下液滴尺寸分布分形維數(shù)隨迭代次數(shù)的變化情況．由于大液滴不斷從凝結(jié)表面滑落帶走所接觸的液滴,在液滴滑過的裸露區(qū)域又會有大量的初始液滴出現(xiàn),所以,分形維數(shù)會圍繞著某個(gè)平均值上下波動.圖3(f)給出了分形維數(shù)的平均值與溫差的變化關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn),分形維數(shù)增加的趨勢隨著溫差的增大逐漸減緩．這是因?yàn)?隨著溫差的增大,由于滑落被帶走的液滴數(shù)目占整個(gè)表面液滴的比例降低,從而對液滴尺寸分布的影響減弱．

其次,考察溫差對表面熱交換系數(shù)的影響．對于接觸角為90°的單個(gè)液滴的熱流可以表述為[7,10]

(8)

其中q,k分別為熱流量和液體的熱導(dǎo)率;hi為氣液界面的熱交換系數(shù)，對于溫度為373 K和304 K的氣體,分別取1.5×107,1.5×106W/(m2K)[8]．

根據(jù)方程(8),凝結(jié)表面的熱交換系數(shù)為

(9)

這里qi,si分別是第i個(gè)液滴的熱流和底面積;n表示凝結(jié)表面總的液滴數(shù)目．圖4顯示表面熱交換系數(shù)隨液滴尺寸的變化．從圖中可以發(fā)現(xiàn),液滴存在一個(gè)最佳尺寸,使得熱交換系數(shù)達(dá)到最大,并且最佳尺寸隨著溫差的增大而減?。?dāng)液滴尺寸達(dá)到微米量級時(shí),不同溫差下,液滴的熱交換系數(shù)近乎相等,這主要是因?yàn)橐旱纬叽邕_(dá)到微米量級以后,液滴自身的熱阻對傳熱起著決定性的作用．

圖4 單個(gè)液滴的熱交換系數(shù)隨液滴尺寸的變化

圖5(a)～(e)顯示了不同溫差條件下凝結(jié)表面熱交換系數(shù)隨迭代次數(shù)的變化．可以發(fā)現(xiàn),經(jīng)過幾十次迭代后,表面熱交換系數(shù)達(dá)到最大,這是因?yàn)橐旱蔚某叽邕_(dá)到了最佳尺寸(圖4)．接著表面熱交換系數(shù)出現(xiàn)波動情況,而且,溫差越大,這種波動情況越密集．這是由于溫差的增大,在裸露表面有更多的初始液滴生長．由圖4可知,表面熱交換系數(shù)的主要貢獻(xiàn)來自于小液滴,所以,在溫差大的表面,液滴滑落會造成表面熱交換系數(shù)更強(qiáng)烈的波動．圖5(f)顯示平均熱交換系數(shù)隨溫差的增加而增大,這與現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)測量是一致的[16]．因此,在已知冷凝表面的粗糙度和凝結(jié)核密度的情況下,本文的模擬方法可預(yù)測冷凝表面熱交換系數(shù)隨溫差的變化．

圖5 凝結(jié)表面熱交換系數(shù)隨迭代次數(shù)及溫差的變化

4 結(jié)論

根據(jù)液滴成核密度表達(dá)式,利用計(jì)算機(jī)模擬了溫差從1 K變化到5 K的凝結(jié)表面液滴成核、生長、滑落和重新凝結(jié)的過程．結(jié)果顯示,液滴尺寸分布分形維數(shù)和冷凝表面的熱交換系數(shù)隨著溫差增大而增大．該方法作為實(shí)驗(yàn)研究的有效輔助手段,可減少試驗(yàn)次數(shù),預(yù)測具有最佳熱交換性能的冷凝表面．

感謝郁伯銘教授對本文提出的寶貴意見．

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