王慶歡

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一個(gè)較為常見的現(xiàn)象是學(xué)生對(duì)于曾經(jīng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，會(huì)反復(fù)出錯(cuò)，盡管教師再三強(qiáng)調(diào)，學(xué)生依舊會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤。這對(duì)于有限的復(fù)習(xí)時(shí)間而言，無疑讓人心懷隱憂。其實(shí)如果學(xué)生每次都能將做錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)及時(shí)總結(jié)、復(fù)習(xí)，保證下次不再犯同樣的錯(cuò)誤，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)就會(huì)青云直上。所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極建立錯(cuò)題集，將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的資源，巧用錯(cuò)題集，提升學(xué)習(xí)成效。

一、建立錯(cuò)題集的意義

建立錯(cuò)題集，雖然看起來要花費(fèi)一些時(shí)間，但是其意義和價(jià)值不可小視，主要呈現(xiàn)出以下四點(diǎn)意義。

1.運(yùn)用認(rèn)知規(guī)律，建立知識(shí)體系

布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論一直為一線的教育者所推崇，他提出學(xué)習(xí)是一種認(rèn)知過程，學(xué)生接收新的知識(shí)點(diǎn)后，要打破頭腦中原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓原有的知識(shí)點(diǎn)與新知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，形成新的認(rèn)知。但是這個(gè)過程不是一次完成的，而是要經(jīng)過多次認(rèn)證、反復(fù)實(shí)踐來加以完成。而錯(cuò)題集有助于學(xué)生運(yùn)用認(rèn)知規(guī)律，來建立新的知識(shí)體系。

2.運(yùn)用情感因素，樹立積極態(tài)度

高中階段的學(xué)生，仍處于身心發(fā)展的可塑階段。特別是一些“學(xué)困生”、后進(jìn)生，他們內(nèi)心也有著強(qiáng)烈的進(jìn)取觀念，但是由于一些主客觀因素，導(dǎo)致他們無法成為優(yōu)等生。錯(cuò)題集的建立，有助于他們養(yǎng)成堅(jiān)韌不拔的性格，培養(yǎng)踏實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)、刻苦的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。所以建立錯(cuò)題集，有助于運(yùn)用情感因素，讓學(xué)生樹立積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。

3.通過反思錯(cuò)題，改善學(xué)習(xí)習(xí)慣

在教學(xué)中，作者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，他們沒有養(yǎng)成及時(shí)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，題目做完就拋擲腦后，所以重復(fù)的錯(cuò)誤總會(huì)反復(fù)出現(xiàn)。而錯(cuò)題集的建立，引導(dǎo)他們養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，及時(shí)總結(jié)、及時(shí)糾正。

4.利用反思錯(cuò)題，節(jié)約復(fù)習(xí)時(shí)間

高中三年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間較為有限，學(xué)生如果反復(fù)出現(xiàn)相同的錯(cuò)誤，教師就只能反復(fù)去糾正、強(qiáng)調(diào)，無疑會(huì)浪費(fèi)很多寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間。特別是在高考數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)階段，更不應(yīng)該將時(shí)間浪費(fèi)在反復(fù)出現(xiàn)的錯(cuò)題上，而錯(cuò)題集就能提升學(xué)生課堂及課后的效率，利用錯(cuò)題反思，達(dá)到舉一反三、節(jié)約時(shí)間的目的。

二、建立錯(cuò)題集的方法

建立錯(cuò)題集，需要講究一定的原則，必須要有錯(cuò)必集、及時(shí)糾正。哪怕是平日的小作業(yè)、小測(cè)試中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，學(xué)生也應(yīng)該馬上進(jìn)行總結(jié)、記錄。有一些小錯(cuò)誤看起來不大，但如果不注意總結(jié)，就很可能導(dǎo)致下一次繼續(xù)犯同樣的錯(cuò)誤，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生正確看待小錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤及時(shí)進(jìn)行糾正。建立錯(cuò)題集的方法主要分為以下三種。

1.分類整理

要對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分類整理，作者建議在每一個(gè)錯(cuò)題的邊上用紅筆標(biāo)注好類別，比如這道題屬于“粗心大意”類，這道題屬于“數(shù)形結(jié)合”類，這樣在查看的時(shí)候一目了然，并且能夠明白自己是在哪一方面知識(shí)上出的差錯(cuò)。如果某個(gè)知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤出現(xiàn)較多，學(xué)生可以結(jié)合具體情況復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，有針對(duì)性地進(jìn)行練習(xí)和鞏固。

