張 勇， 王 寧

(中國石油大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，青島 266580)

凡以二階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制工程中，不僅二階系統(tǒng)的典型應(yīng)用極為普遍，而且不少高階系統(tǒng)的特性在一定條件下可用二階系統(tǒng)的特性來表征。因此，著重研究二階系統(tǒng)的分析和計(jì)算方法，具有較大的實(shí)際意義[1-3]。

控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)所需解決的首要問題，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是一種常用的頻域穩(wěn)定判據(jù)，其特點(diǎn)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于其在使用上非常方便和直觀，在系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中得到了廣泛的應(yīng)用[4-6]。

目前，國際上對時(shí)滯與穩(wěn)定性相關(guān)問題的研究， 一般只考慮時(shí)滯對系統(tǒng)性能的負(fù)面影響，認(rèn)為時(shí)滯越小，系統(tǒng)性能越好。給出的研究結(jié)果只能保證時(shí)滯本身在小于某個(gè)上界時(shí)才能滿足系統(tǒng)的某些性能指標(biāo)。這種研究思想只適合時(shí)滯相對較小的情形，結(jié)果仍是比較保守的[7-9]。Abdallah等[10]提出時(shí)滯的正反饋控制可以穩(wěn)定化具有振蕩特性的系統(tǒng)。此研究結(jié)果表明，在一定條件下，時(shí)滯對系統(tǒng)性能具有正面影響。隨后，胡海巖等[11]運(yùn)用Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)和廣義Sturm判別法，討論了含待定參數(shù)的高階時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性切換問題，在時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔方面做了大量的研究工作。在此基礎(chǔ)上，唐功友[12]運(yùn)用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)和坐標(biāo)變換方法，研究了彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)的最大穩(wěn)定裕度時(shí)滯比例控制器的設(shè)計(jì)問題，實(shí)現(xiàn)了主動(dòng)利用時(shí)滯反饋控制鎮(zhèn)定振蕩系統(tǒng)的目的。

關(guān)于時(shí)滯對典型二階振蕩系統(tǒng)的穩(wěn)定性是否具有正面作用這一議題，本文進(jìn)行了全面細(xì)致的穩(wěn)定性分析，分別討論了閉環(huán)系統(tǒng)為單位負(fù)反饋和單位正反饋兩種情形下時(shí)滯對控制系統(tǒng)性能的影響。通過繪制相對阻尼系數(shù)在不同取值區(qū)間的Nyquist曲線，得出了時(shí)滯與閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系，并針對各種情況進(jìn)行了單位階躍響應(yīng)的實(shí)例仿真。

1 二階振蕩系統(tǒng)描述

考慮如下一類含有時(shí)滯的閉環(huán)控制系統(tǒng)

圖1 閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

其中：R(s)表示參考信號(hào)，C(s)表示輸出信號(hào)，U(s)表示控制信號(hào)，k>0為比例控制器增益，τ≥0為信號(hào)傳輸時(shí)滯對控制系統(tǒng)的綜合效應(yīng)，Gp(s)為具有二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的被控對象。

(1)

其中：ωn>0表示無阻尼振蕩頻率，ζ表示相對阻尼系數(shù)。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

(2)

其頻率特性為

(3)

2 負(fù)反饋穩(wěn)定性分析

當(dāng)閉環(huán)控制系統(tǒng)采用單位負(fù)反饋時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

(4)

當(dāng)τ=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

(5)

其特征根為

(6)

由代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可以得到此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是ζ>0。

以下我們分析當(dāng)τ>0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1) 當(dāng)ζ=0時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面無極點(diǎn)，由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

是Nyquist曲線不包圍或穿越臨界點(diǎn)(-1,j0)。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

(7)

其頻率特性為

(8)

圖2 負(fù)反饋ζ=0時(shí)系統(tǒng)的Nyquist曲線

由于開環(huán)傳遞函數(shù)包含兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，為了便于分析我們可以從與頻率0+對應(yīng)的點(diǎn)開始逆時(shí)針方向補(bǔ)畫1/2個(gè)半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實(shí)軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內(nèi)Nyquist曲線繞臨界點(diǎn)(-1,j0)順時(shí)針轉(zhuǎn)過一圈，所以此時(shí)無論我們?nèi)绾芜x取k和τ的值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

取ωn=1,k=1,τ=1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 負(fù)反饋ζ=0時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

2) 當(dāng)ζ<0時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面有一個(gè)極點(diǎn)，由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Nyquist曲線逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)一圈。

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性為

(9)

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的相頻特性為

(10)

由于開環(huán)傳遞函數(shù)包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，我們可以從與頻率0+對應(yīng)的點(diǎn)開始逆時(shí)針方向補(bǔ)畫1/4個(gè)半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實(shí)軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內(nèi)Nyquist曲線繞臨界點(diǎn)(-1,j0)順時(shí)針轉(zhuǎn)過兩圈，所以此時(shí)無論我們?nèi)绾芜x取ζ，k和τ的值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

