胡文韜，夏唐代，陳煒昀，黃 睿

(1.浙江大學 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室,杭州 310058；2.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心,杭州 310058)

土體材料作為一種孔隙介質(zhì),在初始應力的作用下的動力響應問題是一個復雜的增量動力學問題,國內(nèi)外學者在這方面鮮有研究。與無初始應力條件下相比,初始應力會引起各向異性,這種性質(zhì)是聲彈性理論的基礎(chǔ)[1-4]。

前人對孔隙介質(zhì)中的初始應力影響的研究大多是基于Biot[5]推導的的初始應力條件下的孔隙彈性介質(zhì)動力固結(jié)理論展開進行。Sinha等[6]應用攝動方法[7],考慮了隧洞中的承壓流體產(chǎn)生的非均勻初始應力場對孔隙介質(zhì)中的Stoneley波速和振動模態(tài)的影響。Shapiro等[8]進一步研究了巖體中的彈性模量,各向異性以及孔隙率與圍壓和隧洞壓力的相關(guān)性。然而目前為止,對于孔隙介質(zhì)的動力響應問題卻鮮有研究。

更多的研究集中在樁基打入過程引起的土體的擾動對土體的阻抗所產(chǎn)生的影響。Doston等[9]在的平面應變模型[10]基礎(chǔ)上,假設內(nèi)部擾動土體的剪切模量呈指數(shù)變化,得到了徑向非均勻土體的縱向和扭轉(zhuǎn)解析解；Han等[11]假定內(nèi)部擾動區(qū)域的剪切模量變化呈拋物線變化,得到了土體的縱向、扭轉(zhuǎn)和徑向的阻抗的級數(shù)形式的解析解。Yang等[12]用彈簧模型來代替樁土底面的彈性模量,建立了三維軸對稱連續(xù)模型,并考慮了成樁效應對樁頂阻抗的影響。在國內(nèi)的研究中,吳文兵等[13]采用平面應變模型,將樁土系統(tǒng)沿縱向分層,討論了任意層地基中的楔形樁的縱向振動問題。然而這些擾動模型僅考慮土體的力學參數(shù)在徑向上是變化的,而假定土體的物理參數(shù)不變,且所采用的描述土體內(nèi)部區(qū)域性質(zhì)變化的函數(shù)不能反映擠密效應對外部區(qū)域土體的變形模量以及影響半徑均有影響的事實。飽和土體在擠密過程中會發(fā)生孔隙水排出現(xiàn)象,導致土體總密度和孔隙率發(fā)生變化,采用現(xiàn)有的平面應變理論不能反映這種變化的機理。

綜上所述,本文首先推導了增量本構(gòu)方程,并由此建立了增量動力模型。采用張智卿等[14]的離散方法將徑向非均勻土體離散分割,并研究了初始隧洞壓力對縱向阻抗的影響規(guī)律。通過對比前人的解答,本文的解答的準確性得以驗證。

1 隧洞應力作用下的土體數(shù)學模型

1.1 增量本構(gòu)關(guān)系的推導

假設飽和土介質(zhì)中存在一個壓力隧洞,隧洞半徑為rb,初始隧洞壓力為P0,由Timoshenko等[15]得到的壓力隧洞應力分布函數(shù)在r>rb的范圍有如下形式：

(1)

(2)

其中：α=P0/G0為初始隧洞壓力比。由此得到初始主拉伸的表達式：

(3)

(4)

由此可知在初始變形條件下,土體的體積壓縮,且壓縮程度隨著徑向半徑的增大而減小。令初始狀態(tài)下的孔隙率為n0,初始的土單元體積為

V0=Vs/(1-n0)

(5)

式中：Vs為單元體中的土顆粒的體積。假設在壓縮過程中單元體的土顆粒的體積不變,孔隙水逐漸排出使孔隙體積減小,在初始總應力作用下的土單元體體積變?yōu)?/p>

(6)

