喬百杰， 趙 彤， 陳雪峰

(1.西安交通大學(xué) 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049; 2.清華大學(xué) 機械工程系，北京 100084)

振動系統(tǒng)能量問題包含兩類問題：能量傳遞和能量分布。能量傳遞可以用功率流表達，由功能關(guān)系可知輸入系統(tǒng)的凈功率流等于系統(tǒng)耗能(包括結(jié)構(gòu)內(nèi)部摩擦耗能和對外輻射的聲能)，可表征系統(tǒng)耗能能力；系統(tǒng)能量分布可由系統(tǒng)振動能量(時域平均動能和勢能之和)表達，可表征系統(tǒng)蓄能能力[1]。從因果系統(tǒng)輸入激勵和輸出響應(yīng)的角度來說，功率流相當(dāng)于輸入激勵，而系統(tǒng)振動能量相當(dāng)于系統(tǒng)輸出響應(yīng)，二者可由損耗因子關(guān)聯(lián)起來，因此損耗因子可以類比系統(tǒng)頻響函數(shù)，與頻響函數(shù)一樣，系統(tǒng)損耗因子是系統(tǒng)固有屬性，與外界的輸入輸出無關(guān)。

自從Goyder等[2]將功率流理論引入到振動系統(tǒng)以來，功率流就成為了振動和噪聲控制領(lǐng)域的有力工具。牛軍川等[3]通過建立子系統(tǒng)間動力學(xué)模型，將功率流理論應(yīng)用在柔性隔振系統(tǒng)中。功率流理論由于其自身的優(yōu)越性，被越來越多地應(yīng)用于工程實踐中，但實際應(yīng)用中，測量界面間的傳遞功率流遠非速度與力乘積那么簡單，功率流的測量方法是當(dāng)前的一個研究重點。如何精確地測量振源輸入基座的功率流是主動或被動隔振設(shè)計首要考慮的問題。Alberdi-Muniain等[5]在研究電磁隔振器隔振效果時，通過在隔振器兩端安裝力傳感器和加速度傳感器，得到兩端的傳遞功率流。為了測量振源傳遞到圓柱殼體的功率流，Howard等[6]利用電阻應(yīng)變片設(shè)計了六軸測力傳感器，并給出了測量角加速度的方法，實現(xiàn)了多自由度振動功率流測量。Singh等[7]在研究結(jié)構(gòu)聲傳遞路徑貢獻時，采用PCB公司生產(chǎn)的型號288D01阻抗頭傳感器測量了聯(lián)結(jié)點處的力和加速度信號，直接獲得了傳遞功率流，評價了在各個頻點不同傳遞路徑對目標(biāo)的貢獻量。在振動控制中，界面間能量的傳遞常常出現(xiàn)負功率流的現(xiàn)象[6-7]，而僅將負功率流歸結(jié)為測量精度不夠所致，尚難以令人信服。

系統(tǒng)振動能量具有表征設(shè)備對外輻射噪聲和傳遞振動的能力，在全局頻段均可作為評價系統(tǒng)隔振性能的指標(biāo)。振動能量參數(shù)相比常規(guī)的局部隔振評價指標(biāo)如力、速度或者加速度，可以從整個結(jié)構(gòu)的角度評價振動的控制效果，然而目前還沒有儀器可以直接測量得到總能量、動能和勢能。通常是盡可能多地測量多個位置的位移、速度或者加速度響應(yīng)，平均求和只能得到粗略的能量參數(shù)[9]。Bobrovnistskii等[10]針對單點激勵的多自由度振動系統(tǒng)，分別應(yīng)用驅(qū)動點阻抗和導(dǎo)納法推導(dǎo)了估計系統(tǒng)總能量、動能、勢能以及損耗因子的表達式，數(shù)值仿真結(jié)果與理論值對比表明該方法在中低頻可以有效地估計系統(tǒng)的能量參數(shù)?；隍?qū)動點阻抗和導(dǎo)納法估計系統(tǒng)能量，僅需要事先得到驅(qū)動點的阻抗或?qū)Ъ{，而測量系統(tǒng)工作狀態(tài)只需一個加速度或力傳感器。

