王 丹， 陳予恕， 曹慶杰， 熊冶平

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2.南安普頓大學(xué) 工程與環(huán)境學(xué)院, 南安普頓 SO17 1BJ英國)

葉輪機(jī)械所處的工況十分復(fù)雜，葉片和流經(jīng)的流體之間時刻進(jìn)行能量的傳輸或轉(zhuǎn)換，因此這類機(jī)械的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和工作原理決定了其內(nèi)部流動的復(fù)雜性。柔性葉片較之剛性葉片，更容易受到氣動力的作用，產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，發(fā)生共振，因而存在著巨大的安全隱患。為了提高葉片與流體進(jìn)行能量傳輸?shù)男?，同時預(yù)防葉片發(fā)生顫振，對葉片的氣動彈性問題進(jìn)行研究是非常必要的。由于葉片本身結(jié)構(gòu)的設(shè)計，實際工程應(yīng)用中多采用數(shù)值模擬如邊界元、有限元的方法研究其氣動彈性問題。Jadic等[1]利用時間推進(jìn)方法分別研究了流體-葉片在帶有連續(xù)渦和不帶有連續(xù)渦的一致均勻流作用下的耦合運(yùn)動。其研究表明，顫振的發(fā)生不會導(dǎo)致災(zāi)難性的失效問題，而是葉片會發(fā)生極限環(huán)運(yùn)動，并且其振幅很大程度上依賴于結(jié)構(gòu)的非線性因素。So等[2]利用邊界元方法研究了在兩列平行渦激作用下，NACA0012翼型的流體激振響應(yīng)問題。他們的研究結(jié)果表明，空氣動力學(xué)和結(jié)構(gòu)共振發(fā)生在相同的共振參數(shù)比c/d，而與截面的幾何形狀和作用到的葉片上的平均氣動力載荷無關(guān)。Lau等[3]利用時間推進(jìn)邊界元方法詳細(xì)的研究了兩個參數(shù)s/c(靜子的幾何設(shè)計參數(shù)，靜子葉片排葉片間距與葉片弦長之比)和c/d(歸一化頻率參數(shù)，與轉(zhuǎn)子尾流的通過頻率有關(guān))對于葉片與漩渦耦合作用的影響。

在實際的工程應(yīng)用中，對由于流固耦合作用引起的渦輪機(jī)械葉片的疲勞壽命預(yù)測是非常重要的。Sanders等[4]從理論上分析了轉(zhuǎn)子葉片在轉(zhuǎn)子-靜子耦合作用下受到的氣動力和氣動力矩。在以前的研究中,轉(zhuǎn)子尾流是作用到靜子葉片上的一個主要的外激勵源[5]。Hodson等[6-7]研究了轉(zhuǎn)子尾跡擾流的主要特點(diǎn)。Cicatell等[8-9]研究了渦輪葉片的尾跡流對靜子葉片的作用。Lau等[3]研究了一個由五個葉片組成的線性葉片排在尾流激振作用下的疲勞壽命預(yù)測。

本文的主要目的是在亞音速、低馬赫數(shù)條件下,通過定性分析方法，對受準(zhǔn)定常氣動力作用的葉片發(fā)生臨界顫振進(jìn)行預(yù)測和控制。建立了一個二自由度具有立方非線性渦輪機(jī)械葉片的截面模型，根據(jù)Lagrange原理建立了葉片發(fā)生顫振時的運(yùn)動方程；通過數(shù)值模擬研究來流速度對振幅的影響；利用平均法理論研究了葉片顫振時的非線性動力學(xué)行為；利用能量法分析了葉片在能量輸入和輸出情況下的穩(wěn)定特性。

1 建模

1.1 二自由度葉片截面模型

圖1 二自由度葉片頂端截面模型

1.2 彎扭耦合系統(tǒng)的運(yùn)動方程

由圖1利用拉格朗日定理，得到結(jié)構(gòu)振動方程，

(1)

根據(jù)Grossman’s 的準(zhǔn)定常氣動力模型,得到二自由度系統(tǒng)受到的氣動力和氣動力矩如下:

進(jìn)一步,假設(shè)振動為小角度, cosα≈1,sinα≈α

對方程組(1)進(jìn)行無量綱化,得到如下方程組:

(2a)

(2b)

無量綱參數(shù)變換為,

1.3 耦合系統(tǒng)的數(shù)值分析

圖2 無量綱來流速度對彎曲、扭轉(zhuǎn)振幅的影響(a1為彎曲振動振幅，a2為扭轉(zhuǎn)振動振幅)

圖3 當(dāng)時的時間歷程圖和相圖：彎曲振動 (a), (b)和扭轉(zhuǎn)振動(c), (d)

圖4 當(dāng)時的時間歷程圖和相圖：彎曲振動(a), (b)和扭轉(zhuǎn)振動(c), (d)

