楊富春，李素英，李　斌，李鵬飛

(1.山東電力工程咨詢?cè)河邢薰?，山東 濟(jì)南 250013；2.山東省高級(jí)人民法院，山東 濟(jì)南 250101)

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四種模型在衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用研究

楊富春1，李素英2，李斌1，李鵬飛1

(1.山東電力工程咨詢?cè)河邢薰?，山東 濟(jì)南 250013；2.山東省高級(jí)人民法院，山東 濟(jì)南 250101)

摘要：利用IGS提供的精密鐘差數(shù)據(jù)參與建模，采用線性模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型及時(shí)間序列模型分別對(duì)不同時(shí)期發(fā)射的GPS衛(wèi)星的原子鐘進(jìn)行了1 d的短期預(yù)報(bào)，并對(duì)這四種模型的預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行比較分析。結(jié)果表明，線性模型、灰色模型較二次多項(xiàng)式模型和時(shí)間序列模型的預(yù)報(bào)效果要好，且BLOCK IIF Rb的預(yù)報(bào)精度最高，BLOCK IIA Rb鐘的預(yù)報(bào)精度最低。

關(guān)鍵詞：線性模型；二次多項(xiàng)式模型；灰色模型；時(shí)間序列模型；鐘差；預(yù)報(bào)精度

在GPS實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位中，鐘差預(yù)報(bào)是一項(xiàng)非常重要的工作。目前，IGS分析中心可以免費(fèi)提供精度在0.1 ns左右的最終精密星歷供全球用戶下載使用，可以使精密單點(diǎn)定位精度達(dá)到厘米級(jí)。但是IGS最終精密星歷有13 d的初始延遲[1-2]，不能滿足GPS精密單點(diǎn)定位的實(shí)時(shí)性要求。目前，只有廣播星歷和超快速星歷的預(yù)報(bào)部分能滿足實(shí)時(shí)性要求，但是前者的精度在7 ns左右，后者的精度在5 ns左右，精度都較低，不能夠滿足實(shí)時(shí)精密單點(diǎn)定位對(duì)鐘差的精度要求。

文獻(xiàn)[3-11]對(duì)線性模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和時(shí)間序列模型在衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用做了相關(guān)研究。線性模型是多項(xiàng)式模型中最簡(jiǎn)單的一種，對(duì)于成線性規(guī)律變化的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)尤為適用[3]；二次多項(xiàng)式模型是利用時(shí)間作變量，用以往的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合確定各項(xiàng)系數(shù)，進(jìn)而對(duì)衛(wèi)星鐘作外推預(yù)測(cè)，其優(yōu)點(diǎn)在于可以利用較長(zhǎng)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行充分的擬合，但是二次多項(xiàng)式模型以時(shí)間為變量，其預(yù)報(bào)誤差會(huì)隨時(shí)間的增大而不斷變大[4]；灰色模型的特點(diǎn)是僅需要少數(shù)幾個(gè)歷元的衛(wèi)星鐘差來(lái)建模，不僅減少了已知衛(wèi)星鐘差的數(shù)據(jù)量，提高了建模的速度，而且所建立的模型對(duì)衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度較二次多項(xiàng)式預(yù)報(bào)精度有顯著提高[5-8]；ARMA模型是Box和Jenkins于20世紀(jì)70年代提出的，它將自回歸模型(AR模型)和滑動(dòng)平均模型(MA模型)有機(jī)的組合起來(lái)，使之成為一種綜合的預(yù)測(cè)方法。作為有效的現(xiàn)代數(shù)據(jù)處理方法之一，它被譽(yù)為時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法中最復(fù)雜最高級(jí)的模型[9-14]。

雖然文獻(xiàn)[3-11]對(duì)各個(gè)模型在衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)中都做過(guò)研究，但沒(méi)有對(duì)這四種模型的鐘差短期預(yù)報(bào)效果進(jìn)行歸納總結(jié)，因此本文針對(duì)不同時(shí)期發(fā)射的GPS星載原子鐘，利用IGS提供的精密鐘差數(shù)據(jù)，對(duì)線性模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型及時(shí)間序列模型的鐘差短期預(yù)報(bào)效果進(jìn)行了分析和比較，以期進(jìn)一步明確四種預(yù)報(bào)模型對(duì)不同類型的原子鐘的適用情況。線性模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型及時(shí)間序列模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)的基本原理公式，在文獻(xiàn)[3-11]中都有詳細(xì)介紹，這里不再贅述，僅對(duì)這四種模型的數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析和研究。