比如有學(xué)生將坐標(biāo)系與參數(shù)方程的一些有代表性的錯(cuò)題放在一起進(jìn)行記錄和總結(jié)，如下：

例1：參數(shù)方程為x=t+y=2（t為參數(shù)）表示的曲線是（ ）

A.一條直線 B.兩條直線

C.一條射線 D.兩條射線

例2：圓ρ=5 cos θ-5 sin θ的圓心坐標(biāo)是（ ）

A.（-5，） B.（-5，）

C.（5，） D.（-5，）

例3：曲線的參數(shù)方程是x=1-y=1-t（t為參數(shù),t≠0），則它的普通方程為 .

學(xué)生將上面的例題放在一起，并在解題的時(shí)候?qū)⑻羁疹}、選擇題的考查方式也適當(dāng)進(jìn)行了變換，如將選擇題改成了填空題（將錯(cuò)誤答案去掉，擔(dān)心復(fù)習(xí)受到干擾）。這樣，將一類題放在一起進(jìn)行錯(cuò)題總結(jié)，有助于學(xué)生復(fù)習(xí)的精準(zhǔn)性。

2.記錄方法

在作業(yè)、試卷的講評(píng)中，教師一般都會(huì)詳細(xì)講解解題的過程，包括考查的內(nèi)容、思維方法、計(jì)算過程等；學(xué)生在錯(cuò)題的記錄中也應(yīng)如此，還應(yīng)附上自己的心得、小結(jié)，總結(jié)得多了，對(duì)知識(shí)點(diǎn)就有了更精準(zhǔn)的把握。

例4：作一直線l，要求經(jīng)過點(diǎn)A(-5，-4) ，并且這條直線與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5．

解：設(shè)直線為y+4=k(x+5)，交 x軸于點(diǎn)（-5，0），交y軸于點(diǎn)（0,5k-4）.

S=×-5×|5k-4|=5，40--25k=10.

得25k2-30k+16=0,或25k2-50k+16=0.

解得k=，或k=.

所以2x-5y-10=0，或8x-5y+20=0為所求.

學(xué)生在錯(cuò)題集中標(biāo)注這屬于“解析幾何”類知識(shí)點(diǎn)，這道題對(duì)幾何、函數(shù)、不等式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查。解決這一類題的關(guān)鍵在于要巧妙運(yùn)用整體思維，先觀察全局，再?gòu)木植咳胧?；既從宏觀上把握解題要點(diǎn)，還要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙解題。

隨后作者結(jié)合學(xué)生的錯(cuò)題，又出了一道類似的題：

例5：直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有多少條？

解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)y=kx，過點(diǎn)A（1，2），得k=2，即y=2x；

當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)+=1，或+=1，過點(diǎn)A（1，2）.

得a=3，或a=-1，即x+y-3=0，或x-y+1=0.

這樣的直線有3條：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.

本題相對(duì)例4有一點(diǎn)難度，但是經(jīng)過上一道題目的講解以及學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的消化，大部分學(xué)生都能解出本題的正確答案。

3.錯(cuò)題改編

錯(cuò)題改編環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的要求較高，但是如果能達(dá)到這個(gè)境界，說明錯(cuò)題已經(jīng)真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的資源了。本環(huán)節(jié)的工作量較大，學(xué)生可以試著去鉆研和領(lǐng)悟。

例6：已知拋物線y2=2px（p>0），過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，|AB|≤2p．求a的取值范圍.

解：直線l的方程為y=x-a，

得x2-2（a+p）x+a2=0．設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x1,y1），B(x2,y2)，

4(a+p)2-4a2>0,x1+x2=a2(a+p),x1x2=a2.又y1=x1-a,y2=x2-a,

所以|AB|==

]=.

因?yàn)?<|AB|≤2p，8p（p+2a）>0，所以0<≤2p，解得-

學(xué)會(huì)改編的學(xué)生在本環(huán)節(jié)不僅將詳細(xì)的解題方法記錄下來，而且通過數(shù)形結(jié)合法畫出了函數(shù)圖。作者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生還對(duì)這道錯(cuò)題進(jìn)行了延伸：若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求 Rt△NAB面積的最大值為多少？

解：設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，令坐標(biāo)為（x3,y3）， 則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

x3==a+p,y===p,

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.

