高瑞梅,裴東河

(1. 長春理工大學(xué) 理學(xué)院,長春 130022； 2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,長春 130024)

一類二維重構(gòu)形的通有基底

高瑞梅1,裴東河2

(1. 長春理工大學(xué) 理學(xué)院,長春 130022； 2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,長春 130024)

給出了重構(gòu)形所形成集合通有基底的概念及(1,2)-型二維重構(gòu)形的定義,并構(gòu)造了它們的通有基底.

超平面構(gòu)形； 重構(gòu)形； 自由性； 通有基底

超平面構(gòu)形是一類具有非孤立奇點的超曲面,它與組合學(xué)、 代數(shù)學(xué)、 拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)幾何學(xué)中的多個學(xué)科廣泛交叉[1]. 超平面構(gòu)形是有限維向量空間中有限個超平面所形成的集合,超平面構(gòu)形通常簡稱為構(gòu)形. 目前,構(gòu)形的研究主要集中于構(gòu)形的自由性問題及復(fù)空間中構(gòu)形余集的拓?fù)湫再|(zhì)等問題[2-6]. Yoshinaga[3]利用重構(gòu)形的自由性解決了Edelman-Reiner猜想， 但自由重構(gòu)形導(dǎo)子模的基底不易求出,且指數(shù)的變化不規(guī)律. 即使對于二維的重構(gòu)形,其指數(shù)的描述都非常困難[7]. 因此,基底的構(gòu)造更難. 文獻(xiàn)[8]對含有3個超平面、 重數(shù)取任意值的一類二維重構(gòu)形給出了基底. 本文主要考慮(1,2)-型二維重構(gòu)形(A,m),即重數(shù)m為1或2的一類重構(gòu)形,構(gòu)造出它們的通有基底.

1 基本概念

設(shè)V是一個n維向量空間,V中(n-1)維仿射子空間稱為V的一個超平面,記為H.V中有限個超平面組成的集合稱為一個超平面構(gòu)形,記為A. 如果構(gòu)形A中的每個超平面H都經(jīng)過原點,則稱A是一個中心構(gòu)形. 定義構(gòu)形A的維數(shù)dimA=dimV=n. 用S表示由V*的基底x1,x2,…,xn生成的多項式代數(shù). 對于A中的超平面H,可以選取αH∈S,使得H=Ker(αH). 對于中心構(gòu)形A,定義導(dǎo)子模D(A)={θ|θ(αH)∈αHS,?H∈A}. 若D(A)是S上的一個自由模,則稱構(gòu)形A是自由的.

設(shè)A是一個中心構(gòu)形,映射m:A→稱為構(gòu)形A的重數(shù). 把(A,m)定義為一個重構(gòu)形,顯然,重構(gòu)形是構(gòu)形的一個自然推廣. 類似于超平面構(gòu)形,定義重構(gòu)形的導(dǎo)子模

D(A,m)={φ|φ(αH)∈(αH)m(H)S,?H∈A}.

若D(A,m)是S上的一個自由模,則稱重構(gòu)形(A,m)是自由的.

2 (1,2)-型二維重構(gòu)形的通有基底

定義1設(shè)F是由若干n維重構(gòu)形組成的集合,如果存在n個導(dǎo)子θ1,θ2,…,θn,使得對任意的重構(gòu)形(A,m)∈F,θ1,θ2,…,θn均為D(A,m)的基底,則稱θ1,θ2,…,θn是集合F的通有基底.

若F只包含一個自由重構(gòu)形,則此重構(gòu)形的基底即為F的通有基底. 由于二維重構(gòu)形都是自由的,因此本文在二維重構(gòu)形范圍內(nèi)考慮通有基底的存在性及其構(gòu)造形式.

例2[9]設(shè)A是一個中心構(gòu)形,Q為構(gòu)形A的定義多項式,定義

則{θ1,θ2}構(gòu)成了集合F2={(A,m)|m=2}的通有基底.