1　基本資料

論文計(jì)算分析采用的數(shù)據(jù)為IGS站的精密鐘差數(shù)據(jù)，提取從2012年5月1(MJD=56048)日至7月31(MJD=56138)日共92 d的事后精密鐘差，鐘差采樣間隔為5 min(τ0=300 s)。選取G01、G04、G06、G08、G09、G12、G17、G18、G21和G25這10顆衛(wèi)星作為研究對(duì)象,其中G08、G09的衛(wèi)星鐘為BLOCK IIA Cs鐘，G01、G25的衛(wèi)星鐘為BLOCK IIF Rb鐘,G04、G06衛(wèi)星鐘為BLOCK IIA Rb鐘,G12、G17的衛(wèi)星鐘為BLOCK IIR-M Rb鐘,G18、G21的衛(wèi)星鐘為BLCOK IIR Rb鐘。表1給出了在軌運(yùn)行的31顆GPS衛(wèi)星所對(duì)應(yīng)的飛行器編號(hào)、發(fā)射批次及裝載的衛(wèi)星鐘類型，本文將對(duì)鐘差進(jìn)行1 d的短期預(yù)報(bào)。

表1　衛(wèi)星在軌運(yùn)行狀態(tài)

2　衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)

影響衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)精度的因素有很多，本文將著重從模型本身、參與建模的鐘差數(shù)量及鐘差數(shù)據(jù)的質(zhì)量進(jìn)行研究。鐘差的短期預(yù)報(bào)采用線性模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和時(shí)間序列模型這四種模型進(jìn)行預(yù)報(bào)，擬定的方案如下：

方案1：采用6月3日最后2 h(即24個(gè)歷元)鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)1 d；

方案2：采用6月3日最后8 h(即96個(gè)歷元)鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)1 d；

方案3：采用6月3日最后12 h(即144個(gè)歷元)鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)1 d；

方案4：采用6月3日24 h(即288個(gè)歷元)的鐘差數(shù)據(jù)預(yù)1 d。

本次計(jì)算是利用MATLAB語(yǔ)言，對(duì)四種模型編制計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算速度快，效率高；將四種模型的預(yù)報(bào)值與IGS精密鐘差作差，求取模型預(yù)報(bào)殘差的均方根值，可作為預(yù)報(bào)精度的衡量指標(biāo)。IGS精密星歷鐘差誤差為1 ns以內(nèi)，可作為真值，用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)報(bào)的準(zhǔn)確度。

2.1BLOCK IIA Rb鐘的預(yù)報(bào)

四種模型對(duì)G04和G06的衛(wèi)星原子鐘進(jìn)行1 d的短期預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果如表2、圖1和圖2所示。

從圖1和圖2可以看出，對(duì)于BLOCK IIA Rb鐘而言，采用相同數(shù)量鐘差建模時(shí)，線性模型、灰色模型和時(shí)間序列模型的預(yù)報(bào)殘差曲線走勢(shì)相一致，且變化平緩，其預(yù)報(bào)精度相當(dāng)，且都在3 ns以內(nèi)；二次多項(xiàng)式模型在參與建模的數(shù)據(jù)少(2 h鐘差數(shù)據(jù))時(shí)，模型擬合不夠充分，模型穩(wěn)定性較差，誤差積累較快，表現(xiàn)在圖上為預(yù)報(bào)殘差曲線變化較為急促，預(yù)報(bào)精度在幾十納秒，當(dāng)參與建模的數(shù)據(jù)量較為充足(24 h鐘差數(shù)據(jù))時(shí)，二次多項(xiàng)式模型得到了充分?jǐn)M合，模型穩(wěn)定度和預(yù)報(bào)精度都得到了較大提高，預(yù)報(bào)精度也達(dá)到了幾納秒。對(duì)于G04的衛(wèi)星鐘而言，采用12 h鐘差數(shù)據(jù)建立線性模型的的預(yù)報(bào)精度最高，而G06的衛(wèi)星鐘，采用24 h鐘差數(shù)據(jù)建立二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)精度最高，預(yù)報(bào)精度都可以達(dá)到亞納秒級(jí)。

