李雨田，張宇文

(1.中船重工第七一○研究所，湖北 宜昌 443003；2．西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072)

常規(guī)水下航行體的流體介質(zhì)完全是水，航行體表面為全沾濕，流體介質(zhì)作用于整個航行體表面。超空泡航行體表面大部分由空泡包圍，流體介質(zhì)由水變?yōu)槠?氣體。汽/氣體密度較水密度小兩個量級，而據(jù)空泡生成機(jī)理，空泡內(nèi)壓力為常數(shù)，航行體表面所受汽/氣體壓力處處相等。超空泡航行體的力學(xué)特征使超空泡航行體流體動力設(shè)計原理及方法完全不同于常規(guī)水下航行體。常規(guī)水下航行體流體動力依賴于航行體外形，流體動力設(shè)計主要為航行體外形設(shè)計。超空泡航行體流體動力則決定于空泡生成后航行體的沾濕表面，外形設(shè)計主要為航行體沾濕表面設(shè)計。沾濕表面不僅決定于航行體外形，亦決定于空泡外形。

為此提出“超空泡航行體空泡流型”概念，將超空泡航行體流體動力所涉航行體外形、空泡外形、航行體外形與空泡外形匹配關(guān)系統(tǒng)一為一體，用超空泡航行體空泡流型描述，以航行體空泡流型為主導(dǎo)進(jìn)行超空泡航行體流體動力設(shè)計。由空泡自身特性出發(fā)研究與確定航行體可生成空泡流型尤其可穩(wěn)定的航行體空泡流型；再由航行體運動力學(xué)原理出發(fā)研究與確定航行體空泡流型可滿足航行體實現(xiàn)穩(wěn)定運動的要求；研究航行體空泡流型與航行體外形及空泡生成系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)性尤其定量關(guān)系，提出所需空泡流型。

因超空泡航行體作直航運動，需設(shè)計直航空泡流型，保證此空泡流型下超空泡與航行體沾濕面積，使空泡、航行體與周圍流體維持力系平衡，以實現(xiàn)超空泡航行體穩(wěn)定直航運動。超空泡航行體作機(jī)動回轉(zhuǎn)運動，操縱控制面提供航行體機(jī)動法向過載，航行體機(jī)動變向，空泡外形隨之變化，當(dāng)空泡外形與航行體外形動態(tài)匹配到一定量值，滿足穩(wěn)態(tài)機(jī)動回轉(zhuǎn)運動所需沾濕面時動態(tài)過程結(jié)束，轉(zhuǎn)入穩(wěn)定機(jī)動回轉(zhuǎn)運動。欲實現(xiàn)超空泡航行體由直航過渡到機(jī)動回轉(zhuǎn)及穩(wěn)定機(jī)動回轉(zhuǎn)運動，需研究過渡、機(jī)動運動過程中空泡外形變化及影響變化因素，研究空泡外形與航行體外形的匹配關(guān)系。

1 超空泡機(jī)動回轉(zhuǎn)運動數(shù)學(xué)建模

1.1 超空泡體坐標(biāo)系

設(shè)超空泡航行體以角速度ω、回轉(zhuǎn)半徑R作機(jī)動回轉(zhuǎn)運動，考慮空泡截面獨立擴(kuò)張原理[1-2]及空泡延遲效應(yīng)[3-5]，最終穩(wěn)態(tài)超空泡呈近似圓弧狀的“月牙形”[6-7]。建立地面坐標(biāo)系O0x0y0z0見圖1，坐標(biāo)原點O0位于回轉(zhuǎn)運動中心，O0x0z0平面為水平面；建立航行體坐標(biāo)系Obxbybzb，坐標(biāo)原點Ob位于航行體浮心，Obxb軸沿航行體縱軸并指向航行體頭部；Obyb垂直于Obxb并指向上方，Obzb垂直于Obxbyb平面，正方向由右手法則確定；建立超空泡體坐標(biāo)系Orl，坐標(biāo)原點O位于空泡截面中心，l軸沿空泡軸向，指向空泡尾部，表征空泡軸線(中弧線)長，r軸沿空泡截面徑向，表征l處空泡半徑。在超空泡體坐標(biāo)系中，基于空泡截面獨立擴(kuò)張原理建立的超空泡外形公式仍適用，但超空泡軸線非直線，為曲線。

