龔耀清， 李燁君， 王錄民， 許啟鏗， 揣 君

(1.河南理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 焦作 454000；2.河南工業(yè)大學(xué) 土木建筑學(xué)院，鄭州 450007)

隨著工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的不斷發(fā)展，鋼筋混凝土立筒倉的應(yīng)用日趨增多，其結(jié)構(gòu)體系的力學(xué)特性與動力性能受到了諸多學(xué)者和工程技術(shù)人員的關(guān)注，有關(guān)規(guī)范[1-2]也有相應(yīng)的計算方法和規(guī)定。

然而，現(xiàn)有的分析與研究成果基本上都是針對單個立筒倉[3-9]，實際工程中的鋼筋混凝土立筒倉大多數(shù)是以立筒群倉的形式出現(xiàn)[10-12]。鋼筋混凝土立筒群倉是由單倉通過倉體連接，整體澆注而形成的一個整體，其結(jié)構(gòu)性能完全不同于單倉。因此，對鋼筋混凝土立筒群倉的動力特性進行研究有著十分重要的理論與實際意義。

鋼筋混凝土立筒群倉按群倉倉下支承結(jié)構(gòu)可分為筒承式、柱承式及筒柱承式三種，本文研究筒承式鋼筋混凝土立筒群倉的自由振動問題。全文共分以下幾個部分，首先討論筒承式鋼筋混凝土立筒群倉自由振動的分析模型，在建立計算模型時，將其簡化為由n段豎向廣義Timoshenko梁構(gòu)成的組合體；然后利用能量原理，推導(dǎo)筒承式鋼筋混凝土立筒群倉自由振動時的運動方程以及相應(yīng)的邊界條件；再利用高質(zhì)高效的常微分方程求解器[13-14]求算例運動方程的數(shù)值解，得到其自振頻率和振型，并將數(shù)值解與相應(yīng)的試驗數(shù)據(jù)[15]進行對比，以驗證數(shù)值方法的有效性和精確性；最后根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果、模型試驗結(jié)果、實際工程背景推出結(jié)論。

1 分析模型

圖1為文獻[15]中筒承式鋼筋混凝土立筒群倉結(jié)構(gòu)的抗震試驗?zāi)Ｐ??？紤]到群倉是由單倉通過倉體連接，整體澆注在剛度比較大的一個基礎(chǔ)之上的對稱結(jié)構(gòu)體系，且體系的高度與橫向跨度幾乎相等。因此，可以斷定：在這種結(jié)構(gòu)體系的位移(或運動)中，其水平方向的剪切變形和彎曲變形一樣，都是主要的變形形式，必須同時考慮。

圖1 試驗?zāi)Ｐ?/p>

為此，通過權(quán)衡整個結(jié)構(gòu)體系在其軸線x方向的剛度和質(zhì)量變化規(guī)律，將其簡化為由四段不同尺寸、不同剛度和不同質(zhì)量的豎向廣義Timoshenko梁(同時考慮彎曲和剪切變形)構(gòu)成的組合體，如圖2所示。

圖2 群倉計算模型示意圖

圖3 群倉計算模型各段橫截面示意圖

組合體的最底端(第一段)是立筒群倉底部開門的部位，第二段是立筒群倉開窗部位與其對應(yīng)的部分漏斗的組合，第三段是另一部分漏斗和與其對應(yīng)的立筒群倉組合，最頂端(第四段)是立筒群倉主體部位，各段橫截面如圖3所示。

其中:x軸為豎向廣義Timoshenko梁組合體的中性面與縱向?qū)ΨQ面的交線，y軸為中性面與橫截面(由多個單倉橫截面組成)的交線，z軸為橫截面與縱向?qū)ΨQ面的交線。

2 運動方程

選取豎向廣義Timoshenko梁組合體各段中性面的撓度Wj(x)和橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)角θj(x)為基本未知函數(shù)。

其中，j=1,2,…,n表示為群倉在x軸方向的分段數(shù)。

對于自由振動，中性面的水平運動W(x,t)和橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)動θ(x,t)可表示為：

(1)

其橫截面的軸向位移可表示為：

u(z,x,t)=-zθ(x,t)

(2)

于是，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總勢能∏、總動能T分別為：

(3)

(4)

式中：ρ為質(zhì)量密度，A為橫截面面積，E為彈性模量，G為剪切模量。

利用哈密頓原理：

(5)

可推導(dǎo)出筒承式鋼筋混凝土立筒群倉自由振動時的運動方程以及相應(yīng)的邊界條件如下：

運動方程：

(6)

群倉底部的邊界條件(x=0)：

(7)

群倉各段連接處(x=Hj,j=1,2,…,n-1)的連接條件：

(8)

群倉頂部的邊界條件(x=L)：

(9)

上述方程組構(gòu)成了常微分方程組的特征值問題，其數(shù)值解可用常微分方程求解器(ODE solver—COLSYS)[13,14]進行求解。

3 算例與計算結(jié)果分析

文獻[15]給出了筒承式鋼筋混凝土立筒群倉的試驗?zāi)Ｐ?，其平面組合為2×3的群倉，幾何尺寸和材料特性如下：群倉的總高度L為2.19 m，每個單倉的外直徑為0.778 m，倉壁厚度均為0.014 m，彈性模量7.5 GPa，剪切模量為3.0 GPa，密度2 400 kg/m3，群空倉結(jié)構(gòu)自重G1是貯料的三分之一，貯料分布在群倉的上部分(模型中第四段)。第一段的高度(H1)為0.169 m，第二段的高度(H2-H1)為0.094 m，第三段的高度(H3-H2)為0.237 m，第四段的高度(L-H3)為1.69 m。

