姜萬錄，鄭 直，朱 勇，劉思遠(yuǎn)

(1. 燕山大學(xué) 河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室；2. 燕山大學(xué) 先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島 066004)

對液壓泵進行故障診斷時，通常對泵殼的振動信號進行分析。但現(xiàn)場實測的振動信號會被采集設(shè)備等引入的噪聲所干擾，導(dǎo)致信號失真。有效地從這些噪聲干擾中提取液壓泵的故障信息，可以為液壓泵故障診斷提供良好的故障源信號[1-2]。

形態(tài)學(xué)濾波是在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種重要的非線性濾波工具[3]。對信號進行濾波時，利用起到濾波窗作用的結(jié)構(gòu)元素作為“探針”，當(dāng)信號局部特征和結(jié)構(gòu)元素相匹配的時候，信息才會被保留下來，從而實現(xiàn)濾波[4]。結(jié)構(gòu)元素長度過大，計算量就會增加，且導(dǎo)致過度濾波使信號細(xì)節(jié)信息被忽略；結(jié)構(gòu)元素選擇過小，噪聲就不會被充分地抑制，有用的故障特征信息得不到充分的提取。所以，對起到濾波窗口作用的結(jié)構(gòu)元素長度的選取對信號的濾波效果有著非常大的影響[5]。國內(nèi)外學(xué)者對這一問題進行了深入的研究。Dong[4]根據(jù)不同長度扁平結(jié)構(gòu)元素處理過的信號的信噪比作為優(yōu)化條件，選取了最優(yōu)結(jié)構(gòu)元素長度。Zhang[6]根據(jù)“局部峰值”方法來優(yōu)化三角形結(jié)構(gòu)元素的長度和高度參數(shù)[6]。上述方法已成功地應(yīng)用到了軸承故障的特征提取中。Zhang[7]利用遺傳優(yōu)化算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來優(yōu)化結(jié)構(gòu)元素的長度。

Shannon[8]根據(jù)概率論和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的方法，第一次將“信息熵”的概念引入到信息論中，它是用來定量地描述信息的不確定性和復(fù)雜性。Yildiz等[9]利用腦電(EEG)信號提取小波系數(shù)能量熵作為自適應(yīng)模糊推理系統(tǒng)模型的輸入來評估大腦所處的狀態(tài)。Sami[10]提取利用電流和電壓信號的小波包能量熵作為ANN模型的輸入來對故障進行定位。Yang[11]提取了滾動軸承振動信號的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)能量熵，并利用ANN模型對其做了故障診斷分析。

本文將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和信息熵理論相融合，充分利用二者的優(yōu)勢，提出了一種基于形態(tài)學(xué)差值算子和功率譜熵理論相結(jié)合，并與特征能量比相配合的方法來確定最優(yōu)扁平型結(jié)構(gòu)元素長度以實現(xiàn)最優(yōu)濾波。通過計算經(jīng)過不同長度的濾波器濾波后的信號的功率譜熵值和特征能量比值，并根據(jù)功率譜熵的基本性質(zhì)可得出最小功率譜熵值所對應(yīng)的長度即為最優(yōu)長度。通過仿真信號和實測液壓泵故障信號的實驗驗證，結(jié)果表明該方法確定的最優(yōu)扁平型結(jié)構(gòu)元素長度的形態(tài)差值濾波器能夠達到最優(yōu)濾波效果。

1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、功率譜熵和特征能量比

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本變換

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是上世紀(jì)60年代由法國Matheron和Serra提出用來處理圖像的理論，之后Maragos和Shafer將其擴展到對一維信號的濾波處理中[12-13]。

四種基本的形態(tài)學(xué)算子分別為：腐蝕、膨脹、開和閉。

若f(n)為一維原始離散信號，其定義域為F={0,1,2,…,N-1}；g(m)為一維離散信號，稱其為結(jié)構(gòu)元素，其定義域為G={0,1,2,…,M-1}，且M?N。則f(n)關(guān)于g(m)的腐蝕和膨脹運算分別定義如下：