圖1 超空泡體坐標(biāo)系

1.2 超空泡外形數(shù)學(xué)表達(dá)式

據(jù)空泡截面獨立擴(kuò)張原理，空泡在超空泡體坐標(biāo)系中的截面擴(kuò)張方程為

(1)

式中：S0為起始空泡面積；t為空泡軸向擴(kuò)張時間；Δp為空泡內(nèi)外壓差；ρ為周圍流體密度。

超空泡半徑為

(2)

式中：Rm為空泡最大半徑；Rn為空化器半徑；tm為空泡擴(kuò)張至最大半徑時間；η為經(jīng)驗系數(shù)。

超空泡徑向截面外點、內(nèi)點在超空泡體坐標(biāo)系Orl中坐標(biāo)為

(3)

超空泡體坐標(biāo)系至地面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣為

(4)

超空泡徑向截面外點、內(nèi)點在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(5)

(6)

式(5)、(6)已完全定義出以角速度ω、半徑R作機(jī)動回轉(zhuǎn)運動的超空泡在地面坐標(biāo)系中的幾何外形。

2 直航運動過渡到機(jī)動回轉(zhuǎn)運動過程超空泡外形變化

研究超空泡航行體由直航運動轉(zhuǎn)入機(jī)動回轉(zhuǎn)運動過程中空泡外形變化。在航行體轉(zhuǎn)動過程中航行體頭部空化器隨之轉(zhuǎn)動，迎流方向不斷改變。據(jù)空泡截面獨立擴(kuò)張原理及空泡延遲效應(yīng)知，航行體超空泡截面擴(kuò)張規(guī)律僅依賴于所論時刻條件，空泡截面后續(xù)發(fā)展僅與該截面初生時刻條件有關(guān)，與此時刻之前或之后條件幾乎無關(guān)。因此，航行體頭部空化器在轉(zhuǎn)動過程中每時刻產(chǎn)生的新空泡截面方向不斷改變，與迎流垂直，其余空泡截面擴(kuò)張、收縮規(guī)律均僅依賴于此前的直航狀態(tài)條件。航行體由直航狀態(tài)轉(zhuǎn)入機(jī)動后空泡由頭部起不斷變形彎曲，并向后不斷延伸，直至完全替代直航狀態(tài)的超空泡。超空泡航行體由直航運動過渡到機(jī)動回轉(zhuǎn)運動過程示意圖見圖2。

圖2 直航轉(zhuǎn)入機(jī)動回轉(zhuǎn)運動

超空泡外形變化過程仿真見圖3。圖中第一幅實線表示直航狀態(tài)空泡外形；中間各幅虛線部分表示回轉(zhuǎn)運動中不斷形成的新空泡截面，實線部分為原直航狀態(tài)空泡；最后一幅中虛線為定常機(jī)動回轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)超空泡。由圖3看出，隨超空泡航行體回轉(zhuǎn)運動開始，回轉(zhuǎn)運動狀態(tài)下新空泡截面不斷產(chǎn)生并獨立擴(kuò)張，逐漸替代直航狀態(tài)部分空泡，直到直航超空泡被完全替代，回轉(zhuǎn)運動狀態(tài)超空泡完全生成，形成穩(wěn)態(tài)超空泡。若超空泡航行體機(jī)動過程中回轉(zhuǎn)角速度不斷變化，則航行體超空泡外形亦不斷變化。若以定常角速度回轉(zhuǎn)，則超空泡外形在完成由直航到機(jī)動的過渡后空泡外形不再改變，形成回轉(zhuǎn)運動穩(wěn)定超空泡外形。