又△MNQ為等腰直角三角形，

所以|QN|=|QM|=p，所以S△NAB=|AB|·|QN|=p|AB|≤p·2p=p2，即△NAB面積最大值為p2.

如此的延伸說明學(xué)生在整理錯(cuò)題的過程中已進(jìn)行了深入細(xì)致的思考。不過也有個(gè)別學(xué)生的探究較為淺薄，或是雖然記錄了一本“漂亮工整”的錯(cuò)題集，但是不過是將題目進(jìn)行了“搬遷”，缺少個(gè)人的思考和總結(jié)。

三、怎樣使用錯(cuò)題集

有的學(xué)生記錄之后就將錯(cuò)題集束之高閣，這樣既浪費(fèi)了時(shí)間又沒有起到積極的作用。所以作者主張錯(cuò)題集既要展現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性及特點(diǎn)，又要發(fā)揮其積極的功效。所以作者建議采用以下幾種方法使用錯(cuò)題集。

1.經(jīng)常閱讀

作者主張學(xué)生將錯(cuò)題集和教材放在一起，利用課余時(shí)間時(shí)常翻閱，這樣才能常讀常新。很多學(xué)生會(huì)在閱讀時(shí)又產(chǎn)生一些新的心得體會(huì)，這時(shí)可以用不同顏色的筆進(jìn)行標(biāo)注。

2.同學(xué)交流

所謂“一千個(gè)讀者就有一千個(gè)哈姆雷特”，學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)也是各不相同，所以同學(xué)之間相互交流錯(cuò)題集就頗有價(jià)值，能夠便于學(xué)生之間取長(zhǎng)補(bǔ)短、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。一些學(xué)生還可以從別人的錯(cuò)題集中發(fā)現(xiàn)一些自己沒有意識(shí)到的問題，特別是錯(cuò)題改編部分，通過相互交流，有助于開闊學(xué)生的思維。

3.師生交流

教師不定期查閱學(xué)生的錯(cuò)題集，特別是通過學(xué)生自己寫的心得體會(huì)，及時(shí)了解學(xué)生的所思所想，了解學(xué)生還有哪些困惑、哪些疑問，抽出一些時(shí)間，為學(xué)生統(tǒng)一解惑、答疑。這樣的師生交流有助于真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

總之，如果能充分利用錯(cuò)題集，讓錯(cuò)誤成為學(xué)習(xí)的資源，可以帶來很多的優(yōu)勢(shì)。作者也在學(xué)生們充滿個(gè)性化的錯(cuò)題集中受益匪淺。方法題中悟，巧用錯(cuò)題集，真正讓錯(cuò)誤綻放五彩的光芒。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一個(gè)較為常見的現(xiàn)象是學(xué)生對(duì)于曾經(jīng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，會(huì)反復(fù)出錯(cuò)，盡管教師再三強(qiáng)調(diào)，學(xué)生依舊會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤。這對(duì)于有限的復(fù)習(xí)時(shí)間而言，無疑讓人心懷隱憂。其實(shí)如果學(xué)生每次都能將做錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)及時(shí)總結(jié)、復(fù)習(xí)，保證下次不再犯同樣的錯(cuò)誤，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)就會(huì)青云直上。所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極建立錯(cuò)題集，將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的資源，巧用錯(cuò)題集，提升學(xué)習(xí)成效。

一、建立錯(cuò)題集的意義

建立錯(cuò)題集，雖然看起來要花費(fèi)一些時(shí)間，但是其意義和價(jià)值不可小視，主要呈現(xiàn)出以下四點(diǎn)意義。

1.運(yùn)用認(rèn)知規(guī)律，建立知識(shí)體系

布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論一直為一線的教育者所推崇，他提出學(xué)習(xí)是一種認(rèn)知過程，學(xué)生接收新的知識(shí)點(diǎn)后，要打破頭腦中原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓原有的知識(shí)點(diǎn)與新知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，形成新的認(rèn)知。但是這個(gè)過程不是一次完成的，而是要經(jīng)過多次認(rèn)證、反復(fù)實(shí)踐來加以完成。而錯(cuò)題集有助于學(xué)生運(yùn)用認(rèn)知規(guī)律，來建立新的知識(shí)體系。

