張永芳, 劉 成, 王 東, 武 澎

(1. 西安理工大學(xué) 印刷包裝工程學(xué)院,西安 710048；2. 重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400030；3. 中國(guó)煤炭科工集團(tuán)西安研究院,西安 710077；4. 西安機(jī)電信息技術(shù)研究所,西安 710065)

由于滑動(dòng)軸承具有工作平穩(wěn)、承載力大、噪聲小等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于高速、重載和高精度旋轉(zhuǎn)機(jī)械當(dāng)中?；瑒?dòng)軸承作為軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重要支承部件，其本質(zhì)是非線性的，目前已有許多對(duì)其非線性特性進(jìn)行研究的報(bào)道。呂延軍[1-3]對(duì)滑動(dòng)軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究。通過(guò)運(yùn)用變分約束原理求解了固定瓦-可傾瓦滑動(dòng)軸承的非線性油膜力及其動(dòng)力學(xué)特性系數(shù)[1]；運(yùn)用Castelli方法，基于數(shù)據(jù)庫(kù)原理，快速求解了固定瓦-可傾瓦滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑的Reynolds方程[2]；運(yùn)用微分變換法并結(jié)合非線性理論，分析了固定瓦-可傾瓦氣體潤(rùn)滑徑向軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)及軸承參數(shù)對(duì)系統(tǒng)非線性行為的影響規(guī)律[3]。目前，許多學(xué)者在研究滑動(dòng)軸承的非線性動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，潤(rùn)滑油膜大多采用層流假設(shè)，但是隨著軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)行工況要求的不斷提高，使得轉(zhuǎn)子運(yùn)行的線速度增大，目前許多實(shí)際工作中的軸承已在紊流工況下運(yùn)轉(zhuǎn)。王小靜等[4-6]對(duì)復(fù)合型紊流潤(rùn)滑理論模式及其應(yīng)用進(jìn)行了深入研究。采用該復(fù)合型紊流潤(rùn)滑理論研究高速重載滑動(dòng)軸承問(wèn)題時(shí)，尤其能夠適用其強(qiáng)軸向流的特點(diǎn)，能較準(zhǔn)確地分析滑動(dòng)軸承的紊流潤(rùn)滑性能。雖然該理論很先進(jìn)，但求解十分復(fù)雜、費(fèi)時(shí)，如果采用數(shù)據(jù)庫(kù)的方法，雖然能使該理論的計(jì)算量大大縮減，但仍然無(wú)法得到近似解析解。Chang-Jian等[7]對(duì)紊流滑動(dòng)軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔和混沌等非線性行為進(jìn)行了研究。通過(guò)采用長(zhǎng)軸承假設(shè)模型(即忽略了沿軸向變化的壓力流)，得到了紊流長(zhǎng)軸承假設(shè)下的解析表達(dá)式。Lo[8]分析了具有耦合應(yīng)力影響的紊流徑向軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，采用了短軸承的假設(shè)(即忽略了沿周向變化的壓力流)。無(wú)論是“無(wú)限短軸承模型”[8-9]或“無(wú)限長(zhǎng)軸承模型”[7,10]，它們均是被廣泛使用的假設(shè)，并且都是在Reynolds方程的基礎(chǔ)上做了相應(yīng)的簡(jiǎn)化后得到的。由于實(shí)際應(yīng)用的軸承寬徑比通常在0.8～1之間，無(wú)論是采用無(wú)限長(zhǎng)或無(wú)限短軸承模型計(jì)算得到的結(jié)果均與其相差甚遠(yuǎn)。因此我們需要尋求對(duì)有限長(zhǎng)軸承能夠進(jìn)行快速求解的方法。采用漸進(jìn)法[11-13]求解流體潤(rùn)滑的Reynolds方程，可以近似分析流體膜的潤(rùn)滑問(wèn)題，但通常在較小的偏心率和載荷范圍內(nèi)用來(lái)近似分析。Buckholz等[14]運(yùn)用漸進(jìn)法并結(jié)合Ocvirk的短軸承近似解，提出了一種提高無(wú)限短軸承假設(shè)解精度的方法。Hirani等[15]和Bastani等[16]分別將短軸承和長(zhǎng)軸承解的不同組合用于有限長(zhǎng)軸承的計(jì)算分析。這些研究都給尋求紊流有限長(zhǎng)滑動(dòng)軸承油膜承載力的近似解析方法提供了參考。