圖3 直航轉(zhuǎn)入機(jī)動運動過程中超空泡外形變化

3 影響機(jī)動回轉(zhuǎn)運動超空泡外形變化因素

影響超空泡外形變化因素較多，重力[8-9]、空化器攻角[10-12]影響空泡軸線上翹或下偏，空泡內(nèi)外壓擾動[13]影響空泡外形周期性變化。針對機(jī)動回轉(zhuǎn)運動，角速度及離心力為衡量機(jī)動運動的重要技術(shù)指標(biāo)，本文重點研究這其對超空泡外形變化影響。

3.1 角速度對超空泡外形影響

由于超空泡航行體跟蹤目標(biāo)主要在水平面內(nèi)進(jìn)行，常以水平面回轉(zhuǎn)角速度衡量超空泡航行體的機(jī)動性。當(dāng)超空泡航行體航速v一定時，角速度與回轉(zhuǎn)半徑關(guān)系為ωy=-v/R。

為對航行體機(jī)動運動時超空泡外形變化有直觀、量級概念，航行體空化器直徑為100 mm、空化數(shù)σ=0.023 8、航速v=100 m/s、角速度分別為ωy=0.5, 1, 1.5, 2 rad/s的機(jī)動回轉(zhuǎn)運動空泡外形仿真見圖4。由圖4看出，機(jī)動回轉(zhuǎn)運動中超空泡幾何外形逐步由直線對稱外形逐步被壓彎呈 “月牙形”，其整體空泡外形關(guān)于空泡中弧線對稱；空泡長度(中弧線長度)及其截面最大半徑基本不隨角速度變化；隨角速度增大(回轉(zhuǎn)半徑減小)空泡軸線沿回轉(zhuǎn)運動圓周逐漸由直線變?yōu)榍€，空泡最大彎度及最大相對彎度逐漸增大。

圖4 不同角速度的超空泡外形

圖5 不同航速的超空泡外形

角速度ωy=2 rad/s，航速分別為v=100, 110, 120 m/s的空泡外形仿真見圖5。由圖5看出，航速對空泡尺度影響較大，空泡最大直徑、中弧線長度、弦長、最大彎度均隨航速的增大而最大。故在研究超空泡航行體機(jī)動運動時，為保證空泡外形的穩(wěn)定性通常設(shè)航行體航速不變。

3.2 離心力對空泡外形影響

超空泡航行體作機(jī)動回轉(zhuǎn)運動見圖6。由圖6看出，空泡內(nèi)表面(長虛線)與外表面(短虛線)的點因回轉(zhuǎn)半徑及線速度不同，內(nèi)表面點速度小，外表面點速度大。據(jù)伯努利方程，空泡內(nèi)表面壓力大，外表面壓力小，內(nèi)外壓力差形成沿回轉(zhuǎn)半徑方向合力(離心力)，從而對空泡外形產(chǎn)生影響；此外，空泡內(nèi)氣體具有一定質(zhì)量，在回轉(zhuǎn)運動過程中會產(chǎn)生慣性力，方向沿回轉(zhuǎn)半徑方向，對空泡外形亦產(chǎn)生一定影響。

圖6 離心力對超空泡變形分析

(7)

(8)

沿l軸積分,即

(9)

式中：rH(l)為空泡中弧線的移量；rk(l)為l處空泡截面半徑。

為積分式(9)，需獲得離心力Fl表達(dá)式。Fl由兩部分組成，即由空泡內(nèi)、外表面壓力差形成的離心力Flp及由空泡質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力Flm。先計算Flp。為此在rk(l)截面建立局部坐標(biāo)系oξη(圖6)，oξ軸垂直于航行體回轉(zhuǎn)運動平面，oη軸沿航行體回轉(zhuǎn)半徑方向，指向外側(cè)。將空泡表面分為內(nèi)、外側(cè)，oξ軸之上為外側(cè)?？张萃?、內(nèi)側(cè)表面點的oξη坐標(biāo)系中坐標(biāo)為

(10)

空泡外、內(nèi)側(cè)表面點至航行體回轉(zhuǎn)運動中心距離LRw，LRn分別為

(11)