2.運(yùn)用情感因素，樹立積極態(tài)度

高中階段的學(xué)生，仍處于身心發(fā)展的可塑階段。特別是一些“學(xué)困生”、后進(jìn)生，他們內(nèi)心也有著強(qiáng)烈的進(jìn)取觀念，但是由于一些主客觀因素，導(dǎo)致他們無法成為優(yōu)等生。錯(cuò)題集的建立，有助于他們養(yǎng)成堅(jiān)韌不拔的性格，培養(yǎng)踏實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)、刻苦的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。所以建立錯(cuò)題集，有助于運(yùn)用情感因素，讓學(xué)生樹立積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。

3.通過反思錯(cuò)題，改善學(xué)習(xí)習(xí)慣

在教學(xué)中，作者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，他們沒有養(yǎng)成及時(shí)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，題目做完就拋擲腦后，所以重復(fù)的錯(cuò)誤總會(huì)反復(fù)出現(xiàn)。而錯(cuò)題集的建立，引導(dǎo)他們養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，及時(shí)總結(jié)、及時(shí)糾正。

4.利用反思錯(cuò)題，節(jié)約復(fù)習(xí)時(shí)間

高中三年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間較為有限，學(xué)生如果反復(fù)出現(xiàn)相同的錯(cuò)誤，教師就只能反復(fù)去糾正、強(qiáng)調(diào)，無疑會(huì)浪費(fèi)很多寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間。特別是在高考數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)階段，更不應(yīng)該將時(shí)間浪費(fèi)在反復(fù)出現(xiàn)的錯(cuò)題上，而錯(cuò)題集就能提升學(xué)生課堂及課后的效率，利用錯(cuò)題反思，達(dá)到舉一反三、節(jié)約時(shí)間的目的。

二、建立錯(cuò)題集的方法

建立錯(cuò)題集，需要講究一定的原則，必須要有錯(cuò)必集、及時(shí)糾正。哪怕是平日的小作業(yè)、小測(cè)試中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，學(xué)生也應(yīng)該馬上進(jìn)行總結(jié)、記錄。有一些小錯(cuò)誤看起來不大，但如果不注意總結(jié)，就很可能導(dǎo)致下一次繼續(xù)犯同樣的錯(cuò)誤，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生正確看待小錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤及時(shí)進(jìn)行糾正。建立錯(cuò)題集的方法主要分為以下三種。

1.分類整理

要對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分類整理，作者建議在每一個(gè)錯(cuò)題的邊上用紅筆標(biāo)注好類別，比如這道題屬于“粗心大意”類，這道題屬于“數(shù)形結(jié)合”類，這樣在查看的時(shí)候一目了然，并且能夠明白自己是在哪一方面知識(shí)上出的差錯(cuò)。如果某個(gè)知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤出現(xiàn)較多，學(xué)生可以結(jié)合具體情況復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，有針對(duì)性地進(jìn)行練習(xí)和鞏固。

比如有學(xué)生將坐標(biāo)系與參數(shù)方程的一些有代表性的錯(cuò)題放在一起進(jìn)行記錄和總結(jié)，如下：

例1：參數(shù)方程為x=t+y=2（t為參數(shù)）表示的曲線是（ ）

A.一條直線 B.兩條直線

C.一條射線 D.兩條射線

例2：圓ρ=5 cos θ-5 sin θ的圓心坐標(biāo)是（ ）

A.（-5，） B.（-5，）

C.（5，） D.（-5，）

例3：曲線的參數(shù)方程是x=1-y=1-t（t為參數(shù),t≠0），則它的普通方程為 .

