劉 潔

(延安大學 化學與化工學院,陜西 延安 716000)

直線滾動導軌結(jié)合部的靜剛度解析

劉 潔

(延安大學 化學與化工學院,陜西 延安 716000)

介紹了影響結(jié)合部靜態(tài)特性的主要因素及接觸理論，并通過非線性接觸表面層理論對直線滾動導軌圓柱結(jié)合部的接觸變形進行了解析計算，可為機械結(jié)構(gòu)的靜態(tài)特性提供結(jié)合部的邊界條件。

結(jié)合部；接觸理論；非線性

機床中各結(jié)合面的靜、動態(tài)特性對機床的性能有顯著的影響，要分析這些影響，就必須弄清構(gòu)成結(jié)合面的構(gòu)件的變形以及結(jié)合面上壓力的分布狀況。機床結(jié)合面靜態(tài)基礎(chǔ)特性參數(shù)包括單位結(jié)合面積上的法向接觸剛度和切向接觸剛度，它們具有非線性特性，結(jié)合面靜態(tài)基礎(chǔ)特性影響因素很多，主要有反映結(jié)合面自身基本特性的因素和反映結(jié)合部結(jié)構(gòu)及工況的因素。前類因素包括連續(xù)變化因素(如初始面壓、表面粗糙度)和非連續(xù)變化因素(如結(jié)合面材質(zhì)、介質(zhì)狀況、加工方法等)。機床結(jié)構(gòu)中零件與結(jié)合面既互相依附，又互相影響。在結(jié)合面上接觸壓力分布與接觸變形大小必須滿足一定的非線性協(xié)調(diào)關(guān)系。因此，在機床結(jié)構(gòu)的靜態(tài)基礎(chǔ)特性計算中，零件與結(jié)合部的靜態(tài)基礎(chǔ)特性計算必須同時進行[1]。

機床的剛度是影響加工精度的重要因素之一，機床是由若干基本構(gòu)件及這些構(gòu)件間的結(jié)合面所組成，所以機床的總剛度是由各個基本構(gòu)件的剛度及各個結(jié)合面的剛度來共同決定的。關(guān)于結(jié)合面的剛度及其影響因素的研究，對不同材料的結(jié)合面、不同的接觸表面狀況業(yè)界已經(jīng)作了大量的研究，獲得了在不同條件下接觸變形與接觸面壓力的關(guān)系。研究表明：結(jié)合面的靜剛度不僅與接觸壓力有關(guān)，同時還與結(jié)合面處構(gòu)件的材料、接觸表面的加工方法、潤滑條件等有關(guān)。結(jié)合面剛度與壓力成非線性關(guān)系說明結(jié)合面的剛度具有非線性特點[2]。結(jié)合面的變形是結(jié)合面上的法向壓力的函數(shù)，具有非線性特性，且這種函數(shù)關(guān)系基本符合指數(shù)函數(shù)關(guān)系。而實際機械結(jié)構(gòu)中，力從一個構(gòu)件傳到另一個構(gòu)件都是由結(jié)合面上的法向和切向力來實現(xiàn)的，所以研究結(jié)合面的切向靜態(tài)特性是十分必要的。

1 結(jié)合面的基礎(chǔ)接觸特性理論

1.1接觸理論

在結(jié)合部接觸面上有無數(shù)個點互相接觸，當結(jié)合部受到靜載荷作用時，結(jié)合面表現(xiàn)出彈性性質(zhì)，每個接觸點在某一個坐標軸的方向上的特性可以用如圖1所示的彈簧元件來等效描述。由于結(jié)合面形狀誤差(比如平行度)、油膜等的存在，當構(gòu)件受到動載荷作用時，結(jié)合面會產(chǎn)生輕微的滑移，這時結(jié)合面表現(xiàn)出既有彈性又有阻尼的性質(zhì)，每個接觸點在某一個坐標軸的方向上的特性可以用彈簧并聯(lián)阻尼器元件來等效描述，如圖2所示。

