申 宇，仇原鷹

(1.西南大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院，重慶 400715；2.西安電子科技大學(xué) 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071)

非線性系統(tǒng)中普遍存在自激振蕩現(xiàn)象[1]。而該現(xiàn)象在滑?？刂浦杏葹橐岁P(guān)注，即滑模控制的抖振。抖振對(duì)滑?？刂葡到y(tǒng)的影響主要表現(xiàn)為：較大的抖振幅度將降低控制精度；抖振頻率與系統(tǒng)諧振頻率相近時(shí)易引發(fā)系統(tǒng)共振；過(guò)快的抖振頻率可能超出控制器允許的最大切換速率。如文獻(xiàn)[2]中，Bang-Bang控制器引入的抖振頻率就必須小于磁流變阻尼器允許的電壓切換速率，而該文獻(xiàn)并未提出如何調(diào)節(jié)抖振頻率。因此，如何估算和調(diào)節(jié)系統(tǒng)的抖振特性(即抖振幅度An和抖振角頻率ωn)成為滑?？刂频闹匾芯繂?wèn)題。

趨近率滑模[3]是滑?？刂频牡湫痛?，學(xué)者們通常在時(shí)域上研究如何抑制切換控制所引入的抖振，利用全部狀態(tài)變量設(shè)計(jì)滑模面參數(shù)，再設(shè)計(jì)“準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)”或“低通濾波器”[4]來(lái)削弱抖振。由于時(shí)域分析法的局限性，學(xué)者們一般通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)曲線來(lái)評(píng)估對(duì)抖振的抑制效果，但這樣的設(shè)計(jì)思路存在以下問(wèn)題：① 在工程應(yīng)用中很難測(cè)量全部狀態(tài)變量；② 一般采取定性的方法分析抖振的抑制效果，無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算抖振特性；③ 很難找出抖振特性與控制系統(tǒng)參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而無(wú)法靈活調(diào)節(jié)抖振特性。

由于滑模切換函數(shù)的非連續(xù)性和多樣性，僅采用時(shí)域法分析滑模抖振特性已力不從心。因此，有學(xué)者借助頻域經(jīng)典描述函數(shù)(DF)法來(lái)分析該問(wèn)題。Oliveira等[5]利用經(jīng)典DF法為不確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)的滑模控制器，通過(guò)調(diào)整G(s)與-1/N(A)幅相頻率特性曲線相交位置實(shí)現(xiàn)抖振特性的定量調(diào)節(jié)，并提高了系統(tǒng)魯棒性；Huang等[6]運(yùn)用經(jīng)典DF法分析了滑模控制器的穩(wěn)定性和極限環(huán)，并研究各種切換函數(shù)對(duì)抖振特性的影響；Boiko近十年時(shí)間，在經(jīng)典DF法基礎(chǔ)上提出了滯環(huán)控制器[7]、輸出反饋纏繞控制器[8]、二階滑?？刂破鱗9-10]的抖振特性計(jì)算和調(diào)節(jié)方法。但是基于經(jīng)典DF法的滑模抖振研究仍然存在一些問(wèn)題：只能分析滑模面的抖振特性而無(wú)法分析系統(tǒng)各狀態(tài)變量的抖振特性；只能分析與振幅A相關(guān)的簡(jiǎn)單描述函數(shù)N(A)，而不能分析與振幅A和角頻率ω相關(guān)的復(fù)雜描述函數(shù)N(A,ω)。

為更完善地研究滑?？刂频亩墩裉匦?，本文將以一類參數(shù)可調(diào)2-SMC為研究對(duì)象，首先利用經(jīng)典DF法，找到系統(tǒng)輸出量y(t)的抖振特性隨控制參數(shù)變化的規(guī)律；接著針對(duì)復(fù)雜非線性環(huán)節(jié)提出廣義DF法，以估算抖振特性并分析抖振穩(wěn)定性；最后利用廣義DF法估算系統(tǒng)狀態(tài)變量的抖振特性。

1 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

考慮如圖1所示的自治反饋控制系統(tǒng)，其中被控對(duì)象G(s)=G1(s)G2(s)，且G1(s)與G2(s)的零極點(diǎn)均位于左半平面或虛軸上；x1，x2為待分析的狀態(tài)變量；u為被控系統(tǒng)輸入量；y為被控系統(tǒng)輸出量且y=x1。

圖1 二階滑?？刂葡到y(tǒng)

圖1中2-SMC為可調(diào)二階滑?？刂破鱗11]，其輸出控制量表示為

u(t)=-α(t)Msign(σ(t))

(1a)

(1b)

σ(t)=y(t)-βyM(t)

(1c)