(fΘg)(n)=min{f(n+m)-g(m)}

m∈{0,1,2,…,M-1}

(1)

(f⊕g)(n)=max{f(n-m)+g(m)}

m∈{0,1,2,…,M-1}

(2)

f(n)關(guān)于g(n)的開和閉運算分別定義如下：

(f°g)(n)=(fΘg⊕g)(n)

(3)

(f·g)(n)=(f⊕gΘg)(n)

(5)

1.2 差值濾波器

一維信號f(n)分別經(jīng)過結(jié)構(gòu)元素g(m)閉運算和開運算后的差值，稱為差值濾波器，其表達式為：

DIF(f)=f·g(n)-f°g(n)

(5)

上式可以分解為：

f·g-f°g=(f·g-f)+(f-f°g)

(6)

開運算和閉運算能根據(jù)實際信號中的波形輪廓形狀的先驗知識分別提取一維信號中的負(fù)、正脈沖。而差值算子則不需要先驗知識而能同時提取正、負(fù)脈沖。因為f·g-f和f-f°g正是形態(tài)學(xué)Top-Hat變換中的黑、白帽變換，而這兩種變換就是用于提取信號中的負(fù)、正脈沖[6]。在本文中，利用該濾波器對液壓泵故障信號進行濾波。

1.3 結(jié)構(gòu)元素

形態(tài)學(xué)濾波的實質(zhì)就是通過結(jié)構(gòu)元素和待分析信號進行迭代形態(tài)學(xué)運算，從而達到濾波目的。所以結(jié)構(gòu)元素的長度對于形態(tài)學(xué)濾波效果起到重要的作用。

常用到的結(jié)構(gòu)元素有扁平型、三角型和半圓型等。三角型和半圓型結(jié)構(gòu)元素具有長度和高度兩個參數(shù)，分別適用于對脈沖噪聲和隨機噪聲的濾除。而只有長度參數(shù)的扁平型結(jié)構(gòu)元素具有計算簡單、需要優(yōu)化的參數(shù)少等優(yōu)點，同時由于其高度為零，可避免對信號幅值的改變而獲得了廣泛的應(yīng)用[14]，所以本文采用扁平型結(jié)構(gòu)元素。

1.4 功率譜熵

功率譜熵(PSE，Power Spectral Entropy)是在頻域中對信號的一種不確定性和復(fù)雜性的描述，定義如下：

(7)

因此，把S視為整個頻段的能量，那么s1，s2，…，sN是對信號總能量的N個分割，即信號的能量為S=s1+s2+…+sN。則定義頻域中信號的功率譜熵為：

(8)

功率譜熵反映了信號在頻域上的分布情況。從子帶功率分布的角度定量地刻畫了信號的不確定性和復(fù)雜性：子帶能量分布越均勻，則信號不確定性和復(fù)雜性越高；反之則越低。

1.5 特征能量比

文獻[15]定義了特征能量比為：

R=(E1+E2+…+En)/E

(9)

式中，E1、E2…En分別是信號經(jīng)過消噪等處理后的1、2及n倍特征頻率處的能量，E為取定頻率段內(nèi)的總能量。R越大，則在特征頻率處的能量相對于取定頻率段內(nèi)總能量的比值越大，說明濾波效果越好[15]。

1.6 HF和R相結(jié)合確定結(jié)構(gòu)元素最優(yōu)長度

利用不同長度的扁平型結(jié)構(gòu)元素對待分析信號進行濾波處理，對濾波后的信號進行HF的求取，結(jié)構(gòu)元素長度的不同對應(yīng)的HF值也是不同的。當(dāng)HF值為最小時，根據(jù)定義可知：信號的子帶譜線幅值在一定頻率段內(nèi)的分布最不均勻，不確定性和復(fù)雜程度最低。R的最大值說明：在特征頻率處的譜線幅值相對于其它頻率處的譜線幅值對這種不均勻分布的貢獻最大，同時根據(jù)文獻[15]也說明在最大R值點所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長度可以得到最優(yōu)的濾波效果。所以，可以得出最小HF值點和最大R值點所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長度為最優(yōu)濾波長度。