學(xué)生將上面的例題放在一起，并在解題的時(shí)候?qū)⑻羁疹}、選擇題的考查方式也適當(dāng)進(jìn)行了變換，如將選擇題改成了填空題（將錯(cuò)誤答案去掉，擔(dān)心復(fù)習(xí)受到干擾）。這樣，將一類題放在一起進(jìn)行錯(cuò)題總結(jié)，有助于學(xué)生復(fù)習(xí)的精準(zhǔn)性。

2.記錄方法

在作業(yè)、試卷的講評(píng)中，教師一般都會(huì)詳細(xì)講解解題的過程，包括考查的內(nèi)容、思維方法、計(jì)算過程等；學(xué)生在錯(cuò)題的記錄中也應(yīng)如此，還應(yīng)附上自己的心得、小結(jié)，總結(jié)得多了，對(duì)知識(shí)點(diǎn)就有了更精準(zhǔn)的把握。

例4：作一直線l，要求經(jīng)過點(diǎn)A(-5，-4) ，并且這條直線與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5．

解：設(shè)直線為y+4=k(x+5)，交 x軸于點(diǎn)（-5，0），交y軸于點(diǎn)（0,5k-4）.

S=×-5×|5k-4|=5，40--25k=10.

得25k2-30k+16=0,或25k2-50k+16=0.

解得k=，或k=.

所以2x-5y-10=0，或8x-5y+20=0為所求.

學(xué)生在錯(cuò)題集中標(biāo)注這屬于“解析幾何”類知識(shí)點(diǎn)，這道題對(duì)幾何、函數(shù)、不等式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查。解決這一類題的關(guān)鍵在于要巧妙運(yùn)用整體思維，先觀察全局，再?gòu)木植咳胧?；既從宏觀上把握解題要點(diǎn)，還要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙解題。

隨后作者結(jié)合學(xué)生的錯(cuò)題，又出了一道類似的題：

例5：直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有多少條？

解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)y=kx，過點(diǎn)A（1，2），得k=2，即y=2x；

當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)+=1，或+=1，過點(diǎn)A（1，2）.

得a=3，或a=-1，即x+y-3=0，或x-y+1=0.

這樣的直線有3條：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.

本題相對(duì)例4有一點(diǎn)難度，但是經(jīng)過上一道題目的講解以及學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的消化，大部分學(xué)生都能解出本題的正確答案。

3.錯(cuò)題改編

錯(cuò)題改編環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的要求較高，但是如果能達(dá)到這個(gè)境界，說明錯(cuò)題已經(jīng)真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的資源了。本環(huán)節(jié)的工作量較大，學(xué)生可以試著去鉆研和領(lǐng)悟。

例6：已知拋物線y2=2px（p>0），過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，|AB|≤2p．求a的取值范圍.

解：直線l的方程為y=x-a，

得x2-2（a+p）x+a2=0．設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x1,y1），B(x2,y2)，

4(a+p)2-4a2>0,x1+x2=a2(a+p),x1x2=a2.又y1=x1-a,y2=x2-a,

所以|AB|==

]=.

因?yàn)?<|AB|≤2p，8p（p+2a）>0，所以0<≤2p，解得-

學(xué)會(huì)改編的學(xué)生在本環(huán)節(jié)不僅將詳細(xì)的解題方法記錄下來，而且通過數(shù)形結(jié)合法畫出了函數(shù)圖。作者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生還對(duì)這道錯(cuò)題進(jìn)行了延伸：若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求 Rt△NAB面積的最大值為多少？

解：設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，令坐標(biāo)為（x3,y3）， 則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

x3==a+p,y===p,

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.

又△MNQ為等腰直角三角形，

所以|QN|=|QM|=p，所以S△NAB=|AB|·|QN|=p|AB|≤p·2p=p2，即△NAB面積最大值為p2.

如此的延伸說明學(xué)生在整理錯(cuò)題的過程中已進(jìn)行了深入細(xì)致的思考。不過也有個(gè)別學(xué)生的探究較為淺薄，或是雖然記錄了一本“漂亮工整”的錯(cuò)題集，但是不過是將題目進(jìn)行了“搬遷”，缺少個(gè)人的思考和總結(jié)。

三、怎樣使用錯(cuò)題集

有的學(xué)生記錄之后就將錯(cuò)題集束之高閣，這樣既浪費(fèi)了時(shí)間又沒有起到積極的作用。所以作者主張錯(cuò)題集既要展現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性及特點(diǎn)，又要發(fā)揮其積極的功效。所以作者建議采用以下幾種方法使用錯(cuò)題集。

1.經(jīng)常閱讀

作者主張學(xué)生將錯(cuò)題集和教材放在一起，利用課余時(shí)間時(shí)常翻閱，這樣才能常讀常新。很多學(xué)生會(huì)在閱讀時(shí)又產(chǎn)生一些新的心得體會(huì)，這時(shí)可以用不同顏色的筆進(jìn)行標(biāo)注。