式中:M為控制器增益；α*>0；β∈(0,1]；yM(t)定義為輸出量y(t)的最新極值，并設(shè)定yM(0)=0。yM(t)可理解為：若存在多個(gè)時(shí)刻td1

則

2 輸出量y(t)抖振特性分析

本小節(jié)將利用經(jīng)典描述函數(shù)法，分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和輸出量抖振特性。首先計(jì)算2-SMC對(duì)應(yīng)的負(fù)倒描述函數(shù)-1/N1(A)，在2-SMC的輸入端施加正弦信號(hào)Asin(ωt)，并依次得到對(duì)應(yīng)的yM(t)、σ(t)和控制器輸出u(t)波形，如圖2所示。

圖2 正弦激勵(lì)輸出波形

對(duì)輸出u(t)諧波線性化處理，得到其基波分量A1和B1：

(2a)

(2b)

可以看到當(dāng)參數(shù)α*和β確定后，A1、B1與施加信號(hào)的頻率無(wú)關(guān)，即為頻率無(wú)關(guān)基波分量。因此，也稱其對(duì)應(yīng)的非線性環(huán)節(jié)為簡(jiǎn)單非線性環(huán)節(jié)。利用基波分量可得到2-SMC的負(fù)倒描述函數(shù)-1/N1(A)：

(3)

將-1/N1(A)繪制于復(fù)平面，如圖3所示。

圖3 -1/N1(A)曲線

-1/N1(A)曲線是始于原點(diǎn)的直線，并隨著參數(shù)A的增大而遠(yuǎn)離原點(diǎn)，與實(shí)軸的夾角φ可表示為：

(4)

結(jié)合圖3和式(4)可以看到，若(α*-1)+β(α*+1)>0，則-1/N1(A)曲線位于第二象限；若(α*-1)+β(α*+1)<0，則-1/N1(A)曲線位于第三象限；若(α*-1)+β(α*+1)=0，則-1/N1(A)曲線為實(shí)軸負(fù)半軸。因此通過(guò)調(diào)整參數(shù)α*和β，控制器2-SMC的負(fù)倒描述函數(shù)曲線可在-90°～-270°間旋轉(zhuǎn)，從而改變G(jω)與-1/N1(A)的交點(diǎn)。利用經(jīng)典DF法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抖振特性，可使控制系統(tǒng)輸出量y(t)的抖振特性滿足期望性能。

3 廣義DF法推導(dǎo)

在上一節(jié)利用經(jīng)典DF法分析了簡(jiǎn)單非線性環(huán)節(jié)所引入的抖振特性。然而也存在一些較復(fù)雜的非線性環(huán)節(jié)(如圖4所示)，其描述函數(shù)N(A,ω)與施加信號(hào)的頻率有關(guān)，因而不再適用于經(jīng)典DF法。在本節(jié)將針對(duì)N(A,ω)提出一種廣義DF法，以求取抖振的穩(wěn)定性和抖振特性。

圖4 復(fù)雜非線性系統(tǒng)框圖

將圖4所示閉環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性表示為1/[1+G(jω)N(A,ω)]，在奈氏穩(wěn)定判據(jù)的基礎(chǔ)上，提出基于數(shù)值計(jì)算的廣義DF法穩(wěn)定判據(jù)：

步驟1：確定角頻率分析范圍0<ω≤ωup，ωup為分析的角頻率上限；

步驟2：判斷在角頻率分析范圍內(nèi)是否存在抖振特性(An,ωn)，使得Im[G(jωn)N(An,ωn)]=0與Re[G(jωn)N(An,ωn)]=-1同時(shí)成立(可能存在多個(gè)抖振特性)；

步驟3: 若An，ωn滿足式(5)和式(6)，則(An,ωn)為穩(wěn)定的抖振點(diǎn)；

(5)

(6)

步驟4: 若An，ωn滿足式(7)和式(8)，則(An,ωn)為穩(wěn)定的抖振點(diǎn)；

(7)

(8)

步驟5: 否則(An,ωn)為非穩(wěn)定的抖振點(diǎn)。

判斷抖振(An,ωn)的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是分析G(jω)N(A,ω)特性曲線與點(diǎn)(-1, j0)的位置關(guān)系。依據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)，若當(dāng)A>An，G(jω)N(A,ω)不包圍(-1, j0)；當(dāng)A

