李玉龍，白鴻柏，何忠波，路純紅，李冬偉

(軍械工程學(xué)院,石家莊 050003)

近年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，隔振系統(tǒng)的工作環(huán)境日益復(fù)雜、惡劣，復(fù)雜的工況對(duì)隔振系統(tǒng)性能的要求也不斷提高，因此，基于干摩擦耗能機(jī)理的非線性隔振器如鋼絲網(wǎng)隔振器、鋼絲繩隔振器、金屬橡膠隔振器等獲得了較大的發(fā)展和應(yīng)用。以金屬橡膠隔振器為例，由于其耐高溫、抗腐蝕、隔振頻帶寬、能夠自動(dòng)避開(kāi)共振有效的抑制振動(dòng)幅度等獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，越來(lái)越受到工程界的高度重視，在航空航天、尖端軍事工業(yè)等高科技領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。但它們的廣泛應(yīng)用需要更加精確的方法以準(zhǔn)確地計(jì)算振動(dòng)響應(yīng)，這類振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)計(jì)算也成為了研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)具有干摩擦的振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)計(jì)算做了大量的研究[2-8]?？偨Y(jié)來(lái)看研究這類問(wèn)題的方法有拓?fù)鋷缀畏?、?shù)值法和解析法。拓?fù)鋷缀畏▋H獲得非線性振動(dòng)的定性規(guī)律；數(shù)值法可以進(jìn)行定量分析；解析法不僅能確定非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的規(guī)律，而且還能得到運(yùn)動(dòng)特性對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的依賴關(guān)系，是非線性振動(dòng)問(wèn)題研究的重要方法。但大部分非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題不存在精確的解析解。目前常用的近似解析法有攝動(dòng)法、平均法、多尺度法、諧波平衡法等。但它們對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)解的形式?jīng)]有嚴(yán)格的判定依據(jù)，大部分學(xué)者采用以激勵(lì)頻率為主導(dǎo)的單一諧波平衡法[3,7-8]。但是，非線性系統(tǒng)的振動(dòng)往往包含多諧波成分[9-10]，單一諧波平衡法卻忽略了其他諧波的作用，很難獲得與實(shí)際響應(yīng)匹配較好的精確解。文獻(xiàn)[9]提出了FFT多諧波平衡法，采用多個(gè)諧波作為非線性微分方程的基礎(chǔ)解，證明了該方法能較好地適應(yīng)非線性隔振系統(tǒng)多種頻率成分共存的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)情況。本文也將基于FFT多諧波平衡法，來(lái)研究探討金屬橡膠類非線性遲滯隔振系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題。

1 力學(xué)模型

根據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域的不同，金屬橡膠可以設(shè)計(jì)成不同結(jié)構(gòu)以制備隔振器，滿足不同的隔振需求，軍械工程學(xué)院白鴻柏教授做了大量的研究，并設(shè)計(jì)了多種隔振器結(jié)構(gòu)，最常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 金屬橡膠試件

(1)

一般無(wú)記憶恢復(fù)力g0是變形狀態(tài)的二元函數(shù)，可展開(kāi)為多項(xiàng)式形式如下。

(2)

圖2 力學(xué)模型

盡管無(wú)記憶恢復(fù)力的一般表達(dá)式比較復(fù)雜，但是工程中常見(jiàn)的金屬橡膠隔振器實(shí)驗(yàn)建模結(jié)果表明，無(wú)記憶恢復(fù)力中的立方非線性成分是主要的支配因素。因此它們可以用含有立方非線性粘性阻尼雙線性遲滯模型來(lái)近似描述，且足以滿足工程應(yīng)用中的精度要求[4]。若以單自由度金屬橡膠隔振系統(tǒng)為例，其力學(xué)模型如圖2所示，設(shè)作用于設(shè)備的激勵(lì)是簡(jiǎn)諧激勵(lì)：p(t)=p0cos(ωt)。

振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫為：

z(t)=p0cos(ωt)

(3)

2 FFT多諧波平衡法

根據(jù)諧波平衡的思想，系統(tǒng)中盡管存在非線性因素的影響，但在一定條件下其定常解仍然是近似簡(jiǎn)諧的[10]，且非線性系統(tǒng)的多諧波振動(dòng)響應(yīng)是具有普遍性的現(xiàn)象，因此可以將該非線性振動(dòng)系統(tǒng)的解表達(dá)為具有多諧波的組合形式[9]：