圖1 靜載荷作用下結(jié)合部法向特性模型

1.2接觸界面的定解條件

接觸界面發(fā)生變形，即零件的宏觀變形不是很明顯，但在微觀上結(jié)合面有相對的位移，切向位移滿足摩擦條件。本文研究的是靜態(tài)接觸問題，如圖3所示，假設(shè)物體Ⅰ上的點A和物體Ⅱ上的點B都在各自的接觸邊界上，且構(gòu)成接觸點對，初始狀態(tài)為A和B重合，局部放大圖如圖4所示。在總體坐標系Σ1下，設(shè)點A和點B沿3個坐標方向的位移分別為(UAx，UAy，UAz)和(UBx，UBy，UBz)。設(shè)J為總體坐標系Σ1與結(jié)合部局部坐標系Σ2之間的坐標變換矩陣[3]。

圖2 動載荷作用下結(jié)合部法向特性模型

圖3 相互接觸

圖4 接觸點對

1.3接觸問題的求解

接觸過程在力學上通常同時涉及3種非線性，即除大變形引起的材料非線性和幾何非線性以外，還有接觸界面的邊界非線性,如圖5所示。界面的非線性來源于以下2個方面：

a.接觸界面的區(qū)域大小和相互位置以及接觸狀態(tài)都是未知的，且隨時間而變化，需要在求解過程中確定。

b.接觸條件的非線性。接觸條件包括：(1)接觸表面是光滑連續(xù)的曲面；(2)接觸表面的摩擦作用服從庫倫定律；(3)接觸表面的力和位移邊界條件均可用有限元的節(jié)點來描述[4]。

圖5 邊界非線性

2 平面與柱面的接觸解析

如圖6所示，圓柱結(jié)合部坐標系∑J-XYZ-O,結(jié)合面坐標系∑s-xbybzb-Ob，圓柱底面半徑為R；設(shè)A為圓柱面上任意一點，其坐標為(Rcosα,Rsinα,X3),OA交平面b于B點，則B點坐標在∑b-xyz-O中表示為(Rcotα,0,0)；α為A點的轉(zhuǎn)角坐標。

圖6 柱面與平面接觸數(shù)學模型

∑b坐標系相對于∑a坐標系的位移量ATa為：

λ1=(-Rtanα-Ru6-u1)sinα-

(R+u2)cosα

(1)

λ2=(-Ru6tanα-u2)sinα+

u1cosα+R

(2)

λ3=-u5Rtanα+u3

(3)

式中：ui為結(jié)合面在3個坐標方向上的變形量。

由接觸變形量可以得圓柱面任一點(X1,X2,X3)處的接觸面壓及接觸變形如下：

(4)

(5)

(6)

式中：ατ,αn,βτ,βn為實驗系數(shù)(與結(jié)合面的材料、加工方法及精度、潤滑等諸多因素有關(guān))。

(7)

式中：λn為結(jié)合面的相對法向變形, 通常認為,λ2>0為結(jié)合面接觸狀態(tài),λ2≦0為結(jié)合面非接觸狀態(tài),而將λ2=0的線叫做0線[5]。

結(jié)合部的力平衡公式如下：

Fi+FRi=0

(8)

式中：Fi表示外載荷的力及力矩的列陣，其中F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3分別表示x1，x2，x3坐標方向的力,F4，F(xiàn)5,F6分別表示繞x1,x2,x3坐標方向的力矩；FRi為結(jié)合部的接觸反力及反力矩列陣；S為結(jié)合面的面積。

由式(1)～式(8)得：

{F}=f(uJ)

(9)

解式(9)就可以求出結(jié)合部的相對位移uJ。

若只考慮直接剛度，那么結(jié)合部的剛度表達如下：

(10)

kJi=f(uJ)

(11)

由式(9)和式(10)可以求出結(jié)合部剛度的表達式(11)。當由式(10)求出uJ或者uJ為已知時，用式(11)就可求出結(jié)合部剛度值。

3 直線滾動導軌結(jié)合部載荷線性迭加程序及驗證

在前面提出的關(guān)于柱面與平面結(jié)合部的數(shù)學模型中，含有6個待求的未知量UJi(i=1,2,…,6)，但是由于這6個量都是隱含的，無法從方程中分離出來，對于隱含的非線性方程組的求解問題，一直沒有一種通用的計算方法來加以解決，本文采用分布迭代的方法，對柱面與平面結(jié)合部的數(shù)學模型，編制MATLAB語言程序來求解。

