常 軍，劉大山

(蘇州科技學院 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011)

結構模態(tài)參數(shù)識別作為了解結構健康狀況的必要前提，其研究備受關注。結構模態(tài)參數(shù)識別方法主要有頻域法、時域法兩類。頻域法為利用輸入輸出所得頻響函數(shù)識別結構模態(tài)參數(shù)，為傳統(tǒng)的識別方法，常見有峰值法、頻域分解法等。時域法為利用系統(tǒng)響應的時間歷程曲線識別結構模態(tài)參數(shù)，其原始數(shù)據(jù)為時間歷程，如自由響應、脈沖響應。常見時間序列法、隨機減量法、隨機子空間方等。兩類方法結合使用是目前模態(tài)參數(shù)識別的一大熱點，即時頻域方法，常見有小波分析法、Hilbert-Huang變換法等。

量子粒子群算法(QPSO)為在粒子群(PSO)算法基礎上發(fā)展的基于群體智能理論的優(yōu)化算法，因其具有所需參數(shù)少、編程簡單、易收斂及收斂速度快等優(yōu)勢備受關注。QPSO算法應用范圍較廣，如天線設計、生物醫(yī)藥、通訊網絡、分類與聚集、組合優(yōu)化、自動控制、電力系統(tǒng)設計、電磁場設計、濾波器設計、金融風險預測、投資決策、人臉檢測與識別、神經網絡與車間調度等[3-15]；但在土木工程領域的應用較少見[9]。本文通過將結構模態(tài)參數(shù)識別問題轉化為優(yōu)化問題，采用QPSO算法進行模態(tài)參數(shù)識別。

1 粒子群算法

粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)由Eberhart等[1-2]提出。與其它進化算法類似，該算法具有進化及群體智能特點，可模擬鳥群飛行覓食行為，通過鳥間協(xié)作、競爭達到群體智能目的。在PSO算法中，每個候選解成為一個“粒子”，若干候選解構成鳥群體。每個粒子無重量、體積，通過目標函數(shù)確定其適應值，并在解空間中運動，由速度決定其運動方向、距離，粒子通過追隨自身的個體最好位置與群體全局最好位置動態(tài)調整自己的位置及信息。該算法中，粒子運動狀態(tài)由位置、速度描述，隨時間的演化，粒子運動軌跡為既定的，而粒子速度受到一定限制，使粒子的搜索空間為有限并逐漸減小的區(qū)域，不能覆蓋整個可行空間，從而導致PSO算法不能保證全局收斂。此結論已被證明[3]。此為PSO算法的致命缺陷。

2 量子粒子群優(yōu)化算法

孫俊等[6-7]由量子力學角度提出新的粒子群算法模型。認為粒子具有量子行為，并據(jù)該模型提出量子粒子群算法(Quantum-behaved Particle Swarm Optimization, QPSO)。實際應用表明，該算法具有更好的全局收斂性與不易陷入局部最優(yōu)的特性。

(1)

式中：u～U(0,1)；L為δ勢阱特征長度，隨時間變化。

經推導，粒子更新方程[5-7]為

(2)

pid=φpij+(1-φ)Gj

(3)

(4)

式中：m為粒子數(shù)；n為維數(shù)；φ～U(0,1)；pij為由個體經驗知識確定的最優(yōu)值；Gj為由群體知識確定的群體最優(yōu)值；α為收縮擴張系數(shù)，即QPSO算法除群體規(guī)模及迭代次數(shù)外的唯一控制參數(shù)，計算式[5-7]為

(5)

式中：α1，α2分別為α的初始值、終值；t為迭代次數(shù)；Imax為允許最大迭代次數(shù)。

QPSO算法過程如下:

(1)t=0時，初始化每個粒子位置為Xi(0)，個體最優(yōu)位置為Pi(0)=Xi(0)；

(2) 計算粒子群平均最好位置pm；

(3) 計算粒子i當前位置Xi(t)的適應值，若f[Xi(t)]

(4) 對粒子i，將Pi(t)適應值與全局最優(yōu)位置G(t-1)的使用對比，若f[Pi(t)]

(5) 計算隨機點位置；

(6) 計算粒子的新位置；

(7) 若未達終止條件返回(2)，否則結束。

3 QPSO識別結構模態(tài)參數(shù)

多自由度粘性阻尼線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)[16]為

(6)