2 數(shù)值仿真算例

2.1 仿真信號

設(shè)計了如下的仿真信號進行分析：

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

(10)

式中，x1(t)是頻率為16 Hz的周期性指數(shù)衰減沖擊信號，每周期內(nèi)沖擊函數(shù)為8e-100tsin(512πt)；x2(t)是周期為20 Hz和40 Hz的疊加低頻諧波干擾信號，x2(t)=cos(40πt)+cos(80πt)；x3(t)是標(biāo)準(zhǔn)差為1的高斯白噪聲，用于模擬強背景噪聲。采樣頻率為2 048 Hz，采樣時間為1 s。

仿真的目的是為了更好地抑制20 Hz和40 Hz處的疊加低頻諧波和高斯白噪聲的干擾，以提取沖擊信號，并考察通過該方法確定的最優(yōu)扁平型結(jié)構(gòu)元素長度的濾波效果。

圖1為混合信號的時域波形圖和0-100 Hz低頻段功率譜圖。從圖1(b)中可以看出沖擊特征頻率16 Hz及其倍頻處的信號幅值幾乎被噪聲淹沒，而在20 Hz和40 Hz處的低頻諧波干擾信號的幅值很大。

圖1 混合信號

2.2 仿真結(jié)果分析

對仿真信號進行形態(tài)學(xué)差值運算，扁平型結(jié)構(gòu)元素長度L的變化取為2到100。在求特征能量比R時，取沖擊特征頻率16 Hz的1-6倍頻處的特征能量和0-1 024 Hz頻率段的總能量進行運算。

圖2為不同結(jié)構(gòu)元素長度分別與功率譜熵值和特征能量比值的關(guān)系，橫坐標(biāo)為扁平結(jié)構(gòu)元素的長度。

圖2 PSE和R與結(jié)構(gòu)元素長度的關(guān)系

如圖所示，當(dāng)2≤L≤7時，功率譜熵值隨著L增加而快速遞減。隨著L的增加，在7≤L≤55區(qū)間的熵值變化比較平緩，其中在L=24時，熵值達到最小值0.985 8，兩端點處的熵值分別為1.197和1.206，在L≥55區(qū)間的熵值隨著L長度的增加而呈現(xiàn)相對快速的遞增現(xiàn)象。對于特征能量比曲線，當(dāng)2≤L≤7時，特征能量比值隨著L增加而快速增加，在7≤L≤55區(qū)間的特征能量比值變化比較平緩，其中在L=24時，特征能量比R達到最大值0.822 8，兩端點處的特征能量比R分別為0.777 6和0.622 7，在L≥55區(qū)間的熵值隨著L長度的增加而呈現(xiàn)相對較快的遞減現(xiàn)象。這說明最小功率譜熵值點與最大特征能量比值點是一致的。

綜上所述，可得出：在功率譜熵值比較小且變化緩慢的區(qū)域7≤L≤55，即L=(0.055-0.430)T(T為周期沖擊長度：2 048 Hz/16 Hz=128個采樣點)時能更好地濾除噪聲，得到清晰故障特征信息，在功率譜熵值最小點所對應(yīng)的L=24則是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長度。

圖3 形態(tài)差值濾波器濾波后的信號功率譜圖

圖3分別是經(jīng)過扁平型結(jié)構(gòu)元素長度為7、24和55的形態(tài)差值濾波器濾波后的信號功率譜圖。由圖可知，在L=24時的濾波效果為最優(yōu)，沖擊特征頻率16 Hz及其倍頻處的幅值最大，低頻諧波干擾信號20 Hz和40 Hz及噪聲得到了有效的抑制。