2.同學(xué)交流

所謂“一千個(gè)讀者就有一千個(gè)哈姆雷特”，學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)也是各不相同，所以同學(xué)之間相互交流錯(cuò)題集就頗有價(jià)值，能夠便于學(xué)生之間取長(zhǎng)補(bǔ)短、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。一些學(xué)生還可以從別人的錯(cuò)題集中發(fā)現(xiàn)一些自己沒有意識(shí)到的問題，特別是錯(cuò)題改編部分，通過相互交流，有助于開闊學(xué)生的思維。

3.師生交流

教師不定期查閱學(xué)生的錯(cuò)題集，特別是通過學(xué)生自己寫的心得體會(huì)，及時(shí)了解學(xué)生的所思所想，了解學(xué)生還有哪些困惑、哪些疑問，抽出一些時(shí)間，為學(xué)生統(tǒng)一解惑、答疑。這樣的師生交流有助于真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

總之，如果能充分利用錯(cuò)題集，讓錯(cuò)誤成為學(xué)習(xí)的資源，可以帶來很多的優(yōu)勢(shì)。作者也在學(xué)生們充滿個(gè)性化的錯(cuò)題集中受益匪淺。方法題中悟，巧用錯(cuò)題集，真正讓錯(cuò)誤綻放五彩的光芒。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一個(gè)較為常見的現(xiàn)象是學(xué)生對(duì)于曾經(jīng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，會(huì)反復(fù)出錯(cuò)，盡管教師再三強(qiáng)調(diào)，學(xué)生依舊會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤。這對(duì)于有限的復(fù)習(xí)時(shí)間而言，無疑讓人心懷隱憂。其實(shí)如果學(xué)生每次都能將做錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)及時(shí)總結(jié)、復(fù)習(xí)，保證下次不再犯同樣的錯(cuò)誤，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)就會(huì)青云直上。所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極建立錯(cuò)題集，將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的資源，巧用錯(cuò)題集，提升學(xué)習(xí)成效。

一、建立錯(cuò)題集的意義

建立錯(cuò)題集，雖然看起來要花費(fèi)一些時(shí)間，但是其意義和價(jià)值不可小視，主要呈現(xiàn)出以下四點(diǎn)意義。

1.運(yùn)用認(rèn)知規(guī)律，建立知識(shí)體系

布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論一直為一線的教育者所推崇，他提出學(xué)習(xí)是一種認(rèn)知過程，學(xué)生接收新的知識(shí)點(diǎn)后，要打破頭腦中原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓原有的知識(shí)點(diǎn)與新知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，形成新的認(rèn)知。但是這個(gè)過程不是一次完成的，而是要經(jīng)過多次認(rèn)證、反復(fù)實(shí)踐來加以完成。而錯(cuò)題集有助于學(xué)生運(yùn)用認(rèn)知規(guī)律，來建立新的知識(shí)體系。

2.運(yùn)用情感因素，樹立積極態(tài)度

高中階段的學(xué)生，仍處于身心發(fā)展的可塑階段。特別是一些“學(xué)困生”、后進(jìn)生，他們內(nèi)心也有著強(qiáng)烈的進(jìn)取觀念，但是由于一些主客觀因素，導(dǎo)致他們無法成為優(yōu)等生。錯(cuò)題集的建立，有助于他們養(yǎng)成堅(jiān)韌不拔的性格，培養(yǎng)踏實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)、刻苦的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。所以建立錯(cuò)題集，有助于運(yùn)用情感因素，讓學(xué)生樹立積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。

3.通過反思錯(cuò)題，改善學(xué)習(xí)習(xí)慣

在教學(xué)中，作者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，他們沒有養(yǎng)成及時(shí)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，題目做完就拋擲腦后，所以重復(fù)的錯(cuò)誤總會(huì)反復(fù)出現(xiàn)。而錯(cuò)題集的建立，引導(dǎo)他們養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，及時(shí)總結(jié)、及時(shí)糾正。