3.1柱面與平面結(jié)合部解析程序編制說明

一塊接觸區(qū)域由無數(shù)個點組成，每個點的面壓不同，但是無法將每個點的面壓都求出，只能將接觸區(qū)域劃分成無數(shù)個點，將其中一個點的面壓求出，然后乘以接觸面積，就是整個接觸區(qū)域的接觸面積?；谏鲜龇植剂?，將分布力等效為節(jié)點力，編制程序。

3.1.1程序的基本功能

a.確定結(jié)合部的位移結(jié)合條件。

b.確定結(jié)合部的載荷結(jié)合條件。

c.確定結(jié)合部的靜剛度。

3.1.2程序結(jié)構(gòu)流程圖

采用了求解變量逐步搜索法，對滾動體、滾動導軌結(jié)合部的數(shù)學模型，編制MATLAB語言程序來求解。所謂逐步搜索法就是給欲求量賦初值與步長后，通過逐步加減步長的值來改進欲求量的值，一直到求出的反力滿足給定的精度后，輸出欲求量。計算步驟如下：

a.設(shè)置數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)包括零件受到的除結(jié)合部接觸以外的所有外載荷。

b.設(shè)定初始結(jié)合部法向位移量。

設(shè)定較大的U2值，這個值的正負與結(jié)合部坐標系的選取有關(guān)。

c.求出結(jié)合部在法向變形為U2值時結(jié)合部所受的法向載荷F2。

根據(jù)非線性方程組采用線性化的方法來求解U2對應(yīng)的F2，給定U2一個步長，采用分布迭代的方式進行求解。

d.計算在結(jié)合部法向變形為U2值時結(jié)合面的接觸角度θ′。

根據(jù)公式計算出結(jié)合面的接觸角度θ′。

e.判斷U2與法向外載荷是否接近。

f.計算其余各個方向的外載荷。

g.輸出結(jié)合面接觸面壓分布和接觸剛度分布。

程序設(shè)計流程如圖7所示。

3.2算例

以單平面結(jié)合部算例說明線性疊加的方法是可行的。

a.結(jié)合部受到的外載荷F=[1 000，-3 000，-500，1，10，1]時，求得：U線=[0.739 5 -0.556 9 -0.369 7 2.319 9 4.437 0 0.405 0]；U非=[0.737 93-0.556 84 0.371 30 0.122 98 4.541 70 0.122 98]。

圖7 程序流程圖

b.結(jié)合部受到的外載荷F=[-100，-4 000，500，1，10，15]時，求得：U線=[-0.054 7 -0.648 6 0.273 6 2.319 9 3.283 0 1.701 4]；U非=[-0.554 20E-01 -0.647 16 0.262 54 0.107 66 2.778 70 1.614 70]。

由結(jié)合部線性疊加結(jié)果與非線性耦合結(jié)果對比可以看出，這種線性疊加的方法是可行的。

4 結(jié)束語

本文利用非線性解析法對直線滾動導軌圓柱面結(jié)合部的靜態(tài)特性進行了解析計算，可為機械結(jié)構(gòu)或整機考慮結(jié)合部的靜態(tài)特性分析提供結(jié)合部的邊界條件。由于條件限制，文中所涉及的算法并沒有試驗或設(shè)備支撐，因而文章更傾向于理論研究，后續(xù)的工作將是盡可能和相關(guān)企業(yè)聯(lián)合進行試驗，以進一步完善再制造的相關(guān)理論。

[1] 黃玉美,張廣鵬，高峰，等.虛擬樣機整機結(jié)構(gòu)特性邊界元仿真[M].北京：機械工業(yè)出版社,2004.

[2] 張廣鵬. 機床導軌結(jié)合部的動態(tài)特性解析方法及其應(yīng)用[J]．機械工程學報，2002(10)：114-117.

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TheContactStiffnessAnalysisofLinearRollingGuideColumns

LIU Jie

(Yan'an University, Shaanxi YAN'an, 710048, China)

It introduces the main factors affecting static joints and contact characteristics theory, simulates the nonlinear contact surface layer deformation of linear guide cylinder rolling contact joints, provides the boundary conditions for the binding portion of the static characteristics of the mechanical structure.

Joints; Contact Theory; Nonlinear

10.3969/j.issn.2095-509X.2014.07.019

2014-03-18

劉潔(1983—)，女，陜西延安人，延安大學助教，碩士，主要研究方向為過程裝備與控制工程。

TH161.12

A

2095-509X(2014)07-0079-04