3 液壓泵故障信號分析

為了驗證該方法的有效性，對某液壓伺服故障模擬實驗系統(tǒng)中的斜盤式軸向柱塞泵的振動信號進行采集并深入分析。

3.1 實驗方法

液壓泵的型號為MCY14-1B斜盤式軸向柱塞泵，柱塞數(shù)為7，額定轉(zhuǎn)速為1 470 r/min，轉(zhuǎn)軸頻率為24.5 Hz。

在泵出口壓力調(diào)定為15 MPa下，用50 kHz的采樣頻率分別采集滑靴磨損、中心彈簧磨損和松靴故障下的三組泵殼振動加速度信號，采集時間均為0.8 s。它們的故障沖擊特征頻率分別為171.5 Hz、24.5 Hz和171.5 Hz[16-17]。

3.2 滑靴磨損故障分析

滑靴-斜盤滑動摩擦副是軸向柱塞泵的三大摩擦副中最為復(fù)雜的一對[18]。當(dāng)滑靴出現(xiàn)磨損故障時，故障滑靴對斜盤的沖擊會增大。

圖4 滑靴磨損故障信號

圖5 PSE和R與結(jié)構(gòu)元素長度的關(guān)系

圖4(b)展示出了在故障沖擊特征頻率171.5 Hz及其倍頻處的幅值特征。由于噪聲的污染，在其它頻率處的幅值也較高。

對滑靴磨損故障信號進行形態(tài)學(xué)差值運算，扁平型結(jié)構(gòu)元素長度L的變化取為2到100。在求特征能量比R時，取故障沖擊特征頻率171.5 Hz的1～4倍頻處的能量和0-25 kHz頻率段的總能量進行運算。

分析過程如同2.2節(jié)，圖5為不同結(jié)構(gòu)元素長度與功率譜熵值和特征能量比值的關(guān)系。圖中功率譜熵達到最小值1.986且特征能量比達到最大值0.499時所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長度為L=29。

在熵值比較小且變化緩慢的區(qū)域15≤L≤50(兩端點處的熵值分別為2.082和2.062)，即L=(0.051-0.171)T(T為滑靴故障周期沖擊長度：50 000 Hz/171.5 Hz≈292個采樣點)時能夠更好地濾掉噪聲，得到相對清晰的故障沖擊特征信息，L=29則是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長度。

圖6為L=29的形態(tài)差值濾波器對滑靴磨損故障信號進行濾波后的功率譜圖。與圖4(b)相比，故障沖擊特征頻率處的峰值得到了很好的凸現(xiàn)，噪聲得到了很好的抑制。

圖6 濾波后的滑靴磨損故障信號功率譜圖(L為29)

3.3 中心彈簧磨損故障分析

中心彈簧太短會導(dǎo)致柱塞回程不夠、缸體-配流盤摩擦副的密封性能降低和內(nèi)部油液的泄漏[18]。當(dāng)中心彈簧出現(xiàn)磨損故障時，滑靴會加大對斜盤的沖擊。

圖7 中心彈簧磨損故障信號

圖7(b)中展示出了在故障沖擊特征頻率24.5 Hz的某些倍頻處的幅值特征，由于噪聲的污染，在其它頻率處也存在峰值。

對中心彈簧磨損故障信號進行形態(tài)學(xué)差值運算，扁平型結(jié)構(gòu)元素長度L的變化取為2到180。在求特征能量比R時，取故障沖擊特征頻率24.5 Hz的1-25倍頻處的能量和0-25 kHz頻率段的總能量進行運算。

圖8 PSE和R與結(jié)構(gòu)元素長度的關(guān)系

分析過程如同2.2節(jié)，圖8為不同結(jié)構(gòu)元素長度與功率譜熵值和特征能量比值的關(guān)系。圖中功率譜熵達到最小值2.157且特征能量比達到最大值0.525 3時所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長度為L=91。