圖5(a) 穩(wěn)定抖振的幅相頻率特性

圖5(b) 非穩(wěn)定抖振的幅相頻率特性

接下來(lái)利用圖5解釋步驟3～步驟5：圖5(a)中，當(dāng)A=1.6時(shí)，G(jω)N(A,ω)特性曲線與負(fù)實(shí)軸交于(-1, j0)點(diǎn)且斜率為正，滿足式(5)，隨著A的增大(減小)，特性曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)向右(左)移動(dòng)，滿足式(6)，依據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)，其對(duì)應(yīng)的抖振是穩(wěn)定的；圖5(b)中，當(dāng)A=0.033時(shí)，特性曲線與負(fù)實(shí)軸交于(-1, j0)點(diǎn)且斜率為負(fù)，滿足式(7)，隨著A的增大(減小)，特性曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)向右(左)移動(dòng)，不滿足式(8)，依據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)，其對(duì)應(yīng)的抖振是不穩(wěn)定的。

在實(shí)際應(yīng)用中，特性曲線以正斜率穿越(-1, j0)的情況較多，而以負(fù)斜率穿越的情況少見(jiàn)。

4 狀態(tài)變量抖振特性分析

在第2節(jié)中只分析了系統(tǒng)輸出量y(t)的抖振特性，而在工程應(yīng)用中同樣十分關(guān)注其它狀態(tài)變量的抖振特性。在本節(jié)將利用廣義DF法分析圖1中狀態(tài)變量x2(t)的抖振特性。

圖6 重組后的系統(tǒng)框圖

在圖1基礎(chǔ)上重新劃分線性和非線性環(huán)節(jié)，得到圖6所示框圖。可直觀地看到非線性環(huán)節(jié)N2包含滑?？刂破骱虶1(s)，因此，N2一定與施加信號(hào)的角頻率ω相關(guān)，只能利用廣義DF法來(lái)分析x2(t)的抖振特性。

接下來(lái)將計(jì)算N2的描述函數(shù)，在N2的輸入端施加信號(hào)Asin(ωt)，可得到x1(t)、yM(t)、σ(t)和u(t)的波形。由頻率法可知，x1(t)與x2(t)應(yīng)同為正弦信號(hào)而相位和幅度受G1(s)決定，因此可將x1(t)表示為式(9)：

x1(t)=A0(ω)Asin(ωt+θ0(ω))

(9)

其中A0(ω)和θ0(ω)為G1(s)的幅頻特性和相頻特性。于是計(jì)算N2的基波分量：

(10a)

(10b)

從而得到N2的描述函數(shù)N2(A,ω)=B1/A+jA1/A。最后借助廣義DF法，可求出狀態(tài)變量x2(t)的抖振特性。

5 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)計(jì)如圖1所示控制系統(tǒng)，其中被控對(duì)象為G1(s)=1/(s+3)，G2(s)=1/((s+1)(s+2))，二階滑?？刂破鳛槭?1)所示控制器。本節(jié)將進(jìn)行兩項(xiàng)實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)一選取多組控制器參數(shù)α*和β，將y(t)的抖振仿真結(jié)果與經(jīng)典DF法估算結(jié)果比較，以驗(yàn)證控制參數(shù)α*、β與抖振特性的關(guān)系；實(shí)驗(yàn)二將以狀態(tài)變量x2(t)為研究對(duì)象，通過(guò)計(jì)算復(fù)雜描述函數(shù)，運(yùn)用廣義DF法估算其抖振特性，同時(shí)與仿真結(jié)果對(duì)比。

5.1 實(shí)驗(yàn)一

為分析參數(shù)α*和β對(duì)控制系統(tǒng)抖振特性的影響，設(shè)置三組控制器參數(shù)如表1所示。利用經(jīng)典DF法估算輸出量y(t)的抖振特性并與Matlab仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。首先繪制被控對(duì)象G(s)幅相頻率特性曲線和控制器負(fù)倒描述函數(shù)-1/N1(A)曲線，如圖7所示。從圖7可看到2-SMC的負(fù)倒描述函數(shù)曲線-1/N1(A)隨著參數(shù)α*和β的減小而逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并從第二象限旋轉(zhuǎn)到第三象限。隨著-1/N1(A)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，-1/N1(A)與G(s)的交點(diǎn)向角頻率減小方向運(yùn)動(dòng)，因而y(t)的抖振角頻率減小、抖振幅度增大。圖8為三組控制參數(shù)對(duì)應(yīng)的y(t)仿真響應(yīng)曲線，并測(cè)量了各自的抖振特性。表1列出了三組控制器參數(shù)對(duì)應(yīng)的抖振特性的估算和仿真結(jié)果，可看到y(tǒng)(t)抖振角頻率的理論估算與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合，而抖振幅度的估算值稍小于仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這可能是由于DF法只分析基波分量，而造成了一定誤差。