4.利用反思錯(cuò)題，節(jié)約復(fù)習(xí)時(shí)間

高中三年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間較為有限，學(xué)生如果反復(fù)出現(xiàn)相同的錯(cuò)誤，教師就只能反復(fù)去糾正、強(qiáng)調(diào)，無疑會(huì)浪費(fèi)很多寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間。特別是在高考數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)階段，更不應(yīng)該將時(shí)間浪費(fèi)在反復(fù)出現(xiàn)的錯(cuò)題上，而錯(cuò)題集就能提升學(xué)生課堂及課后的效率，利用錯(cuò)題反思，達(dá)到舉一反三、節(jié)約時(shí)間的目的。

二、建立錯(cuò)題集的方法

建立錯(cuò)題集，需要講究一定的原則，必須要有錯(cuò)必集、及時(shí)糾正。哪怕是平日的小作業(yè)、小測(cè)試中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，學(xué)生也應(yīng)該馬上進(jìn)行總結(jié)、記錄。有一些小錯(cuò)誤看起來不大，但如果不注意總結(jié)，就很可能導(dǎo)致下一次繼續(xù)犯同樣的錯(cuò)誤，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生正確看待小錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤及時(shí)進(jìn)行糾正。建立錯(cuò)題集的方法主要分為以下三種。

1.分類整理

要對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分類整理，作者建議在每一個(gè)錯(cuò)題的邊上用紅筆標(biāo)注好類別，比如這道題屬于“粗心大意”類，這道題屬于“數(shù)形結(jié)合”類，這樣在查看的時(shí)候一目了然，并且能夠明白自己是在哪一方面知識(shí)上出的差錯(cuò)。如果某個(gè)知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤出現(xiàn)較多，學(xué)生可以結(jié)合具體情況復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，有針對(duì)性地進(jìn)行練習(xí)和鞏固。

比如有學(xué)生將坐標(biāo)系與參數(shù)方程的一些有代表性的錯(cuò)題放在一起進(jìn)行記錄和總結(jié)，如下：

例1：參數(shù)方程為x=t+y=2（t為參數(shù)）表示的曲線是（ ）

A.一條直線 B.兩條直線

C.一條射線 D.兩條射線

例2：圓ρ=5 cos θ-5 sin θ的圓心坐標(biāo)是（ ）

A.（-5，） B.（-5，）

C.（5，） D.（-5，）

例3：曲線的參數(shù)方程是x=1-y=1-t（t為參數(shù),t≠0），則它的普通方程為 .

學(xué)生將上面的例題放在一起，并在解題的時(shí)候?qū)⑻羁疹}、選擇題的考查方式也適當(dāng)進(jìn)行了變換，如將選擇題改成了填空題（將錯(cuò)誤答案去掉，擔(dān)心復(fù)習(xí)受到干擾）。這樣，將一類題放在一起進(jìn)行錯(cuò)題總結(jié)，有助于學(xué)生復(fù)習(xí)的精準(zhǔn)性。

2.記錄方法

在作業(yè)、試卷的講評(píng)中，教師一般都會(huì)詳細(xì)講解解題的過程，包括考查的內(nèi)容、思維方法、計(jì)算過程等；學(xué)生在錯(cuò)題的記錄中也應(yīng)如此，還應(yīng)附上自己的心得、小結(jié)，總結(jié)得多了，對(duì)知識(shí)點(diǎn)就有了更精準(zhǔn)的把握。

例4：作一直線l，要求經(jīng)過點(diǎn)A(-5，-4) ，并且這條直線與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5．

解：設(shè)直線為y+4=k(x+5)，交 x軸于點(diǎn)（-5，0），交y軸于點(diǎn)（0,5k-4）.

S=×-5×|5k-4|=5，40--25k=10.

得25k2-30k+16=0,或25k2-50k+16=0.

解得k=，或k=.

所以2x-5y-10=0，或8x-5y+20=0為所求.

學(xué)生在錯(cuò)題集中標(biāo)注這屬于“解析幾何”類知識(shí)點(diǎn)，這道題對(duì)幾何、函數(shù)、不等式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查。解決這一類題的關(guān)鍵在于要巧妙運(yùn)用整體思維，先觀察全局，再?gòu)木植咳胧郑患葟暮暧^上把握解題要點(diǎn)，還要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙解題。

隨后作者結(jié)合學(xué)生的錯(cuò)題，又出了一道類似的題：

例5：直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有多少條？

解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)y=kx，過點(diǎn)A（1，2），得k=2，即y=2x；

當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)+=1，或+=1，過點(diǎn)A（1，2）.