本文利用多參數(shù)攝動(dòng)原理，采用零方程模式的Constantinescu理論即Prandtl混合長(zhǎng)度潤(rùn)滑理論模式，對(duì)有限長(zhǎng)紊流滑動(dòng)軸承的Reynolds方程進(jìn)行了求解，得到了紊流有限長(zhǎng)軸承承載力的近似解析表達(dá)式，同時(shí)分析了偏心率、寬徑比等參數(shù)對(duì)承載力及壓力分布的影響。

1 紊流狀態(tài)下的Reynolds方程

圖1給出了紊流徑向滑動(dòng)軸承示意圖及其計(jì)算坐標(biāo)；圖2為紊流動(dòng)壓軸承的剖面圖。圖1中，Ob為軸承中心，Oj為軸頸中心，φ是從y軸負(fù)方向順時(shí)針轉(zhuǎn)至油膜位置的角度，θ為偏位角，φ是從OjOb延長(zhǎng)線順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)至油膜位置的角度，fr和ft分別為作用在軸頸上的非線性油膜力徑向和切向分量，fx和fy分別為作用在軸頸上的非線性油膜力在x和y軸負(fù)方向的分量。h為油膜厚度，ω為轉(zhuǎn)子角速度，R為軸承半徑，r為軸頸半徑，mg為軸承載荷。圖2中，B為軸承寬度。

紊流滑動(dòng)軸承有量綱Reynolds方程為：

(1)

式中，Gφ和Gz為紊流因子[17]，

對(duì)式(1)進(jìn)行無(wú)量綱化，為此引入以下無(wú)量綱變量：

將上式代入式(1)可得無(wú)量綱Reynolds方程：

(2)

令：

(3)

式中，pp為平均壓力。

圖1 紊流滑動(dòng)軸承示意圖及其計(jì)算坐標(biāo)

圖2 紊流滑動(dòng)軸承剖面圖

引入Sommerfeld 和Ocvirk數(shù)：

(4)

(5)

(6)

2 非線性油膜承載力的近似解

由于Reynolds方程求解出的油膜壓力是一些獨(dú)立變量(φ,λ, …)以及一些參變量 (ζ,B/d,… )的函數(shù)。為方便計(jì)算起見(jiàn)，令：

(7)

將P展開(kāi)成ζ的冪級(jí)數(shù)：

P=P0+ζP1+ζ2P2+ζ3P3+…

(8)

因?yàn)镺cvirk數(shù)O是ζ的函數(shù)，所以也將O展開(kāi)成ζ的冪級(jí)數(shù)：

O=O0+ζO1+ζ2O2+ζ3O3+…

(9)

由于所取項(xiàng)數(shù)的增加，使求解趨于繁瑣，加大了計(jì)算的困難，所以這里?。?/p>

(10)

將式(10)代入式(6)可得：

(11)

對(duì)于上式，令ζ=0可得：

(12)

由邊界條件：當(dāng)λ=±1/2時(shí)，P0=0得到：

(13)

對(duì)P0求一次導(dǎo)數(shù)可得：

(14)

對(duì)式(14)兩端同乘以H3得：

(15)

對(duì)式(15)求一次導(dǎo)數(shù)可得：

(16)

為計(jì)算方便起見(jiàn)令：

將上式代入式(16)可得：

(17)

所以有：

(18)

對(duì)式(13)求兩次導(dǎo)數(shù)且兩端同乘以H3/6可得：

(19)

將式(18)和式(19)代入式(11)可得：

對(duì)上式積分兩次并代入邊界條件可得：

(21)

由于P0和P1中有未知量O0和O1，所以需要求解O0和O1。因?yàn)橛校?/p>

(22)

式中，F(xiàn)=2ppπRB為承載力，有量綱Fx和Fy分別為承載力在x和y方向上的分量，且有：

(23)

將式(23)代入式(22)可得：

(24)

將式(13)代入式(24)并令ζ=0可得：

(25)

由上式計(jì)算可得：

(26)

將式(13)和式(21)代入式(24)，略去ζ的二階小量可得：

(27)

將式(13)代入式(27)可得：

(28)

(29)

式中，

(30)

令：

將上式及式(29)和式(30)代入式(28)可得：

(31)