圖7 描述函數(shù)分析

圖8 三組參數(shù)對(duì)應(yīng)的y(t)響應(yīng)曲線

5.2 實(shí)驗(yàn)二

因此得到N2的描述函數(shù)N2(A,ω)=B1/A+jA1/A，以及G2(jω)N2(A,ω)的表達(dá)式。當(dāng)選定控制器參數(shù)α*=1.5，β=0.5，M=1時(shí)，利用廣義DF法并經(jīng)過(guò)一系列代數(shù)運(yùn)算和求導(dǎo)計(jì)算，可求得An=0.031,ωn=6.5 rad/s，且G2(jωn)N2(An,ωn)滿足廣義DF法步驟3的抖振穩(wěn)定條件。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，利用Matlab仿真了圖6所示的控制系統(tǒng)，得到了x1(t)、x2(t)的仿真響應(yīng)曲線如圖9(a)所示。繪制了以x1(t)-x2(t)為相平面的相軌跡如圖9(b)所示，可看到系統(tǒng)從初始狀態(tài)x1(0)=0.1，x2(0)=0出發(fā)，圍繞平衡點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并趨近，最終穩(wěn)定于一極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。對(duì)x2(t)傅里葉分析，截取1 000點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析如圖10所示。由于x2(t)的響應(yīng)為近似正弦曲線，因此含有多個(gè)頻譜分量。從圖10中可看到頻譜中有兩個(gè)峰值，分別對(duì)應(yīng)角頻率6.274 rad/s和6.294 rad/s。從圖9、圖10可看到，仿真實(shí)驗(yàn)所得x2(t)的抖振特性為An≈0.040,ωn≈6.3 rad/s。x2(t)抖振特性的廣義DF法計(jì)算結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)基本吻合，特別是角頻率的估計(jì)精度較高(誤差小于6%)，印證了廣義DF法的正確性。

圖9(a) x1(t)、x2(t)響應(yīng)曲線

6 結(jié) 論

利用經(jīng)典和廣義DF法，研究了2-SMC可調(diào)參數(shù)影響系統(tǒng)抖振特性的機(jī)理，推導(dǎo)了系統(tǒng)輸出量和狀態(tài)變量抖振特性的估算方法，得到了系統(tǒng)抖振特性的調(diào)節(jié)方法。提出了廣義DF法以分析復(fù)雜非線性環(huán)節(jié)的抖振特性，給出了抖振的穩(wěn)定條件，并利用廣義DF法估算了控制系統(tǒng)狀態(tài)變量的抖振特性。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比表明，經(jīng)典和廣義DF法對(duì)抖振角頻率的估算精度較高。該方法可指導(dǎo)滑模控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，從而抑制系統(tǒng)抖振幅度、調(diào)節(jié)抖振頻率、避免系統(tǒng)共振。

[1]Billings S A, Tsang K M. Spectral analysis for non-linear systems, part Ι: parametric non-linear spectral analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1989, 3(4): 319-339.

[2]禹見(jiàn)達(dá), 陳政清, 王修勇等. 改進(jìn)的 Bang-Bang控制算法的理論與試驗(yàn)研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2010, 29(2): 60-63.

YU Jian-da, CHEN Zheng-qing, WANG Xiu-yong, et al. Theoretical and experimental study on an improved Bang-Bang control algorithm[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(2): 60-63.

[3]Gao W B, Wang Y F, Homaifa A. Discrete-time variable structure control systems[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 1995, 42(2): 117-122.

[4]Lee H, Utkin V I. Chattering suppression methods in sliding mode control systems[J]. Annual Reviews in Control, 2007, 31(2):179-188.

[5]Oliveira N M F, Kienitz K H, Misawa E A. A describing function approach to the design of robust limit-cycle controllers[J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 67(1): 357-363.

[6]Huang Y J, Wang Y J. Steady-state analysis for a class of sliding mode controlled systems using describing function method[J]. Nonlinear Dynamics, 2002, 30(3): 223-241.

[7]Boiko I. Analysis of modes of oscillations in a relay feedback system[C]. Proceeding of the 2004 American Control Conference Boston, Massachusetts, June, 2004: 1253-1258.

[8]Boiko I. Oscillations and transfer properties of relay feedback systems with time-delay linear plants[J]. Automatica, 2009, 45(12): 2897-2902.

[9]Boiko I, Castellanos I, Fridman L. Analysis of response of second-order sliding mode control systems to exteral inputs[C]. Proceedings of the 2006 International Workshop on Variable Structure Systems Alghero, Italy, June, 2006:172-177.

[10]Boiko I, Fridman L, Pisano A, et al. Analysis of chattering in systems with second order sliding modes[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2007, 52(11): 2085-2102.

[11]Bartolini G, Pisano A, Punta E, et al. A Survey of applications of second-order sliding mode control to mechanical systems[J]. International Journal of Control, 2003, 76(9): 755-770.