賈 昱，程敏熙，安 盟，王經(jīng)淘，李榮妹

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

1 引 言

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是非常重要的物理量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的基本實(shí)驗(yàn)，傳統(tǒng)的方法是用落體法進(jìn)行測(cè)量，但隨著教學(xué)的進(jìn)步和實(shí)驗(yàn)手段的不斷更新，如何在原有儀器的條件基礎(chǔ)上，增加新的內(nèi)容和手段，使原實(shí)驗(yàn)更具有開(kāi)放性和創(chuàng)新性，提高實(shí)驗(yàn)測(cè)量的精確度，是需要思考的問(wèn)題[1].

Tracker視頻分析軟件是由美國(guó)卡布里洛大學(xué)(Cabrillo College)的道格拉開(kāi)斯·布朗 (Douglas Brown)教授開(kāi)發(fā)的開(kāi)源軟件[2]. 它的特點(diǎn)是能夠捕獲視頻中的位移時(shí)間數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析. Tracker已有相應(yīng)的中文版提供免費(fèi)下載使用[2]，最新的版本是4.8，網(wǎng)址是：http://www.cabrillo.edu/～dbrown/tracker/. 在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，運(yùn)用視頻分析，可以呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，展現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律.

本文應(yīng)用Tracker等技術(shù)手段，對(duì)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法進(jìn)行了改進(jìn)：用彈簧代替落體法中下落的砝碼，用數(shù)碼相機(jī)(或手機(jī))等數(shù)碼拍攝裝置代替秒表拍攝視頻，用Tracker視頻分析軟件捕獲視頻文件中的數(shù)據(jù)，最后用Origin軟件進(jìn)行精確的曲線擬合，從而求出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 本文的測(cè)量方法在原有的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，提高了測(cè)量的精度.

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理和方法

在傳統(tǒng)的落體法中[3]，塔輪受到細(xì)繩的拉力和轉(zhuǎn)軸摩擦力的力矩作用，砝碼m以加速度a下落，砝碼m由靜止開(kāi)始下落高度h所用的時(shí)間為t，得到：

(1)

式中，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，r為塔輪的半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度，I為轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Mμ為軸承的摩擦力矩，這里視為恒量.

實(shí)驗(yàn)過(guò)程g?a中，則又有

(2)

由式(1)和式(2)可知，傳統(tǒng)方法忽略了砝碼下落的加速度，但這樣會(huì)導(dǎo)致較明顯的誤差[4]；在塔輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，摩擦力矩也會(huì)隨塔輪速度增大而增大[5]；下落砝碼的質(zhì)量不同，摩擦力矩也會(huì)不同[6]，所以測(cè)量時(shí)把摩擦力矩看成恒定量是不準(zhǔn)確的；測(cè)量時(shí)用秒表計(jì)，存在較大人為誤差[5].

本文的設(shè)計(jì)如圖1所示，用彈簧代替下落的砝碼，在不遠(yuǎn)處放置手機(jī)等視頻拍攝裝置. 彈簧一端固定在地面上，一端與細(xì)繩連接. 彈簧上附一標(biāo)記物，顏色與背景有較大的反差，這樣便于之后用Tracker軟件捕獲數(shù)據(jù). 把繩子纏繞在塔輪上，拉緊彈簧，使標(biāo)記物與突出物平齊， 這樣標(biāo)記物到地面的距離與突出物到地面的距離相等. 準(zhǔn)備就緒后，釋放塔輪，塔輪在彈簧的拉力下開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，拍攝彈簧上標(biāo)記物隨彈簧從伸長(zhǎng)到恢復(fù)原長(zhǎng)的下落過(guò)程.

圖1 新轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)原理圖

剛體受到拉力和摩擦力的力矩作用，有

M=Iβ=F拉r+Mμ，

(3)

其中I為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，β為剛體旋轉(zhuǎn)的角速度. 拉力為

F拉=-Kx.

(4)

文獻(xiàn)[4]中通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法得出結(jié)論：摩擦力矩與角速度在加速度變化不大的情況下，成線性關(guān)系，所以有

Mμ=-μω,

(5)

又

(6)

聯(lián)立上述等式，方程化為[7]

(7)

(8)

可以看出方程(8)是一阻尼振動(dòng)方程，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，彈簧并沒(méi)有做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，只是向下收縮直到停止，整個(gè)過(guò)程只有1/4周期. 在本實(shí)驗(yàn)中，摩擦阻尼系數(shù)較小，所以方程的解為[8]

x=Ae-ntsin (ωt+φ) ,

(9)

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)使用普通的手機(jī)，型號(hào)為：摩托羅拉mb502，帶有拍攝視頻功能，拍攝像素為352×280，幀率為30幀. 拍攝彈簧上標(biāo)記物隨彈簧從伸長(zhǎng)到恢復(fù)原長(zhǎng)的下落過(guò)程(約4～6 s)后，將拍攝裝置用數(shù)據(jù)線連接電腦，接著按照下列步驟進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

3.1 用Tracker軟件捕x-t獲數(shù)據(jù)

將拍攝裝置中的視頻文件拖入Tracker界面導(dǎo)入數(shù)據(jù)，然后建立坐標(biāo)系，使坐標(biāo)的x方向指向標(biāo)記物下落的相反方向，并建立標(biāo)尺，輸入標(biāo)記物到地面的距離0.75,表示這個(gè)距離是0.75 m(這樣做的目的是為了給位移x賦予具體的值，在接下來(lái)的Origin軟件中更方便地進(jìn)行曲線擬合，因?yàn)榍€擬合需要先輸入各參量的大致范圍，這樣才能更快更準(zhǔn)確地?cái)M合. 經(jīng)過(guò)曲線擬合就可以得到摩擦阻尼系數(shù)和角速度這2個(gè)參量的擬合值，從式(9)的結(jié)果可以看出，摩擦阻尼系數(shù)和角速度這2個(gè)參量與高度無(wú)關(guān)，所以在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中標(biāo)記物高度的測(cè)量不會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性). 接著選擇標(biāo)記物下落開(kāi)始時(shí)為起始幀，標(biāo)記物停止下落為結(jié)束幀，進(jìn)行數(shù)據(jù)捕獲. 最后，打開(kāi)Tracker的數(shù)據(jù)工具界面，看到放大的圖表和數(shù)據(jù)表格，如圖2所示[9].