將式(26)和式(31)代入式(10b)可得O，將式(13)和式(21)代入式(10a)可得油膜壓力P。

3 計(jì)算結(jié)果分析

運(yùn)用以上方法求得了Ocvirk數(shù)和油膜壓力，從而求得了油膜承載力。當(dāng)偏心率ε=0.5時(shí)，繪出了分別運(yùn)用本文方法和有限元法[18]求得的油膜承載力隨寬徑比B/d變化的曲線對(duì)比圖，如圖3所示。從圖3可以看出，當(dāng)偏心率ε=0.5時(shí)，運(yùn)用本文方法和有限元法解出的油膜承載力F隨寬徑比B/d變化的曲線比較接近，從而驗(yàn)證了本文方法求解的正確性。圖中油膜承載力的差別主要源于兩種求解方法所采用的邊界條件的不同。有限元法采用的是下游Reynolds邊界條件(即工程實(shí)際中油膜存在的破裂邊界條件)，而本文提出的方法采用的是半Sommerfeld邊界條件。如果有限元法采用半Sommerfeld邊界條件，則本文方法得到的近似解將和有限元法的結(jié)果吻合得更好。圖4為寬徑比B/d=0.25時(shí)，0階Ocvirk數(shù)O0隨偏心率ε的變化曲線圖。從圖4可以看出，在寬徑比B/d=0.25時(shí)，隨著偏心率ε的增大，0階Ocvirk數(shù)O0的值不斷減小且接近于0，圖中表明Ocvirk數(shù)的主要部分O0即0階Ocvirk數(shù)O0在偏心率ε大于0.2時(shí)的變化比較緩慢。圖5為寬徑比B/d=0.5時(shí)，Ocvirk數(shù)O隨偏心率ε的變化曲線圖。圖5示出當(dāng)B/d=0.5時(shí)，Ocvirk數(shù)O隨著偏心率ε的增大而逐漸減小。對(duì)比圖4可知：Ocvirk數(shù)與0階Ocvirk數(shù)O0相比受偏心率影響較明顯。圖6是在軸向位置λ=0處，寬徑比B/d=0.5，ε=0.1和ε=0.8時(shí)，無(wú)量綱油膜壓力P的主要部分P0即0階無(wú)量綱油膜壓力隨軸承周向坐標(biāo)φ的變化曲線圖(圖中示出了不同偏心率下的P0隨φ的變化曲線圖)。圖6表明，偏心率較大時(shí)，壓力P的主要部分P0即0階無(wú)量綱油膜壓力P0(當(dāng)B/d→0時(shí)的無(wú)量綱油膜壓力)隨φ的增大呈現(xiàn)出劇烈變化，由圖6中可以看出，在周向位置角較小時(shí)，隨著周向位置角φ的增加0階無(wú)量綱油膜壓力P0增加；當(dāng)周向位置角較大時(shí)，隨著周向位置角φ的增加，P0減小。圖7是在軸向位置λ=0處，當(dāng)寬徑比B/d=0.5和偏心率ε=0.8時(shí)，無(wú)量綱油膜壓力P隨周向坐標(biāo)φ的變化曲線圖。與圖6類似，0階無(wú)量綱油膜壓力P0和無(wú)量綱油膜壓力P隨著周向坐標(biāo)的變化先增大后減?。粚?duì)比圖6，無(wú)量綱油膜壓力P的變化趨勢(shì)與0階無(wú)量綱油膜壓力P0的變化趨勢(shì)一致。

圖3 偏心率ε=0.5時(shí)，油膜承載力F隨寬徑比B/d變化的曲線圖

圖6 寬徑比B/d=0.5，λ=0處，偏心率ε=0.1和ε=0.8時(shí)0階無(wú)量綱油膜壓力P0隨周向坐標(biāo)φ的變化曲線圖

圖7 寬徑比B/d=0.5時(shí)，λ=0處，無(wú)量綱油膜壓力P隨周向坐標(biāo)φ的變化曲線圖

4 結(jié) 論

運(yùn)用多參數(shù)原理，結(jié)合Sommerfeld和Ocvirk數(shù)，求解得到了有限長(zhǎng)紊流滑動(dòng)軸承非線性油膜承載力的近似解析解，在此基礎(chǔ)上分析了油膜壓力隨偏心率、寬徑比等參數(shù)的變化規(guī)律。本文的方法在較大的偏心率和載荷范圍內(nèi)適用，可為紊流滑動(dòng)軸承支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供理論參考。

參 考 文 獻(xiàn)

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