可知，功率流和振動能量在振動和噪聲控制領(lǐng)域有著重要的地位，而將二者結(jié)合起來并建立二者間關(guān)系的研究卻較少。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 輸入功率流

功率流理論現(xiàn)已為人們所熟知，它實際上是電氣網(wǎng)絡(luò)中有功功率的概念在機械振動領(lǐng)域的延伸。功率即單位時間內(nèi)力所作的功，若f(t)為作用于結(jié)構(gòu)某點的外力，v(t)為該點對激勵力f(t)所產(chǎn)生的速度響應(yīng)，則輸入結(jié)構(gòu)的功率為P(t)=f(t)v(t)，它是時間t的函數(shù)，稱為瞬時功率流。對于振動分析來說，平均功率流在描述結(jié)構(gòu)振動特性方面更具有意義。平均功率流為瞬時功率流P(t)在一個周期T內(nèi)的時域積分。針對單點激勵，輸入系統(tǒng)的時域平均功率流為：

Pt=

(1)

(2)

其中，Sfv(ω)為驅(qū)動點力和速度的雙邊互功率譜密度，ω為圓頻率。由式(2)可知，功率流在頻域的定義與在時域的定義是統(tǒng)一的，這也是廣義帕斯瓦爾定理的必然結(jié)果。在實際應(yīng)用中，加速度比速度更加便于測量，由式(2)可得功率流關(guān)于加速度的表達式：

(3)

其中，Gfv(ω)和Gfa(ω)分別為力與速度的單邊互功率譜密度和力與加速度的單邊互功率譜密度。

對于單頻簡諧激勵而言，輸入基座的功率流可以進一步簡化為：

(4)

其中，F(xiàn)和V分別是簡諧激勵力和同頻速度響應(yīng)幅值，φ和ψ分別是簡諧激勵力和同頻速度響應(yīng)的初相位。若輸入激勵為周期激勵信號，將周期信號傅里葉級數(shù)展開，推導(dǎo)可得總功率流的表達式：

(5)

式中:下標(biāo)n為傅里葉級數(shù)展開的階次。式(5)表明周期激勵下，輸入功率流滿足疊加原理，即輸入系統(tǒng)的總功率流等于各階諧波功率流之和，且不同諧波激勵力間無能量交換。

1.2 功率流和振動能量關(guān)系

功率流表征系統(tǒng)凈損耗能量，振動總能量表征系統(tǒng)存儲能量，二者可由系統(tǒng)損耗因子關(guān)聯(lián)起來。系統(tǒng)損耗因子的概念已在統(tǒng)計能量分析、能量有限元等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，概念的提出是為了解決有限元方法在中低頻的局限性[9]。系統(tǒng)損耗因子定義為單位頻率(每振動一次)單位時間內(nèi)結(jié)構(gòu)的損耗能量與結(jié)構(gòu)中存儲的平均能量之比。

(6)

其中，ηω為系統(tǒng)損耗因子，Pin為輸入系統(tǒng)的功率流，E為系統(tǒng)振動能量。系統(tǒng)損耗因子反映了振動系統(tǒng)在不同頻點的耗能能力。如不特別說明，本文涉及的功率流均為時域平均功率流，振動能量均為時域平均能量。

在中低頻段，模態(tài)比較稀疏，模態(tài)損耗因子較為常用。在共振頻率附近，系統(tǒng)損耗因子ηω近似等于模態(tài)損耗因子ηn，其中模態(tài)損耗因子是模態(tài)阻尼比的二倍。

(7)

其中，Δω是模態(tài)頻率對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)幅值的0.707倍帶寬。式(7)為半功率帶寬計算模態(tài)損耗因子的表達式。