在熵值比較小且變化緩慢的區(qū)域13≤L≤130(兩端點處的熵值分別為2.383和2.219)，即L=(0.006-0.064)T(T為中心彈簧磨損周期沖擊長度：50 000 Hz/24.5 Hz≈2 041個采樣點)時能夠更好地濾掉噪聲，得到相對清晰的故障沖擊特征信息，L=91則是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長度。

圖9為L=91的形態(tài)差值濾波器對中心彈簧磨損故障的信號進行濾波后的功率譜圖。與圖7(b)相比，故障沖擊特征頻率處的峰值得到了很好的凸現(xiàn)，噪聲得到了很好的抑制。

圖9 濾波后的中心彈簧磨損故障信號功率譜圖(L為91)

3.4 松靴故障分析

滑靴松動嚴(yán)重時會導(dǎo)致滑靴脫節(jié)或使活塞頸部扭斷[18]。當(dāng)發(fā)生此故障時，故障滑靴對斜盤的沖擊增大。

圖10 松靴故障信號

圖10(b)展示出了在故障沖擊特征頻率171.5 Hz及其倍頻處的幅值特征，由于噪聲的污染，其它頻率處的幅值也很大。

對松靴故障信號進行形態(tài)學(xué)差值運算，扁平型結(jié)構(gòu)元素長度L的變化取為2到100。在求特征能量比R時，取故障沖擊特征頻率171.5 Hz的1-5倍頻處的能量和0-25 kHz頻率段的總能量進行運算。

圖11 PSE和R與結(jié)構(gòu)元素長度的關(guān)系

分析過程如同2.2節(jié)，圖11為不同結(jié)構(gòu)元素長度與功率譜熵值和特征能量比值的關(guān)系。圖中功率譜熵達到最小值2.256且特征能量比達到最大值0.308時所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素長度為L=25。

在熵值比較小且變化緩慢的區(qū)域15≤L≤60(兩端點處的熵值分別為2.333和2.32)，即L=(0.051-0.205)T(T為松靴故障周期沖擊長度：50 000 Hz/171.5 Hz≈292個采樣點)時能夠更好地濾掉噪聲，得到相對清晰的故障沖擊特征信息，L=25則是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長度。

圖12為L=25的形態(tài)差值濾波器對松靴故障信號進行濾波后的功率譜圖。與圖10(b)相比，故障沖擊特征頻率處的峰值得到了很好的凸現(xiàn)，噪聲得到了很好的抑制。

4 結(jié) 論

針對實測振動信號易受噪聲污染而淹沒有用信息和克服利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對一維信號進行濾波時結(jié)構(gòu)元素長度選取的經(jīng)驗性和任意性，提出了一種基于形態(tài)學(xué)差值算子和功率譜熵理論相結(jié)合，并與特征能量比相配合的方法來確定最優(yōu)扁平型結(jié)構(gòu)元素長度以實現(xiàn)最優(yōu)濾波，并得出以下結(jié)論：

(1) 對于滑靴磨損故障信號，結(jié)構(gòu)元素長度為L=(0.051-0.171)T(T為滑靴磨損故障周期沖擊長度：50 000 Hz/171.5 Hz≈292個采樣點)時能提取清晰的故障特征信息，功率譜熵最小值所對應(yīng)的長度L=29是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長度，能達到最優(yōu)的濾波效果；

(2) 對于中心彈簧磨損故障信號，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素長度為L=(0.006-0.064)T(T為中心彈簧故障周期沖擊長度：50 000 Hz/24.5 Hz≈2 041個采樣點)時能提取清晰的故障特征信息，功率譜熵最小值所對應(yīng)的長度L=91是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長度，能達到最優(yōu)的濾波效果；

(3) 對于松靴故障信號，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素長度為L=(0.051-0.205)T(T為松靴故障周期沖擊長度：50 000 Hz/171.5 Hz≈292個采樣點)時能提取清晰的故障特征信息，功率譜熵最小值所對應(yīng)的長度L=25是最優(yōu)扁平結(jié)構(gòu)元素長度，能達到最優(yōu)的濾波效果。

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