圖5 當(dāng)時的時間歷程圖和相圖：彎曲振動(a), (b)和扭轉(zhuǎn)振動(c), (d)

2 動力學(xué)分析

2.1 平均法分析

工程技術(shù)中，平均法由于很好的保持了系統(tǒng)的一階近似穩(wěn)態(tài)解，因此常被用來研究強(qiáng)迫振動系統(tǒng)、自激振動系統(tǒng)等動態(tài)特性，尤其在非線性動力學(xué)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。在氣動力和氣動力矩的作用下，葉片極易發(fā)生顫振，因為顫振是一種結(jié)構(gòu)與氣流相互耦合作用下的自激振動，所以其解具有穩(wěn)態(tài)臨界性質(zhì)。根據(jù)平均法原理,設(shè)系統(tǒng)(2)在兩個自由度上的穩(wěn)態(tài)振動形式分別為，

ξ=Acos(ωτ+φ1)
α=Bcos(ωτ+φ2)

(3)

其中A,B,φ1,φ2是關(guān)于時間τ的慢變參數(shù)。根據(jù)平均法的思想，得到A,B,φ1,φ2關(guān)于時間τ的一階導(dǎo)數(shù)分別為:

(4)

其中φ1=ωτ+φ1,φ2=ωτ+φ2以及

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

通過(9)式，得到振動頻率的表達(dá)式為:

(11)

其中，

將得到頻率表達(dá)式代到等式(10)中，得到振幅A,B與振動頻率ω的關(guān)系，如圖6、圖7所示。

根據(jù)式(11)，得到振動頻率與無量綱來流速度、頻率比之間的關(guān)系如圖8、圖9所示。

圖6 彎曲振動方向上的振幅A與振動頻率ω關(guān)系圖:參數(shù)為=0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rξ=0.5,Rα=0.5,ζξ=0.016,ζα=0.021,=0.365,B=0.2,=11

圖9 振動頻率ω與頻率比之間的關(guān)系圖，綠線為ω1，紅線為

將式(11)代到式(10)中，得到振幅A,B和系統(tǒng)參數(shù)的非線性關(guān)系圖如圖10～圖15所示。

這些關(guān)系圖定性的反映了該耦合系統(tǒng)的振動特性，通過上述圖中給出的結(jié)果，可以對其振動進(jìn)行預(yù)測與控制。

2.2 系統(tǒng)的能量傳遞分析

能量流方法近年來被廣泛用于工程中復(fù)雜結(jié)構(gòu)以及振動控制系統(tǒng)的振動分析，性能評估、振動控制以及動力學(xué)設(shè)計等[10-13]。其中，很多研究都是基于線性理論，而利用能量流方法對于非線性系統(tǒng)的研究有限。該部分根據(jù)能量流研究非線性系統(tǒng)的理論與方法[15]，通過研究系統(tǒng)在每個振動周期內(nèi)的平均能量，可以對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測，從而避免系統(tǒng)因吸收能量發(fā)生大幅顫振所對結(jié)構(gòu)造成巨大的破壞。系統(tǒng)(1)在每個振動周期內(nèi)的平均輸入能量為:

圖10 彎曲振動方向振幅A與非線性剛度系數(shù)Rξ的非線性關(guān)系,=0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rα=0.2,=0.365,ζξ=0.016,ζα=0.021,=10.4,A=0.2,B=0.5

(12)

系統(tǒng)由于阻尼作用,在每個周期內(nèi)消耗的平均能量為:

(13)

圖13 彎曲振動方向振幅B與非線性剛度系數(shù)Rα的非線性關(guān)系, =0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rξ=0.5,ζξ=0.016,ζα=0.021,=11,=0.365,A=0.2

圖16 相位差取θ(π/2,π/4,0)不同值時系統(tǒng)每個周期內(nèi)平均吸收能量Pin與無量綱來流速關(guān)系：系統(tǒng)參數(shù)分別為=0.75,μ=640,ω=0.5,A=0.5,B=0.5

系統(tǒng)每個周期內(nèi)平均耗散的能量與振動頻率ω之間的關(guān)系如圖18所示。

從圖18可以看出，當(dāng)相位差θ分別取0,π/4,π/2時，系統(tǒng)消耗能量Pd都隨著振動頻率ω的增加而增大。

3 結(jié) 論

文章針對渦輪機(jī)械葉片所處的復(fù)雜的工作環(huán)境，建立了二自由度彎扭耦合并且具有立方非線性的葉片截面模型，并對其進(jìn)行了動力學(xué)分析。在葉片顫振過程中，當(dāng)來流速度超過臨界值時，其振動幅值隨著來流速度的增加而增大。利用平均法得到了系統(tǒng)振動的幅值及其頻率之間的關(guān)系以及兩個自由度上振幅與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。通過能量法分析了系統(tǒng)在一個周期內(nèi)的穩(wěn)定性情況，從而為預(yù)測實際系統(tǒng)中葉片發(fā)生顫振提供了理論依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)

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