空泡外、內(nèi)側(cè)表面點速度vkw，vkn分別為

vkw=ωLRw,vkn=ωLRn

(12)

據(jù)伯努利方程，空泡外表面壓力pkw及內(nèi)表面壓力pkn間關(guān)系為

(13)

內(nèi)外表面壓力差Δpk為

2ρω2Rrk(l)sinθ

(14)

沿ξ，η方向壓力分量為

(15)

離心力可通過單位長度空泡表面壓力積分獲得。沿ξ方向壓力左、右側(cè)表面對應(yīng)點大小相等方向相反，沿表面積分合力為零。沿η方向壓力積分即得空泡內(nèi)、外表面壓力差形成的離心力。

ρω2RVk(l)

(16)

式中：Vk為半徑rk(l)的單位長度空泡體積。

空泡質(zhì)量形成的單位長度空泡離心力Frm為單位長度空泡質(zhì)量的慣性力，即

Flm=ρqVk(l)ω2R

(17)

式中：ρq為空泡內(nèi)氣體密度。

總離心力為式(16)與式(17)之和，即

Frl=ρω2RVk(l)+ρqω2RVk(l)=

(ρ+ρq)ω2RVk(l)

(18)

將式(18)代入式(9)，得回轉(zhuǎn)運動離心力所致超空泡中弧線外移量計算式為

(19)

空化器直徑100 mm、空化數(shù)σ=0.023 8、航速v=100 m/s、角速度分別為ωy=0.5、1、1.5、2 rad/s條件時離心力對超空泡外形影響(實線為原始空泡外形，虛線為考慮離心力影響下空泡外形)見圖7。由圖7看出，超空泡航行體機(jī)動回轉(zhuǎn)運動時離心力使空泡中弧線沿徑向向外側(cè)偏移，偏移量由頭部至尾部逐漸增大，在尾端達(dá)到最大值，具有使“月牙形”回轉(zhuǎn)超空泡拉直作用。離心力所致中弧線變形量隨回轉(zhuǎn)角速度增大而增大，與回轉(zhuǎn)角速度成正比的線性關(guān)系。

圖7 離心力對超空泡外形影響

由離心力引發(fā)的空泡軸線偏移量沿空泡軸向變化值見圖8。由圖8看出，由離心力引發(fā)的空泡軸線偏移量沿空化器向航行體尾部逐漸增大，最大值約0.4 m，該偏移量與空泡半徑值為同一數(shù)量級，故離心力對空泡外形影響較大，不可忽略。

圖8 離心力引發(fā)的空泡軸線偏移

4 給定空泡流型下超空泡航行體機(jī)動能力評估

4.1 機(jī)動能力評估方法

航行體機(jī)動能力為綜合性指標(biāo)，涉及諸多因素。此處針對超空泡變形，采用對機(jī)動回轉(zhuǎn)運動造成的空泡變形對給定外形航行體機(jī)動能力影響作初步評估。

(1) 設(shè)超空泡航行體航速為100 m/s。

(2) 分別考察三種直航初始空泡流型：① 尾舵展長一半穿刺主體空泡的對稱空泡流型；② 空泡閉合在尾部的對稱空泡流型；③ 空泡閉合在尾舵根部前緣的對稱空泡流型。

(3) 設(shè)航行體機(jī)動運動可能許可的三種空泡流型作為評判機(jī)動能力的空泡變形臨界點：① 空泡閉合在尾部閉合的非對稱空泡流型(航行體尾部閉合之前殼體無沾濕面)；② 空泡閉合在尾舵根部前緣的非對稱空泡流型(航行體尾舵根部前緣之前殼體無沾濕面)；③ 空泡閉合在距尾部閉合三分之一圓柱段長度處非對稱空泡流型(航行體距尾部閉合三分之一圓柱段長度之前殼體無沾濕面)。

(4) 設(shè)超空泡航行體自某時刻起由水平直航狀態(tài)開始做機(jī)動回轉(zhuǎn)運動，保持100 m/s線速度不變，用仿真計算獲得航行體不同角速度回轉(zhuǎn)時的空泡外形。