用有理分式多項式可表示[16]為

(7)

式中：N為模態(tài)階數(shù)；akak，bk(k=0,1,2,…2N)為待定系數(shù)，均為有理數(shù)。

令jω=s，b2N=1,得頻響函數(shù)[16]為

(8)

(9)

兩邊同乘D(jω)，得：

(10)

式中：ei為加權誤差函數(shù)：

(11)

所有L個對應頻率點ω=ωi(i=1,2,…L)的加權誤差函數(shù)構成誤差函數(shù)向量為

{e}=[e1e2e3…eL]T

(12)

式中：T表示轉置。

將上式表示為矩陣：

{e}L×1=[P]L×(2L+1){a}(2L+1)×1-[T]L×2N2N×1-{ω}L×1

(13)

式中：

[P]L×(2L+1)=

(14)

[T]L×2N=

(15)

{a}(2N+1)×1=[a0a1…a2N]T

(16)

2N×1=[b0b1…b2N-1]T

(17)

(18)

定義目標函數(shù)為

E={e}H{e}

(19)

式中：角標H表示共軛轉值。

目標函數(shù)為

(20)

用QPSO算法可識別出待定系ak(k=0,1,…2N)及bk(k=0,1,…2N-1)。

令D(s)=b0+b1s+…+b2N-1s2N-1+s2N=0，求解得N對共軛復根為

(21)

進而得：

(22)

研究表明，某點振型分量與該點留數(shù)成正比。設q點激勵，p點相應傳遞函數(shù)Hpq(s)第r階留數(shù)[16]為

(23)

通過對一系列響應測點所得留數(shù)進行處理，并歸一化，得振型向量[16]為

{φr}=[Ar1qAr2q…ArMq]T/Armq

(24)

式中：Arpq為q點處激勵p點處響應留數(shù)；Armq為q點激勵時各測點處最大留數(shù)。

4 實例分析

6層剪切型框架結構模型見圖1，結構特性見表1。

表1 六層框架模型結構特性

圖1 六層框架模型

激勵信號采用正弦掃頻信號，頻率范圍設為0.5～20 Hz，施加于框架各層。測出各層相應，求出各層頻響函數(shù)。分別采用QPSO算法、PSO算法及峰值法進行結構模態(tài)參數(shù)識別，結果見表2。在識別過程中PSO、QPSO算法的離子數(shù)目均取30，迭代次數(shù)3 000。為研究QPSO算法的抗噪性，對識別結果分別加入5%、10%、20%、30%的噪聲(噪聲最大幅值與響應信號最大幅值之比)，用QPSO算法進行識別，結果見表3。QPSO、PSO算法識別前六階陣型見圖2～圖7。

表2、表3中MAC為模態(tài)判定準則[16]：

(25)

判定兩向量是否具有相同的相關因子，若MAC接近1，說明兩向量相同，接近于0，則不同。

表2 采用不同方法所得計算結果

表3 采用QPSO算法識別不同噪聲水平下計算結果

圖2 第一階模態(tài)振型

圖5 第四階模態(tài)振型

由表2、圖2～圖7結果看出，本文QPSO算法能較精確識別出模態(tài)參數(shù)，且較PSO算法、峰值法精度高。由表3看出，QPSO算法能精確識別出噪聲影響下的輸出信號模態(tài)參數(shù)，表明該方法抗噪性較強。

5 結 論

通過將由結構輸出輸入計算所得實測頻響函數(shù)與理論頻響函數(shù)差值作為優(yōu)化問題目標函數(shù)，采用量子粒子群算法尋求理論頻響函數(shù)公式中所含模態(tài)參數(shù)而使目標值最小化。將模態(tài)參數(shù)識別問題轉化為優(yōu)化問題。通過采用QPSO算法、PSO算法及峰值法對六層框架結構進行模態(tài)參數(shù)識別，結論如下：

(1) QPSO算法能有效識別結構模態(tài)參數(shù)，識別精度高于PSO算法、峰值算法；

(2) 采用QPSO算法對不同噪聲水平影響下的結構輸出信號分析表明，QPSO算法能精確識別結構的模態(tài)參數(shù)，即QPSO算法抗噪性較強；

(3) 基于量子粒子群算法對結構健康監(jiān)測及結構狀態(tài)評估發(fā)展有一定促進作用。

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