取ωn=1,k=1,τ=1,ζ=-1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖5所示。

3) 當(dāng)ζ>0時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面無極點(diǎn)，由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Nyquist曲線不包圍或穿越臨界點(diǎn)(-1,j0)。

(11)

(12)

此時(shí)系統(tǒng)的Nyquist曲線如圖6所示。

由于開環(huán)傳遞函數(shù)包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，我們可以從與頻率0+對應(yīng)的點(diǎn)開始逆時(shí)針方向補(bǔ)畫1/4個(gè)半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實(shí)軸有對稱性，可見當(dāng)Nyquist曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)小于等于-1時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)Nyquist曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)大于-1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，由:

(13)

可以求得Nyquist曲線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓的交點(diǎn)頻率為

(14)

由式(10)我們可以得到，此時(shí)如下不等式成立

(15)

基于此我們可以求出系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)τ的取值范圍為

(16)

上式左右兩邊的不等式是等價(jià)的。

取ωn=1,k=1,τ=1,ζ=1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖7所示。

取ωn=1,k=1,τ=4,ζ=1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖8所示。

圖6 負(fù)反饋ζ>0時(shí)系統(tǒng)的Nyquist曲線

3 正反饋穩(wěn)定性分析

當(dāng)閉環(huán)控制系統(tǒng)采用單位正反饋時(shí)，我們通過研究下式的Nyquist曲線對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

(17)

其頻率特性為

(18)

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

(19)

當(dāng)τ=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

(20)

其特征根為

(21)

由代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可以得到，此時(shí)無論我們?nèi)绾芜x取ζ的值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

以下我們分析當(dāng)τ>0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1) 當(dāng)ζ=0時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面無極點(diǎn)，由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Nyquist曲線不包圍或穿越臨界點(diǎn)(-1,j0)。

Nyquist曲線的繪制函數(shù)可以表示為:

(22)

其頻率特性為

(23)

由于開環(huán)傳遞函數(shù)包含兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，我們可以從與頻率0+對應(yīng)的點(diǎn)開始逆時(shí)針方向補(bǔ)畫1/2個(gè)半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實(shí)軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內(nèi)Nyquist曲線繞臨界點(diǎn)(-1,j0)順時(shí)針轉(zhuǎn)過一圈，所以此時(shí)無論我們?nèi)绾芜x取k和τ的值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

取ωn=1,k=1,τ=1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖10所示。

2) 當(dāng)ζ>0時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面無極點(diǎn)，由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Nyquist曲線不包圍或穿越臨界點(diǎn)(-1,j0)。

Nyquist曲線繪制函數(shù)的幅頻特性為:

(24)

Nyquist曲線繪制函數(shù)的相頻特性為:

(25)

圖9 正反饋ζ=0時(shí)系統(tǒng)的Nyquist曲線

由于開環(huán)傳遞函數(shù)包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，我們可以從與頻率0+對應(yīng)的點(diǎn)開始逆時(shí)針方向補(bǔ)畫1/4個(gè)半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實(shí)軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內(nèi)Nyquist曲線繞臨界點(diǎn)(-1,j0)順時(shí)針轉(zhuǎn)過兩圈，所以此時(shí)無論我們?nèi)绾芜x取ζ，k和τ的值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

取ωn=1,k=1,τ=1,ζ=1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖12所示。

3) 當(dāng)ζ<0時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面有一個(gè)極點(diǎn)，由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Nyquist曲線逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)一圈。

(26)

(27)

此時(shí)系統(tǒng)的Nyquist曲線如圖13所示。

由于開環(huán)傳遞函數(shù)包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，我們可以從與頻率0+對應(yīng)的點(diǎn)開始逆時(shí)針方向補(bǔ)畫1/4個(gè)半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實(shí)軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內(nèi)Nyquist曲線繞臨界點(diǎn)(-1,j0)順時(shí)針轉(zhuǎn)過兩圈或不圍繞，也可能順時(shí)針穿越臨界點(diǎn)，所以此時(shí)無論我們?nèi)绾芜x取ζ，k和τ的值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

取ωn=1,k=1,τ=1,ζ=-1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖14所示。

圖12 正反饋ζ=1時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

4 結(jié) 論

時(shí)滯是整個(gè)控制領(lǐng)域中普遍存在的現(xiàn)象。在眾多考慮時(shí)滯效應(yīng)的研究工作中，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及失穩(wěn)機(jī)制是兩個(gè)基礎(chǔ)性的研究問題。本文針對被控對象具有二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的一類振蕩系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，分別討論了閉環(huán)系統(tǒng)為單位負(fù)反饋和單位正反饋時(shí)，時(shí)滯對控制系統(tǒng)性能的影響。

分析結(jié)果表明對于這種如圖1所示結(jié)構(gòu)的典型二階振蕩系統(tǒng)，時(shí)滯對該閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是不具有正面作用的。由于被控對象具有二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式，所以本文的研究具有普遍的意義，并為進(jìn)一步分析和研究更復(fù)雜結(jié)構(gòu)的時(shí)滯控制系統(tǒng)打下了基礎(chǔ)。

參 考 文 獻(xiàn)

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