(5) 對航行體回轉(zhuǎn)運動的空泡外形進(jìn)行離心力、重力、空化器攻角等影響因素修正。

(6) 以臨界回轉(zhuǎn)角速度為航行體機(jī)動能力指標(biāo)利用航行體回轉(zhuǎn)運動修正后空泡外形，據(jù)(3)中空泡變形臨界點評估航行體機(jī)動能力。

4.2 評估機(jī)動能力的三種初始直航狀態(tài)空泡流型

據(jù)仿真計算結(jié)果，對給定的航行體外形設(shè)定三種初始直航對稱空泡流型：尾舵半穿刺空泡流型、尾部閉合空泡流型及尾舵根部前緣閉合空泡流型。三種空泡流型對應(yīng)的空化數(shù)分別為σ=0.016 5、σ=0.021 17及σ=0.021 65。三種初始直航空泡流型見圖9。

圖9 三種初始直航對稱空泡流型

4.3 空泡、航行體外形匹配對航行體機(jī)動能力判定

空泡外形對超空泡航行體機(jī)動運動能力影響實質(zhì)為：由機(jī)動運動所需法向過載推算出航行體與超空泡間作用力，由作用力推算出航行體與空泡相對位置關(guān)系，由位置關(guān)系推算出航行體機(jī)動運動空泡最大變形量，以空泡最大變形量為約束條件衡量航行體機(jī)動運動能力。故以機(jī)動運動回轉(zhuǎn)角速度為判定機(jī)動運動能力大小判據(jù)，通過仿真計算獲得三種初始空泡流型下超空泡航行體機(jī)動能力的臨界角速度值。

(1) 尾舵半穿刺空泡流型下臨界回轉(zhuǎn)角速度。以航行體直航尾舵半穿刺空泡流型為初始狀態(tài)，在不同回轉(zhuǎn)角速度下對航行體空泡外形進(jìn)行仿真計算見圖10，以許可的三種空泡流型為判據(jù)，獲得對應(yīng)的三個臨界回轉(zhuǎn)角速度：① 空泡閉合在圓柱段尾端面對稱空泡流型：ωj1=1.23 rad/s；② 空泡閉合在尾舵根部前緣的非對稱空泡流型：ωj2=1.38 rad/s；③ 空泡閉合在距圓柱段尾端面三分之一圓柱段長度處的非對稱空泡流型：ωj3=2.01 rad/s。

(2) 尾部閉合空泡流型下臨界回轉(zhuǎn)角速度。以航行體直航運動空泡閉合在尾部閉合的空泡流型為初始狀態(tài)，在不同回轉(zhuǎn)角速度下對航行體空泡外形進(jìn)行仿真計算見圖11，以許可的兩種空泡流型為判據(jù)，獲得對應(yīng)的兩臨界回轉(zhuǎn)角速度及最小回轉(zhuǎn)半徑：① 空泡閉合在尾舵根部前緣的非對稱空泡流型ωj1=0.38 rad/s；② 空泡閉合在距圓柱段尾端面三分之一圓柱段長度處的非對稱空泡流型ωj2=1.14 rad/s。

(3) 尾舵根部前緣空泡流型下臨界回轉(zhuǎn)角速度。以航行體直航空泡閉合在尾舵根部前緣的空泡流型為初始狀態(tài)，在不同回轉(zhuǎn)角速度下對航行體空泡外形進(jìn)行仿真計算見圖12，以許可的一種空泡流型為判據(jù)，獲得對應(yīng)的臨界回轉(zhuǎn)角速度及最小回轉(zhuǎn)半徑：①空泡閉合在距尾部閉合三分之一圓柱段長度處的非對稱空泡流型ωj1=0.81 rad/s。