按前述方法建模并導(dǎo)出運動方程后，可得到與式(6)～(9)相同的運動方程與相應(yīng)的邊界與連接條件(本例j取1～ 4)，并考慮到工程實際中的貯料在振動時有減震作用，取貯料的自重G2=3kG1，k是反映谷物減震效果的系數(shù)，本文取K=0.85。

利用ODE求解器編程求解方程(6)后，可得出該立筒群倉的自振頻率和振型如下：

表1 群空倉前五階的自振頻率(Hz)

圖4 群空倉前三階振型

圖5 群滿倉前三階振型

表2 群滿倉前五階的自振頻率(Hz)

4 結(jié) 論

(1) 如表1、表2所示，在空倉情況下，本文的數(shù)值解與試驗結(jié)果吻合較好，但在滿倉情況下，本文的數(shù)值解與試驗結(jié)果相比，頻率明顯減小，其原因是谷物種類之間的差別、谷物的減震作用等實際因素很難定量確定，從而導(dǎo)致數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果有偏差。

(2) 從表1、2及圖4、圖5可以看出：本文所建模型可以真實地反映該結(jié)構(gòu)體系的動力特性，由于結(jié)構(gòu)體系縱向與橫向的尺寸屬于同一量級，所以其剪切振動與彎曲振動一樣，都起主導(dǎo)作用，各階振動均為彎、剪耦合振動，各階振型均為彎曲和剪切的耦合振型。

參 考 文 獻

[1]構(gòu)筑物抗震設(shè)計規(guī)范 GB 50191-2012 [S]. 北京：中國計劃出版社，2012.

[2]鋼筋混凝土筒倉設(shè)計規(guī)范 GB 50077-2003[S]. 北京：中國計劃出版社，2003.

[3]Dooms D, Degrande G, De Roeck G, et al. Finite element modelling of a silo based on experimental modal analysis [J]. Engineering Structures, 2006, 28(4): 532-542.

[4]Leszczynski J S, Blaszczyk T. Modeling the transition between stable and unstable operation while emptying a silo [J]. Granular Matter, 2011, 13(4): 429-438.

[5]趙衍剛，江近仁. 筒倉結(jié)構(gòu)的自振特性與地震反應(yīng)分析[J]. 地震工程與工程振動，1989，9(3)：55-64.

ZHAO Yan-gang, JIANG Jin-ren. Vibration properties and earthquake responses of silo structures [J]. Journal of Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 1989, 9(3): 55-64.

[6]劉增榮，黃義，邵江. 貯倉結(jié)構(gòu)參數(shù)的頻域識別[J]. 振動與沖擊，2001，20(1)：79-81.

LIU Zeng-rong, HUANG Yi, SHAO Jiang. Frequency domain identification of storehouse structure parameters [J]. Journal of Vibration and Shock, 2001, 20(1): 79-81.

[7]孫芳，王命平，耿樹江，等. 柱承式筒倉的地震反應(yīng)分析[J]. 特種結(jié)構(gòu)，2005，22(4)：4-9.

SUN Fang, WANG Ming-ping, GENG Shu-jiang, et al. The seismic response analysis of column-supported silos [J]. Special Structure, 2005, 22(4): 4-9.

[8]王命平，孫芳，劉偉，等. 筒倉與地基相互作用對支承柱端彎矩的影響[J]. 世界地震工程，2008，24(2)：127-130.

WANG Ming-ping, SUN Fang, LIU Wei, et al. The effect of the silo-foundation interaction on the moment of supporting columns [J]. World Earthquake Engineering, 2008, 24(2): 127-130.

[9]蔣華，謝海艦，張薇. 某筒-柱支承式鋼筋混凝土圓形筒倉結(jié)構(gòu)動力特性研究[J]. 西華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012,31(1)：102-105.

JIANG Hua, Xie Hai-jian, ZHANG Wei, Analysis of dynamic characteristics for cylinder reinforced concrete silo supported by columns-cylinder [J]. Journal of Xihua University (Natural Science), 2012,31(1)：102-105.

[10]Lapko A, Prusiel J A. Structural analysis of RC circular grouped silos under patch actions [J]. Granular Matter, 2004, 6(2-3): 185-190.

[11]王命平，孫芳，高立堂，等. 筒承式群倉的地震作用分析及試驗研究[J]. 工業(yè)建筑，2005，35(10)：29-32.

WANG Ming-ping, Sun Fang, Gao Li-tang, et al. Study of earthquake action and tests of multi-silo supported by cylinder [J]. Industrial Construction, 2005, 35(10): 29-32.

[12]王錄民，張華，盧文勝，等. 柱承式群倉結(jié)構(gòu)模型模擬地震振動臺試驗研究[J]. 建筑結(jié)構(gòu)，2010，40(10)：41-43.

WANG Lu-min, ZHANG Hua, LU Wen-sheng, et al. Study of shaking table tests on the model of group silos structures [J]. Building Structure, 2010, 40(10): 41-43.

[13]YUAN Si. ODE conversion techniques and their applications in computational mechanics[J]. Acta Mechanica Sinica, 1991, 7(3):283-288.

[14]葉康生，袁駟. 常微分方程特征值問題求解器解法的改進[J]. 工程力學(xué)，2004，21(3)：33-35.

YE Kang-sheng, YUAN Si. The improvement of ODE solver method in the analysis of ODE eigenvalue problem[J]. Engineering Mechanics, 2004, 21(3):33-35.

[15]張逯見. 筒承式立筒群倉結(jié)構(gòu)模型模擬地震振動臺試驗研究[D]. 鄭州：河南工業(yè)大學(xué)，2010.