(4)

式中，αm為整數(shù)或分?jǐn)?shù)(α1=1)分別代表超諧波和亞諧波運(yùn)動(dòng)響應(yīng)成分；ω為系統(tǒng)的激振頻率；A1，…，Am，B1，…，Bm代表諧波分量幅值。

對(duì)于孔子已經(jīng)評(píng)價(jià)過(guò)的人物，司馬遷常常是直接采取孔子的評(píng)價(jià)，例如稱吳太伯為“至德”，稱微子、箕子、比干為殷之“三仁”，稱董狐為“良史”，趙盾為“良大夫”，子產(chǎn)為“古之遺愛(ài)”。這些都是孔子已經(jīng)評(píng)價(jià)過(guò)的人物，司馬遷便因襲孔子的觀點(diǎn)，直接以孔子的評(píng)價(jià)作為自己的評(píng)價(jià)。而對(duì)于孔子以后或者孔子所未評(píng)論到的人物，司馬遷也非常善于使用孔子留下來(lái)的概念來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，如評(píng)價(jià)呂不韋為“聞”，評(píng)價(jià)萬(wàn)石、建陵、張叔為“君子”，評(píng)價(jià)田叔“居是國(guó)必聞其政”，這都是借用孔子留下的現(xiàn)成概念或標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)人物。由此我們可以看出，在評(píng)價(jià)歷史人物時(shí)，孔子的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也是司馬遷的重要價(jià)值尺度，甚至取舍褒貶都與孔子一致。

可將式(4)代入振動(dòng)微分方程，并化簡(jiǎn)降階為關(guān)于cos(αmωt),sin(αmωt),(m=1,2,…,M)的方程。由于系統(tǒng)各階諧波分量保持平衡，相同階數(shù)諧波系數(shù)應(yīng)相等，有如下關(guān)于各諧波分量的非線性方程組。

(5)

解方程組(5)可以得到諧波項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而得到系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，顯然該方法的精度受到諧波項(xiàng)的數(shù)量和頻率的影響。

若先用四階Runge-Kutta法求出系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解，再對(duì)響應(yīng)進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)將信號(hào)轉(zhuǎn)化到頻域內(nèi)，提取出主要的頻率成分，以確定系統(tǒng)響應(yīng)中的主要諧波分量信息。這樣就可以確定系統(tǒng)響應(yīng)的精確解析解。這種方法即為FFT多諧波平衡法[9]。

假設(shè)由上述方法獲得某金屬橡膠隔振系統(tǒng)的多諧波解析解，表達(dá)式為：

y(t)=y1cos(ω1t+φ1)+…+

ymcos(ωmt+φm)

(6)

由式(6)可得系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)式周期振動(dòng)，振動(dòng)周期為：

T=2aπ/ω

(7)

其中，a是系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)所包含的頻率成分ω1,ω2,…,ωn的最小公倍數(shù)，ω是激勵(lì)頻率。

(8)

式中：

(9)

引入式(9)是為了描述一個(gè)完整周期T內(nèi)的“平均功率”。其中，PT表示傳遞力在一個(gè)周期內(nèi) “功率”的平均值，P0表示激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi) “功率”的平均值，由于引入了T=2aπ/ω，該式可以包含亞諧波、超諧波甚至擬周期和混沌振動(dòng)的多種情況[9]。

(10)

其位移與記憶恢復(fù)力的關(guān)系如圖3所示。

圖3 雙折線本構(gòu)關(guān)系

考慮其增量方程并進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)得[1]：

(11)

其中：

(12)

若以峰值到達(dá)的時(shí)間點(diǎn)為界限，則一個(gè)周期內(nèi)傳遞力的平均功率精確表達(dá)為：

(13)

將計(jì)算得到的傳遞力“平均功率”PT和激勵(lì)力“平均功率”P0一個(gè)周期內(nèi)的平均功率代入(8)式，即可獲得精確的系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率。由于式(8)中傳遞率的表達(dá)式是關(guān)于激勵(lì)頻率ω的函數(shù)，可通過(guò)該式獲得精確的系統(tǒng)振動(dòng)傳遞率幅頻響應(yīng)關(guān)系。到此便得到了金屬橡膠隔振系統(tǒng)的精確解析解及系統(tǒng)的隔振特性。

3 算 例

由以上分析可知，不同系統(tǒng)的響應(yīng)解形式及所對(duì)應(yīng)的諧波組合都不同，合理選擇必要的諧波分量、確定響應(yīng)中主要的頻率成分是求解的關(guān)鍵。