圖10 尾舵半穿刺空泡流型的三個臨界角速度

5 結(jié) 論

(1) 本文通過研究空泡外形在超空泡航行體由直航運動到機(jī)動回轉(zhuǎn)運動過程中的變化，用仿真方法描述空泡動態(tài)變化過程；考慮空泡外形在機(jī)動運動中變化影響因素，給出影響穩(wěn)態(tài)機(jī)動回轉(zhuǎn)運動空泡外形變化關(guān)鍵因素；通過計算分析獲得角速度及離心力對空泡外形變化影響規(guī)律。在給定初始直航空泡流型條件下，通過給定評估航行體機(jī)動能力方法計算獲得三種初始直航空泡流型下航行體臨界回轉(zhuǎn)角速度值。

(2) 本文僅通過理論分析及仿真計算方法對空泡外形對超空泡航行體機(jī)動運動能力影響進(jìn)行的初步研究，所得結(jié)論尚需結(jié)合試驗驗證。

[1] Logvinovich G V. On law of an unsteady cavity expansion[J]. Applied Hydromechanics, Kiev, 2000, 2(74): 60-64.

[2] Vasin A D. The principle of independence of the cavity sections expansion (logvinovich’s principle) as the basis for investigation on cavitation flows[J]. RTO EN-010, 2001, 8(3): 1-28.

[3] Kirschner I N, Kring D C, Stokes A W, et al. Control strategies for supercavitating vehicles[J]. Journal of Vibration and Control, 2002, 8(2): 219-242.

[4] Kirschner I N, Rosenthal B J, Uhlman J S. Simplified dynamical systems analysis of supercavitating high speed bodies[C]. MCAV. 5th International Symposium on Cavitation,Osaka: CAV, 2003: 1-8.

[5] Lin Ming-dong,Xiang Min. Fast trajectory optimization for the time delay effect on supercavitating flight[J]. Brodogradnja, 2012, 63(3): 219-225.

[6] Zhang Guang, Yu Kai-ping. Numerlcal research on ventilated supercavity shape and flow structure in the turning motion[J]. Journal of Ship Mechanics, 2011, 15(12): 1355-1363.

[7] 張廣，于開平，周景軍. 超空泡航行體轉(zhuǎn)彎運動流體動力特性的數(shù)值研究[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2012, 3(12)：25-31.

ZHANG Guang, YU Kai-ping, ZHOU Jing-jun. Numerical study of supercavitating vehicle turning motion of the fluid dynamic characteristics[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2012, 3(12): 25-31.

[8] 陳偉政，張宇文. 重力場對軸對稱體穩(wěn)定空泡形態(tài)影響的實驗研究[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2004，22(3)：274-278.

CHEN Wei-zheng, ZHANG Yu-wen. Experimental study of the influence of gravity field on the shapes of axially symmetric steady cavity[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2004, 22(3): 274-278.

[9] Kirschner I N, Chamberlin R E. A Simple approach to estimating three-dimensional supercavitating flow fields [C]. Proceedings of the 7thInternational Symposium on Cavitation CAV, Ann Arbor, Michigan, USA,2009.

[10] 周景軍，于開平. 空化器傾斜角對超空泡流影響的三維數(shù)值仿真研究[J]. 船舶力學(xué),2011,15(1/2):74-80.

ZHOU Jing-jun, YU Kai-ping. Three dimensional numerical simulation on the influence of cavitator inclination angle to supercavity flow[J]. Journal of Ship Mechanics, 2011, 15(1/2): 74-80.

[11] 賈力平，王聰. 空化器參數(shù)對通氣超空泡形態(tài)影響的實驗研究[J]. 工程力學(xué),2007,24(3):159-164.

JIA Li-ping, WANG Cong. Experimental investigation of cavitator parameters effecting on ventilated supercavity shape[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(3): 159-164.

[12] 楊武剛，張宇文. 攻角空化器的超空泡形態(tài)非對稱特性研究[J]. 船舶工程,2007,29(6):80-83.

YANG Wu-gang, ZHANG Yu-wen. Study on the supercavity morphology asymmetric characteristic of cavitator with angle of attack[J]. Ship Engineering, 2007,29(6): 80-83.

[13] 張宇文. 空化理論與應(yīng)用[M]. 陜西：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2007.