1.3 振動能量估計

在機械振動噪聲測試中，要求描述測試系統(tǒng)的試驗數(shù)據(jù)量最小化，一方面安裝過多的傳感器即不經(jīng)濟也會給測試系統(tǒng)帶來附加質(zhì)量，另一方面很多情況下在復(fù)雜的機械振動系統(tǒng)安裝傳感器是不方便甚至不可能的。Bobrovnitskii給出了能量參數(shù)估計的詳細推導(dǎo)過程[10]，本文僅給出最終推導(dǎo)結(jié)果。其中，總能量參數(shù)的阻抗近似表達為：

(8)

其中，v0是驅(qū)動點速度，z(ω)是振動系統(tǒng)的驅(qū)動點阻抗。對于無阻尼系統(tǒng)，式(8)是精確估計。對于輕型阻尼系統(tǒng)，上式近似相等，且阻尼越小近似估算誤差越小。該式給出了系統(tǒng)時域平均總能量在中低頻的近似表達。將式(4)和式(8)帶入式(6)，可得系統(tǒng)損耗因子的驅(qū)動點阻抗近似表達：

(9)

同理，易得振動能量和系統(tǒng)損耗因子的驅(qū)動點導(dǎo)納近似表達：

(10)

(11)

其中，f0為驅(qū)動點激勵力，y(ω)為振動系統(tǒng)的驅(qū)動點導(dǎo)納。值得注意的是，基于驅(qū)動點阻抗或者導(dǎo)納估計系統(tǒng)振動能量和系統(tǒng)損耗因子，僅需測量驅(qū)動點處的振動物理量，而無需測量整個結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。

2 試驗結(jié)果和討論

2.1 試驗臺簡介

功率流測量和振動能量估計試驗平臺如圖1所示。慣性式作動器作為激勵源而產(chǎn)生垂向激振力，阻抗頭傳感器安裝在作動器和基座之間，測量聯(lián)接處的加速度和激振力。信號發(fā)生器在10-300 Hz頻段產(chǎn)生恒定的控制電壓，經(jīng)由功率放大器驅(qū)動作動器對外輸出作動力。盡管如此作動器作為激勵源而非恒力源，輸出激勵力隨著頻率的變化而變化，這是由基座非剛性和作動器自身模態(tài)所共同決定的。激勵形式為10-300 Hz頻段的慢速穩(wěn)態(tài)正弦掃頻激勵，步長1 Hz，在每個單頻點由LMS SCADASIII數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)以2 048 Hz的采樣頻率采集8 192個數(shù)據(jù)點。

圖1 功率流測量和振動能量估計試驗臺

2.2 直接法測量功率流

直接法測量功率流可以用圖2測量功率流流程圖表示。首先由阻抗頭傳感器獲得同點同方向的力f(t)和加速度a(t)信號，其次基于傅里葉變換積分性質(zhì)將加速度信號a(t)轉(zhuǎn)換為速度信號v(t)，隨后速度信號v(t)與力信號f(t)做乘積運算，得到瞬時功率流P(t)，對此計算時域均值，最終獲得時域平均功率流Ptt。

圖2 功率流測量流程圖

2.3 功率流傳遞規(guī)律分析

分別應(yīng)用時域平均法、基波頻域法和二次諧波頻域法計算作動器輸入基座的功率流如圖3和圖4所示。時域平均法計算流程如圖2所示，該方法充分利用了所測的力和加速度的信息，而基波頻域法通過FFT變換僅僅提取力和加速度信號的基波信息，二次諧波頻域法考慮了力和加速度信號的基波和二次諧波信息。三種方法所得功率流在10-300 Hz頻段均出現(xiàn)兩個明顯的峰值，分別對應(yīng)于鉛垂方向的兩階模態(tài)頻率。在64-68 Hz頻段，三種計算方法均出現(xiàn)了負功率流(注：在功率流分布圖中，若采用對數(shù)坐標(biāo)，負功率流一般不畫出來，以區(qū)分正功率流和負功率流)，初步分析在64-68 Hz為其他自由度(如力矩激勵)作用導(dǎo)致鉛垂方向輸出負功率流，即振動能量由基座反向傳至作動器；對比圖3和圖4，可知在105 Hz、168 Hz等頻點(與模態(tài)頻率有整倍數(shù)或者分倍數(shù)關(guān)系)附近基波頻域法較時域平均法光滑，而在這些頻點時域平均法和諧波頻域法吻合度很好，可知在這些頻點諧波激勵占有重要分量?？紤]二次諧波的影響，功率流在整個頻段均與時域平均法吻合。由此可知在主動隔振控制中，當(dāng)激振頻率為各階模態(tài)頻率分倍頻時，其諧波振動需要加以控制。