由系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜圖4(b)可知，系統(tǒng)的主要諧波成分不僅有單一諧波(ω=10)成分，還有亞諧波(ω=1.95)成分，且亞諧波為主要成分。針對(duì)這兩個(gè)頻率，結(jié)合(3)式和(6)式，解得系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式為：

yF(t)=4.604cos(3.90σπ×t+3.347 5)+

1.558cos(20πt+0.437 8)

(14)

用文獻(xiàn)[4]的方法可求得單一諧波平衡法求得系統(tǒng)響應(yīng)解的表達(dá)式為：

yD(t)=1.593cos(20πt+0.436 9)

(15)

單一諧波響應(yīng)和FFT多諧波響應(yīng)的解析解與數(shù)值解比較如圖5所示。

再由式(14)計(jì)算出一個(gè)周期內(nèi)各響應(yīng)的極值點(diǎn)，并認(rèn)為a近似取10，并代入式(9)，結(jié)合式(8)用數(shù)值方法可計(jì)算出FFT多諧波響應(yīng)方法的振動(dòng)傳遞率ηF≈0.213 5；利用式(8)、(9)、(15)三式聯(lián)立可求得單一諧波平衡響應(yīng)法的振動(dòng)傳遞率為ηD≈0.149 1；計(jì)算得系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)值解的振動(dòng)傳遞率ηS≈0.224 7。以數(shù)值解的振動(dòng)傳遞率為準(zhǔn)，比較兩種方法的傳遞率與數(shù)值解的傳遞率可得：?jiǎn)我恢C波平衡法求得的振動(dòng)傳遞率的相對(duì)誤差為30.16%；FFT多諧波平衡法求得的振動(dòng)傳遞率的相對(duì)誤差為5.24%。

圖4 系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)值解及頻譜圖

由以上分析可知，F(xiàn)FT多諧波響應(yīng)的解析解與數(shù)值解基本吻合，而單一諧波平衡法的解析解與數(shù)值解相差很大，已經(jīng)無(wú)法正確反映系統(tǒng)的響應(yīng)。由此說(shuō)明，金屬橡膠非線性隔振系統(tǒng)響應(yīng)存在多種諧波成分，單由激勵(lì)頻率為主導(dǎo)的單一頻率的系統(tǒng)響應(yīng)僅僅是個(gè)別情況，不能夠準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的響應(yīng)。

必須指出，非線性系統(tǒng)的幅值特性曲線并非單值。在激勵(lì)頻率的某些區(qū)間內(nèi)，同一頻率對(duì)應(yīng)于振幅的多個(gè)不同值，系統(tǒng)響應(yīng)取哪個(gè)穩(wěn)定解，取決于系統(tǒng)的初始條件。同樣，非線性系統(tǒng)的隔振傳遞率也非單值，不同初始條件對(duì)應(yīng)不同的隔振傳遞率，因此確定非線性隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線時(shí)，應(yīng)首先說(shuō)明系統(tǒng)的初始條件。Schlesing[6]以達(dá)芬方程為例對(duì)初始條件的影響做了詳細(xì)的論述，這里不再贅述，感興趣的讀者可以查看該文獻(xiàn)。

4 結(jié) 論

本文以金屬橡膠非線性隔振系統(tǒng)為研究對(duì)象，用FFT多諧波平衡法研究了系統(tǒng)響應(yīng)的解析解及某頻率下的振動(dòng)傳遞率，并通過(guò)算例比較了單一諧波平衡法和FFT多諧波平衡法的優(yōu)劣，證明了FFT多諧波平衡法在分析金屬橡膠非線性系統(tǒng)響應(yīng)特性的適用性。

但是應(yīng)該指出，該方法也有一定的局限性，當(dāng)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)值解進(jìn)行頻譜分析時(shí)，如果有很多的頻率成分，則FFT多諧波響應(yīng)方法得到的系統(tǒng)解析解就比較復(fù)雜，且太多諧波分量的引入會(huì)增大計(jì)算的難度，為求解隔振系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞率帶來(lái)很大的麻煩，求取系統(tǒng)一個(gè)周期內(nèi)的平均功率也會(huì)非常復(fù)雜。例如當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，頻率成分太多且頻譜的幅值不能被忽略。該問(wèn)題需要進(jìn)一步的研究。

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