對目前產(chǎn)業(yè)環(huán)境和前景表示樂觀的MTC主席拿督Low Kian Chuan，在對國際木文化學(xué)會記者的采訪中說道，他真切地希望馬來西亞木材產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)商能進(jìn)一步解放思想，開拓視野，提高產(chǎn)品質(zhì)量，加快技術(shù)升級。

定義2設(shè)A和B是兩個中心構(gòu)形,且A∩B=?. 定義m:A∪B→如下：

則構(gòu)形(A∪B,m)稱為(1,2)-型重構(gòu)形.

引理1[10]如果θ1,θ2,…,θn∈D(A,m),則它們形成D(A,m)的一組基底當(dāng)且僅當(dāng)

定理1設(shè)構(gòu)形(A∪B,m)是一個(1,2)-型重構(gòu)形,QA,QB分別為A和B的定義多項式,則集合F={(A∪B,m)|m(A)=1,m(B)=2}的通有基底存在,形式如下：

證明： 由引理1,先計算如下行列式：

1) 如果H∈A,則αH|QA,因此

即θ1(αH)=-αH(D1(QA)D2(QB)-D2(QA)D1(QB))-QB(aD2(QA)-bD1(QA))∈αHS.

2) 如果H∈B,則αH|QB,因此

綜合1),2)可知,θ1∈D(A∪B,m).

圖1 含有6個超平面的(1,2)-型重構(gòu)形Fig.1 (1,2)-Type multiarrangement with six hyperplanes

此外,由于θ2(αH)=αHQB,因此對于H∈A,有αH|θ2(αH)； 對于H∈B,有(αH)2|θ2(αH),即θ2∈D(A∪B,m). 由引理1可知,θ1,θ2構(gòu)成了(A∪B,m)的一組基底. 證畢.

下面利用定理1給出一個(1,2)-型重構(gòu)形基底.

例3設(shè)(A,m)是一個重構(gòu)形,其中

幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示. 由定理1,

形成了D(A,m)的一組基底.

[1]Orlik P,Terao H. Arrangements of Hyperplanes [M]. Berlin: Springer-Verlag,1992.

[2]Terao H. Generalized Exponents of a Free Arrangement of Hyperplanes and Shephard-Todd-Brieskorn Formula [J]. Inventiones Mathematicae,1981,63: 159-179.

[3]Yoshinaga M. Characterization of a Free Arrangement and Conjecture of Edelman and Reiner [J]. Inventiones Mathematicae,2004,157(2): 449-454.

[4]GAO Ruimei,PEI Donghe,Terao H. The Shi Arrangement of the TypeDl[J]. Japan Academy Proceedings. Series A: Mathematical Sciences,2012,88(3): 41-45.

[5]Suyama D,Terao H. The Shi Arrangements and the Bernoulli Polynomials [J]. The Bulletin of the London Mathematical Society,2012,44(3): 563-570.

[6]Yuzvinsky S A. Orlik-Solomon Algebras in Algebra and Topology [J]. Russian Mathematical Surveys,2001,56(2): 293-364.

[7]Wakefield M,Yuzvinsky S. Derivations of an Effective Divisor on the Complex Projective Line [J]. Transactions of the American Mathematical Society,2007,359(9): 4389-4404.

[8]Wakamiko A. On the Exponents of 2-Multiarrangements [J]. Tokyo Journal of Mathematics,2007,30(1): 99-116.

[9]Solomon L,Terao H. The Double Coxeter Arrangement [J]. Commentarii Mathematici Helvetici,1998,73(2): 237-258.

[10]Ziegler G M. Multiarrangements of Hyperplanes and Their Freeness [J]. Contemporary Mathematics,1989,90: 345-359.

(責(zé)任編輯： 趙立芹)

UniversalBasesforaClassofTwo-DimensionalMultiarrangements

GAO Ruimei1,PEI Donghe2
(1.CollegeofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China;
2.SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

For a set of multiarrangements,we gave the concept of universal basis,offered the definition of (1,2)-type multiarrangement of two-dimensional,and also constructed the universal bases for all of them.

hyperplane arrangement; multiarrangement; freeness; universal basis

2013-09-05.

高瑞梅(1983—),女,漢族,博士,講師,從事奇點理論和超平面構(gòu)形的研究,E-mail: gaorm135@nenu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號： 11326078)和黑龍江省教育廳科技研究項目(批準(zhǔn)號： 12531187).

O189

A

1671-5489(2014)05-0979-03