游興中，全宏躍，徐雪楓，顏小強(qiáng)，趙 堅(jiān)

(長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410004)

形如A+XYH矩陣的性質(zhì)*

游興中，全宏躍，徐雪楓，顏小強(qiáng)，趙 堅(jiān)

(長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410004)

討論了形如A+XYH矩陣的性質(zhì),給出了它們?cè)谛辛惺降挠?jì)算中的應(yīng)用.

矩陣;可逆矩陣;伴隨矩陣;行列式

文中設(shè)C為復(fù)數(shù)域,Cn×m為n×m的復(fù)矩陣的全體,In為n階單位矩陣,Cn為n維列向量的全體.設(shè)A∈Cn×n,|A|表示A的行列式,AH表示A的共軛轉(zhuǎn)置,A*表示A的伴隨矩陣,r(A)表示A的秩.

文獻(xiàn)[1]給出了如下求矩陣A-αβH的行列式，以及其可逆時(shí)求其逆矩陣的Sherman-Morisson公式：

文獻(xiàn)[2]將Sherman-Morisson推廣到求伴隨矩陣的情形.筆者從2個(gè)方面推廣引理1的結(jié)果：一方面去掉A可逆的條件推廣引理1的結(jié)論(ⅰ)；另一方面保留A可逆的條件,將α,β∈Cn推廣到U,V∈Cn×m的情形,推廣引理1的結(jié)論(ⅱ),并說(shuō)明推廣的結(jié)果在求行列式中的應(yīng)用.

定理1 設(shè)A∈Cn×n,α,β∈Cn,則|A+αβH|=|A|+βHA*α.

若|A|=0,令A(yù)1=A+tIn,則存在正數(shù)δ使得當(dāng)t屬于復(fù)平面上以原點(diǎn)為中心半徑為δ的鄰域時(shí)|A1|≠0,于是由上面的推理可得|A1+αβH|=|A1|+βHA1*α.注意到該等式兩邊可視為t的多項(xiàng)式,因而是t的連續(xù)函數(shù),故當(dāng)|t|→0+時(shí)也得到|A+αβH|=|A|+βHA*α.

定理2 設(shè)A∈Cn×n為可逆矩陣,U,V∈Cn×m,那么：(ⅰ)|A+UVH|=|A||Im+VHA-1U|;(ⅱ)若Im+VHA-1U可逆,則A+UVH可逆且(A+UVH)-1=A-1-A-1U(Im+VHA-1U)-1VHA-1.

證明記B=Im+VHA-1U.

(ⅱ)若B可逆,則由A可逆及(ⅰ)得|A+UVH|=|A||B|≠0,因此A+UVH可逆.

下面以2個(gè)例子說(shuō)明定理1和定理2在行列式計(jì)算中的應(yīng)用.

[1] 戴 華.矩陣論[M].北京:科學(xué)出版社,2002.

[2] 孫勝先,錢澤平.冪等和冪零陣的伴隨陣的反問題[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006(5):114-116.

[3] 北進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].第3版.北京:高等教育出版社,2003.

(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

PropertiesoftheMatricesofTypeA+XYH

YOU Xingzhong,QUAN Hongyue,XU Xuefeng,YAN Xiaoqiang,ZHAO Jian

(College of Math. and Computing Science,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410014，China)

The properties of the matric of typeA+XYHand their applications in calculations of determinants are studied.

matrix;invertible matrix;adjoint matrix;determinant

1007-2985(2014)06-0022-02

2014-03-26

長(zhǎng)沙理工大學(xué)精品課程建設(shè)資助項(xiàng)目(KC1119)；大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目

游興中(1968—),男,湖南桃源人,長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院教授,博士,主要從事群論研究.

O211.62

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.006