得a=3，或a=-1，即x+y-3=0，或x-y+1=0.

這樣的直線有3條：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.

本題相對(duì)例4有一點(diǎn)難度，但是經(jīng)過上一道題目的講解以及學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的消化，大部分學(xué)生都能解出本題的正確答案。

3.錯(cuò)題改編

錯(cuò)題改編環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的要求較高，但是如果能達(dá)到這個(gè)境界，說明錯(cuò)題已經(jīng)真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的資源了。本環(huán)節(jié)的工作量較大，學(xué)生可以試著去鉆研和領(lǐng)悟。

例6：已知拋物線y2=2px（p>0），過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，|AB|≤2p．求a的取值范圍.

解：直線l的方程為y=x-a，

得x2-2（a+p）x+a2=0．設(shè)直線l與拋物線兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x1,y1），B(x2,y2)，

4(a+p)2-4a2>0,x1+x2=a2(a+p),x1x2=a2.又y1=x1-a,y2=x2-a,

所以|AB|==

]=.

因?yàn)?<|AB|≤2p，8p（p+2a）>0，所以0<≤2p，解得-

學(xué)會(huì)改編的學(xué)生在本環(huán)節(jié)不僅將詳細(xì)的解題方法記錄下來，而且通過數(shù)形結(jié)合法畫出了函數(shù)圖。作者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生還對(duì)這道錯(cuò)題進(jìn)行了延伸：若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求 Rt△NAB面積的最大值為多少？

解：設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，令坐標(biāo)為（x3,y3）， 則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

x3==a+p,y===p,

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.

又△MNQ為等腰直角三角形，

所以|QN|=|QM|=p，所以S△NAB=|AB|·|QN|=p|AB|≤p·2p=p2，即△NAB面積最大值為p2.

如此的延伸說明學(xué)生在整理錯(cuò)題的過程中已進(jìn)行了深入細(xì)致的思考。不過也有個(gè)別學(xué)生的探究較為淺薄，或是雖然記錄了一本“漂亮工整”的錯(cuò)題集，但是不過是將題目進(jìn)行了“搬遷”，缺少個(gè)人的思考和總結(jié)。

三、怎樣使用錯(cuò)題集

有的學(xué)生記錄之后就將錯(cuò)題集束之高閣，這樣既浪費(fèi)了時(shí)間又沒有起到積極的作用。所以作者主張錯(cuò)題集既要展現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性及特點(diǎn)，又要發(fā)揮其積極的功效。所以作者建議采用以下幾種方法使用錯(cuò)題集。

1.經(jīng)常閱讀

作者主張學(xué)生將錯(cuò)題集和教材放在一起，利用課余時(shí)間時(shí)常翻閱，這樣才能常讀常新。很多學(xué)生會(huì)在閱讀時(shí)又產(chǎn)生一些新的心得體會(huì)，這時(shí)可以用不同顏色的筆進(jìn)行標(biāo)注。

2.同學(xué)交流

所謂“一千個(gè)讀者就有一千個(gè)哈姆雷特”，學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)也是各不相同，所以同學(xué)之間相互交流錯(cuò)題集就頗有價(jià)值，能夠便于學(xué)生之間取長(zhǎng)補(bǔ)短、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。一些學(xué)生還可以從別人的錯(cuò)題集中發(fā)現(xiàn)一些自己沒有意識(shí)到的問題，特別是錯(cuò)題改編部分，通過相互交流，有助于開闊學(xué)生的思維。

3.師生交流

教師不定期查閱學(xué)生的錯(cuò)題集，特別是通過學(xué)生自己寫的心得體會(huì)，及時(shí)了解學(xué)生的所思所想，了解學(xué)生還有哪些困惑、哪些疑問，抽出一些時(shí)間，為學(xué)生統(tǒng)一解惑、答疑。這樣的師生交流有助于真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

總之，如果能充分利用錯(cuò)題集，讓錯(cuò)誤成為學(xué)習(xí)的資源，可以帶來很多的優(yōu)勢(shì)。作者也在學(xué)生們充滿個(gè)性化的錯(cuò)題集中受益匪淺。方法題中悟，巧用錯(cuò)題集，真正讓錯(cuò)誤綻放五彩的光芒。