2.2BLOCK IIA Cs鐘的預(yù)報(bào)

四種模型對(duì)G08和G09的衛(wèi)星的原子鐘進(jìn)行1 d的短期預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果如表3、圖3和圖4所示。

表2　四種模型預(yù)報(bào)殘差的均方根值　單位：ns

圖1對(duì)G04衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

圖2對(duì)G06衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

圖3對(duì)G08衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差值

圖4對(duì)G09衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

表3　四種模型預(yù)報(bào)殘差的均方根值　單位：ns

從圖3和圖4可以看出，對(duì)于BLOCK IIA Cs鐘而言，采用四種模型的最高預(yù)報(bào)精度都在1 ns以上，線性模型、二次多項(xiàng)式模型和灰色模型的預(yù)報(bào)殘差曲線的變化趨勢(shì)相一致，預(yù)報(bào)精度相當(dāng)，且大部分在幾納秒,最差在十幾納秒；二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)殘差曲線在參與建模數(shù)據(jù)量不足(2 h鐘差數(shù)據(jù))時(shí)變化較急促，預(yù)報(bào)精度較差，在50 ns左右，在參與建模數(shù)據(jù)量充足(24 h鐘差數(shù)據(jù))時(shí)，精度得到很大提高。對(duì)于G08而言，采用8 h數(shù)據(jù)建立時(shí)間序列模型的預(yù)報(bào)精度最，對(duì)于G09而言，采用2 h數(shù)據(jù)建立時(shí)間序列模型的預(yù)報(bào)精度最高。

2.3BLCOK IIR Rb鐘的預(yù)報(bào)

四種模型對(duì)G18和G21的衛(wèi)星的原子鐘進(jìn)行1 d的短期預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果如表4、圖5和圖6所示。

表4　四種模型預(yù)報(bào)殘差的均方根值　單位：ns

圖5對(duì)G18衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

圖6對(duì)G21衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

從圖5和圖6可以看出，對(duì)于BLOCKII R Rb鐘而言，采用四種方案的四種模型預(yù)報(bào)精度都較高，都在10 ns以內(nèi)。G18的衛(wèi)星鐘采用24 h鐘差數(shù)據(jù)建立的線性模型的預(yù)報(bào)精度最高，G21的衛(wèi)星鐘采用24 h鐘差數(shù)據(jù)建立的二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)精度最高，兩者的預(yù)報(bào)精度都在亞納秒級(jí)。

2.4BLOCK IIR-M Rb鐘的預(yù)報(bào)

四種模型對(duì)G12和G17的衛(wèi)星的原子鐘進(jìn)行1 d的短期預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果如表5、圖7和圖8所示。

從圖7和圖8可以看出，對(duì)于BLOCK IIR-M Rb鐘而言，G12和G17兩顆衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘采用8 h數(shù)據(jù)建立時(shí)間序列模型的預(yù)報(bào)精度最高，都在0.3ns以內(nèi)。線性模型和灰色模型的預(yù)報(bào)精度也較高，二次多項(xiàng)式模型在參與建模的數(shù)據(jù)量充足(24 h鐘差數(shù)據(jù))時(shí)，和其他三種模型的預(yù)報(bào)精度相當(dāng)，也在1 ns以內(nèi)。

表5　四種模型預(yù)報(bào)殘差的均方根值　單位：ns

2.5BLOCK IIF Rb鐘的預(yù)報(bào)

四種模型對(duì)G01和G25的衛(wèi)星的原子鐘進(jìn)行1 d的短期預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果如表6、圖9和圖10所示。