圖3和圖4顯示功率流在64-68 Hz頻段為負值，而僅僅將之歸結(jié)為測量誤差是不足夠的。本文力圖從多自由度振動角度揭示負功率流成因。實際上，阻抗頭傳感器測量的力信號為鉛垂方向的激振力，而加速度信號則是多個自由度方向的激勵在鉛垂方向響應(yīng)的疊加。因此，利用阻抗頭測量得到的功率流用如下公式表示：

(12)

圖3 功率流時域均值法與基波頻域法對比

2.4 綜合功率流和振動能量

本文1.2小節(jié)給出了計算功率流的表達式，1.3小節(jié)從理論上闡述了功率流和振動能量參數(shù)間的關(guān)系，并通過系統(tǒng)損耗因子建立了二者間的關(guān)系。2.3小節(jié)從試驗的角度研究了功率流的不同計算方法?；隍?qū)動點阻抗和導(dǎo)納法的振動系統(tǒng)能量估計如圖5所示，兩種方法在所關(guān)注的10-300Hz頻段所得結(jié)果基本一致。同時，兩種估算方法互相驗證了對方計算方法的有效性。本小節(jié)重點在于驗證振動能量參數(shù)估計方法，以及功率流和振動能量參數(shù)間的關(guān)系。綜合輸入基座的功率流和基座的振動能量，結(jié)合式(6)，可得如圖6所示的隨頻率變化的系統(tǒng)損耗因子。

圖6 基于驅(qū)動點阻抗法和導(dǎo)納法系統(tǒng)損耗因子估計

圖6顯示在10-100 Hz頻段系統(tǒng)損耗因子值較高，這是由系統(tǒng)損耗因子的計算式所決定的。式(6)的分母包含變量圓頻率ω，致使在ω較小時，式(6)變得相當(dāng)?shù)拇?。盡管如此在100-300 Hz頻段，系統(tǒng)損耗因子與模態(tài)試驗所得到的模態(tài)損耗因子η=0.004一致，特別是在第二階鉛垂方向的模態(tài)頻率228 Hz附近吻合度較高。這是由于在模態(tài)頻率附近，僅當(dāng)前模態(tài)占據(jù)主導(dǎo)地位，而遠離模態(tài)頻率，系統(tǒng)損耗因子是多階模態(tài)共同作用的結(jié)果。

3 結(jié) 論

本文通過在振源與能量接受體之間插入阻抗頭傳感器，測量聯(lián)接點力和加速度信號，在10-300 Hz頻段分別運用時域平均法、基波頻域法和二次諧波頻域法計算作動器輸出或者輸入基座的功率流，并對三種計算方法進行對比，分析功率流的傳遞規(guī)律。試驗結(jié)果表明，從振動能量控制的角度而言，當(dāng)激勵頻率為系統(tǒng)模態(tài)頻率的分倍頻時，激勵頻率的諧波應(yīng)該加以控制。針對功率流測量中出現(xiàn)的負功率流現(xiàn)象，從多自由度振動的角度給出解釋。

針對多自由度連續(xù)振動系統(tǒng)，當(dāng)僅有一點受到外界激勵，系統(tǒng)的振動能量參數(shù)可通過驅(qū)動點阻抗和導(dǎo)納法估計而得。該方法測量振動能量較為經(jīng)濟，只需測量激勵點處的力或加速度，以及事先通過模態(tài)試驗獲得的驅(qū)動點頻響函數(shù)，無需在整個系統(tǒng)布置傳感器。同時，由系統(tǒng)損耗因子建立了輸入功率流和系統(tǒng)振動能量間的關(guān)系，并通過試驗在中低頻段驗證了二者間的關(guān)系。

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