圖2 Tracker的數(shù)據(jù)工具界面

3.2 用Origin擬合曲線

把Tracker軟件中數(shù)據(jù)工具中表格的數(shù)據(jù)復(fù)制到Origin中. 利用Origin的高級(jí)擬合工具[10]進(jìn)行非線性擬合，在公式欄輸入A*exp (B*t)*sin (C*t+D),A，B，C，D分別代表振幅、摩擦阻尼系數(shù)、角速度和相位差. 經(jīng)過(guò)數(shù)秒，就得到準(zhǔn)確的擬合數(shù)值，如表1所示.

表1 Origin轉(zhuǎn)件的擬合結(jié)果

把擬合結(jié)果得到的B，C值，代入原結(jié)果，

(10)

得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

摩擦阻力系數(shù)為

μ=2nI=1.69×10-4kg·m2/s.

又根據(jù)誤差傳遞公式，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差為

2.23×10-5kg·m2.

最后結(jié)果表示為：I=(1.36±0.02)×10-3kg·m2,而用傳統(tǒng)方法測(cè)得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=(1.59±0.04)×10-3kg·m2.

傳統(tǒng)方法的誤差來(lái)源是：a.系統(tǒng)誤差，忽略加速度a帶來(lái)的誤差，將摩擦力矩視為恒定帶來(lái)的誤差;b.隨機(jī)誤差，砝碼的質(zhì)量測(cè)量誤差，秒表人工計(jì)時(shí)的誤差，砝碼下落高度測(cè)量誤差，塔輪直徑測(cè)量的誤差.

實(shí)驗(yàn)誤差來(lái)源是：彈簧勁度系數(shù)的誤差，塔輪直徑測(cè)量誤差，擬合曲線誤差(根據(jù)最小二乘法等算法得到結(jié)果的誤差).

從結(jié)果來(lái)看，本方法的測(cè)量值比傳統(tǒng)測(cè)量值略小，減少了一定的系統(tǒng)誤差，即傳統(tǒng)方法忽略了砝碼下落的加速度a，會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)慣量偏大[4]，與文獻(xiàn)中的描述一致，同樣下落砝碼質(zhì)量越大，摩擦力矩越大，傳統(tǒng)方法把不同砝碼下落的摩擦力矩視為恒定，導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果中摩擦力矩偏小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量偏大[11].

相對(duì)誤差較傳統(tǒng)的測(cè)量方法的誤差也有減小，原因在于新的實(shí)驗(yàn)方法沒(méi)有秒表計(jì)時(shí)的人為誤差，而是通過(guò)軟件捕獲數(shù)據(jù)，較為精確；不必精確測(cè)量下落高度h的值，因?yàn)榻撬俣仁峭ㄟ^(guò)擬合的方式得到的，與高度h無(wú)關(guān)，所以也避免了一定的誤差[12]；把摩擦力矩近似為變量，而不是恒定值，也提高了一定的精確度.

4 結(jié) 論

本文采用了拍攝視頻的方法，減少了實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差，對(duì)摩擦力矩與角速度的關(guān)系的描述更加科學(xué)準(zhǔn)確. 使用有拍攝視頻功能的普通手機(jī)即可進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并降低了實(shí)驗(yàn)的人為因素的影響，可重復(fù)性強(qiáng). 實(shí)驗(yàn)過(guò)程時(shí)間較短，操作容易掌握，在原有儀器上進(jìn)行，拓展了原實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)：

[1] 王海林,司嶸嶸,李相銀. 落體法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中引起測(cè)量值偏離的因素分析[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2012，32(5)：25.

[2] 李玉峰，熊建文,楊友源. 視頻分析軟件在物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2009，28(4)：62-64.

[3] 朱俊孔. 普通物理實(shí)驗(yàn)[M]. 濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2001：71-74.

[4] 劉麗君,李學(xué)金,李兵. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)誤差分析[J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),1999，12(2):46-48.

[5] 張艷亮. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定實(shí)驗(yàn)中阻力矩與角速度關(guān)系的研究[J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2012，25(5)：51-53.

[6] 班麗英. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中影響阻力矩因素研究[J]. 煤礦機(jī)械,2006，27(4)：37-39.

[7] 漆安慎，杜禪英. 普通物理學(xué)教程(力學(xué))[M]. 北京：高等教育出版社，2005:309-312.

[8] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京： 高等教育出版社，2002:37-39.

[9] 丁曉彬，董晨鐘. 基于2D開(kāi)源視頻分析和建模軟件Tracker研究拋體運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)[J]. 大學(xué)物理,2012，31(7):34-36.

[10] 武新，張永勝. Origin在曲線擬合中的應(yīng)用[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2005，17(41):206-207.

[11] 楊濤，任明放. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中時(shí)間測(cè)量的改進(jìn)方法[J]. 大學(xué)物理,2005，24(4):37-39.

[12] 郭長(zhǎng)立，李三慶. 落體法測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量方法比較[J]. 大學(xué)物理,2004 ，27(3):37-39.

[13] 李靜，厲志明. 普通物理實(shí)驗(yàn)[M]. 廣州：華南理工大學(xué)出版社，1994：11-12.