從圖9和圖10可以看出，對(duì)于BLOCK IIF Rb鐘而言，除二次多項(xiàng)式模型在參與建模的數(shù)據(jù)量不足(2 h數(shù)據(jù))時(shí)預(yù)報(bào)精度較低(十幾納秒)外，其他情況下的預(yù)報(bào)精度都在1 ns以內(nèi)，預(yù)報(bào)精度很高。且G01和G25的衛(wèi)星鐘采用24 h鐘差數(shù)據(jù)建立時(shí)間序列模型的預(yù)報(bào)精度最高，都在0.2 ns以內(nèi)。

表6　四種模型預(yù)報(bào)殘差的均方根值　單位：ns

圖7對(duì)G12衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

圖8對(duì)G17衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

圖9對(duì)G01衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

圖10對(duì)G25衛(wèi)星建立的四種模型的預(yù)報(bào)殘差

3　結(jié)　語(yǔ)

本文主要研究分析了線性模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型和時(shí)間序列模型這四種模型在衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用，現(xiàn)得出以下結(jié)論：

(1)線性模型、灰色模型和時(shí)間序列模型對(duì)鐘差的預(yù)報(bào)精度較高，模型穩(wěn)定性較強(qiáng)，且對(duì)同一顆衛(wèi)星的預(yù)報(bào)精度相當(dāng)，即使只有少量鐘差數(shù)據(jù)參與建模也可以取得不錯(cuò)的精度。

(2)二次多項(xiàng)式模型只有在參與建模的數(shù)據(jù)量較大時(shí)才能取得較高的預(yù)報(bào)精度，且模型穩(wěn)定性較差，誤差容易快速累積。

圖1110顆衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)精度排名

(3)由于G08和G09的鐘差序列出現(xiàn)抖動(dòng)，規(guī)律性較其它衛(wèi)星差，所以四種模型對(duì)這兩顆衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)精度相對(duì)較低，最優(yōu)的預(yù)報(bào)精度也在1 ns～3 ns之間，其它衛(wèi)星則可以通過(guò)不同方案和模型的最優(yōu)組合都可以達(dá)到亞納秒級(jí)。

(4)BLCOK IF Rb鐘的預(yù)報(bào)精度最高，其次為BLOCK IIR-M Rb鐘，而B(niǎo)LOCK IIA Rb鐘和BLOCK IIR Rb鐘的預(yù)報(bào)精度相當(dāng)，BLOCK IIA Cs鐘的預(yù)報(bào)精度最低。

整體而言，對(duì)鐘差進(jìn)行短期預(yù)報(bào)，采用線性模型、灰色模型或時(shí)間序列模型進(jìn)行預(yù)報(bào)較為理想，考慮到時(shí)間序列建模的復(fù)雜性，推薦采用線性模型或者灰色模型，在參與建模的數(shù)據(jù)量較為充足時(shí)可以考慮采用二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行預(yù)報(bào)。

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ResearchontheApplicationofFourModelsUsedintheShort-termPredictionofSatelliteClockErrors

YANG Fu-chun1,LI Su-ying2,LI Bin1,LI Peng-fei1

(1.ShandongElectricPowerEngineeringConsultingInstituteCorp.,Ltd.,Ji'nan,Shandong250013,China;2.ShandongHighPeople'sCourt,Ji'nan,Shandong250101,China)

Abstract：Based on the precise clock error data provided by IGS,a short-term prediction of one day to the different satellite clocks launched in different times was presented here.To make the prediction,four models were adopted,namely linear model,quadratic polynomial model,grey model and time series model,which were built using different numbers of clock error data.And then the prediction results of the four models were compared and analysed.The analysis of the results indicates that linear model and grey model give better prediction than quadratic polynomial model and time series model,it also suggests that the BLOCK IIF Rb clocks have the highest prediction accuracy,while the BLOCK IIA Cs clocks have the lowest.

Keywords：linear model;quadratic polynomial model;grey model;time series model;clock error;prediction accuracy

DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2014.06.040

中圖分類號(hào)：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672—1144(2014)06—0199—06

作者簡(jiǎn)介：楊富春(1987—)，男，山東臨沂人，碩士，主要從事GPS數(shù)據(jù)處理方面的研究工作。

收稿日期：2014-04-24修稿日期：2014-06-21