方東輝

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000)

一類新的Haar子空間中最佳逼近的特征*

方東輝

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000)

研究了廣義限制域最佳逼近問題.引入一個L*￣Haar子空間的概念,刻劃了L*￣Haar子空間中最佳逼近的特征.

最佳逼近;L*￣Haar子空間;特征

Un(l,u)={p∈Un:l(t)≤Lp(t)≤u(t),t∈K}.

文中均假設(shè)Un(l,u)非空.筆者研究間區(qū)間為[a,b]的連續(xù)函數(shù)在Un(l,u)中的最佳逼近的特征問題.對f∈C[a,b],p0∈Un(l,u),稱p0為f關(guān)于(L;l,u)的廣義限制最佳逼近,如果‖f-p0‖=inf{‖f-p‖:p∈Un(l,u)}.

顯然,當L為單位算子或?qū)阕訒r,廣義限制最佳逼近問題恰是經(jīng)典的限制值域和導數(shù)值域最佳逼近問題.從20世紀60年代開始,人們對經(jīng)典的限制逼近問題作了廣泛而又深入的研究,參看文獻[1-6]及其參考文獻.1991年,文獻[7]定義了一類新的Harr子空間,即L￣Haar子空間,并首次對L為一般線性算子時的情況研究了關(guān)于(L;l,u)的廣義限制最佳逼近的特征刻劃等問題.注意到,當L為單位算子時,L￣Haar子空間與經(jīng)典的Haar子空間并不等價.針對此問題,文獻[8]引進了一類新的Haar子空間,證明了該子空間當L為單位算子時L￣Haar子空間與Haar子空間的等價性.2004年,文獻[9]將優(yōu)化中的強CHIP性質(zhì)概念應用到廣義限制逼近問題的研究中,刻劃了次強內(nèi)點條件、強CHIP性質(zhì)和最佳逼近特征之間的關(guān)系.筆者在其基礎(chǔ)上繼續(xù)研究這一問題.通過引進文獻[8]中的L*￣Haar子空間,給出了L*￣Haar子空間中最佳逼近的特征定理,推廣了文獻[6]中的結(jié)論.

1 預備知識

為方便起見,首先引入若干記號.設(shè)Z是實Banach空間X的子集,令intZ,coneZ,coZ,|Z|分別表示Z的內(nèi)部、凸錐、凸包和基數(shù).若Z是凸子集,NZ(z0)表示Z在z0點的法錐,其定義為

NZ(z0)={x*∈X*:x*,z-z0≤0,?z∈Z}.

下文中,令X=Un并定義

ex(p)=p(x),Ly(p)=Lp(y) ?p∈Un.

定義3 稱Un為L(或L*)-Haar子空間,如果沒有p∈Un{0}在Un的L(或L*)極子集消失.

注1L*￣Haar子空間由文獻[8]所引進.顯然,L￣Haar子空間一定是L*￣Haar子空間,而L*￣Haar子空間包含于Haar子空間,因此，{L￣Haar子空間}?{L*￣Haar子空間}?{Haar子空間}.同時，由文獻[8]可知,Un為I*￣Haar子空間當且僅當Un是Haar子空間.

2 最佳逼近的特征

令f∈C[a,b],p0∈Un(l,u),B*是C[a,b]的共軛空間C[a,b]*的單位球.定義

Ωf-p0={x*∈B*：x*,f-p0=‖f-p0‖},
X+(p0)={x∈[a,b]：f(x)-p0(x)=‖f-p0‖},
X-(p0)={x∈[a,b]：(x)-p0(x)=-‖f-p0‖},
K+(p)={y∈K:Lp(y)=L(y)},K-(p)={y∈K:Lp(y)-u(y)},
X(p)=X+(p)∪X-(p0),K(p0)=K+(p0)∪K-(p0),
σ1(f,p0,x)=sgn(f-p0)(x),

定理1 設(shè)Un為L*￣Haar子空間,則{Un,Ct：t∈K}有強CHIP性質(zhì).

引理1[3]設(shè)P?C[a,b]為非空閉凸子集,f∈C[a,b],p0∈P，則p0為f在P上的最佳逼近當且僅當存在x*∈Ωf-p0使得x*,p-p0≤0,?p∈P.

定理2 設(shè)l,u∈C(K),f∈C[a,b],p0∈Un(l,u),Un為L*￣Haar子空間，則p0為f在Un(l,u)上的最佳逼近當且僅當存在點{x1,…,xs}?X(p0),{y1,…,yr}?K(p0)(s≥1,s+r≤n+1),常數(shù)c1,…,cs,d1,…,dr>0,使得

(1)

從而，p0是f在Un(l,u)上的最佳逼近.

?.設(shè)p0為f在Un(l,u)上的最佳逼近.由引理1,存在x*∈Ωf-p0使得

x*,p-p0≤0 ?p∈Un(l,u).

故存在yj∈K+(p0)(j=1,…,m),yj∈K-(p0)(j=m+1,…,r)及常數(shù)dj>0(j=1,…,r)，使得

(2)

=x*,pexi,p?p∈Un.

(3)

這樣由(2),(3)式得

令p0∈Un(l,u).由文獻[9]可知,若intUn(l,u)≠?,則{Un,Ct：t∈K}在p0點有強CHIP性質(zhì),從而由定理2的證明可知下面結(jié)論成立：

推論1[7]設(shè)l,u∈C(K),f∈C[a,b],p0∈Un(l,u).若intUn(l,u)≠?,則p0為f在Un(l,u)上的最佳逼近當且僅當存在點{x1,…,xs}?X(p0),{y1,…,yr}?K(p0)(s≥1,s+r≤n+1)及常數(shù)c1,…,cs,d1,…,dr>0，使得

[1] SINGER I.Best Approximation by Elements of Linear Subspaces in Linear Spaces[M].New York:Spring￣Verleg,1974.

[2] RICE J R.The Approximation Functions[M].London:Addison￣Wesley,1964.

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(責任編輯 向陽潔)

CharacterizationoftheBestApproximationonaNewHaarTypeSpace

FANG Donghui

(School of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

The problem of the best approximation with generalized restrictions is considered.By introducing a new Haar type space,the characterization of the best approximation is given.

best approximation;Haar type space;characterization

1007-2985(2014)03-0011-04

2014-02-22

國家自然科學基金資助項目(11101186);湖南省教育廳科學研究項目(13B095)

方東輝(1979-),男,湖南洞口人,吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授,博士,主要從事非線性逼近與優(yōu)化研究.

O174.41

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.03.003