式中：n為變形后的土體孔隙率。聯(lián)立式(5)、(6)可推導得到變形后的土體的孔隙率為

(7)

下面討論基于初始狀態(tài)下的增量變形,擾動產(chǎn)生的增量Lagrange應力的表達式為

σij=λ0ηmmδij+G0(ηij+ηji)

(8)

式中：λ0=2G0υ/(1-2υ)為Lame第一常數(shù)；υ為泊松比；ηij為增量變形梯度張量；G0為自然剪切模量?；诔跏甲冃螤顟B(tài)的增量Kirchhoff應力可表示為：

(9)

在平面應變的假設條件下,土體受軸向擾動產(chǎn)生的軸向增量位移可以表示為w=w(r,t),此時增量縱向剪切Kirchhoff應力為

(10)

由表達式 ( 10 )可知在徑向初始應力作用下,土體的等效剪切模量可表示為

(11)

Ge的變化曲線如圖1所示,此時土體發(fā)生應力軟化的現(xiàn)象,且軟化體征函數(shù)f(r)是半徑的二次遞減函數(shù),注意到土體在縱向上的初始剪切模量未發(fā)生變化,因此在初始徑向應力作用下土體表現(xiàn)出沿徑向非均勻的各向異性的性質(zhì)。

圖1 初始隧洞壓力作用下的等效剪切模量值Ge

1.2 初始應力場作用下的增量動力方程及解答

假定所討論的土體在初始狀態(tài)下為均勻各向同性的孔隙彈性體,根據(jù)Biot[5]提出的初始應力作用條件下的孔隙介質(zhì)固結(jié)理論,并忽略由于初始應力引起的體力的變化,并假設流體的滲透性符合Darcy定理,基于初始應力場的土體豎向簡諧振動的動力方程為

(12)

其中:

ρ=λρρf=[(1-n)ds+n]ρf

(13)

圖2 初始應力條件下多圈土體模型示意圖

注意到等效剪切模量Ge為半徑r的函數(shù),因此式(13)為非齊次方程,方程的解答不能簡單得到。本文根據(jù)王奎華等[16]提出的方法,假設土體在一定影響半徑re范圍外的土體參數(shù)是均勻常數(shù),影響半徑內(nèi)沿徑向分為m′層土環(huán)(如圖 2所示),影響半徑外土體做為第m′+1層每層土環(huán)的厚度為dm=(re-rb)/m′,范圍為rm(=rb+(m-1)dm)～rm+1(=rb+mdm),每個同心圓環(huán)內(nèi)的土體的孔隙率,剪切模量和密度可認為是常數(shù),分別表示為nm,Gm和ρm,其數(shù)值等同于在r=rm處的相應數(shù)值。假設第m層土與第m+1層土在r=rm+1處完全接觸,此時土環(huán)需滿足的接觸條件為

(14)

(15)

其中:

對于第m層同心圓土環(huán)(m=1,2,…,m′,m′+1),式(15)的通解可表示為

Wm(r)=AmK0(qmr)+BmI0(qmr)

(16)

式中：I0(qmr),K0(qmr)分別為零階第一類、第二類修正Bessel函數(shù)；Am,Bm為待定常數(shù)。由式(10)可得各層的剪切應力的幅值的表達式為

Srz,m=-Gmqm[AmK1(qmr)-BmI1(qmr)]

(17)

式中：I1(qmr),K1(qmr)分別為一階第一類、第二類修正Bessel函數(shù)。將式( 14)定義的第m′+1層在r→∞的邊界條件代入式(16)可得:

Bm′+1=0

(18)

需要特別指出的是,本文的方法與王奎華等[16]的研究相比,不僅軟化體征函數(shù)的表達式不同,影響半徑內(nèi)的土體的孔隙率在初始應力場的作用下沿徑向呈不均勻性,而且影響半徑外的土體參數(shù)與P0和re的取值相關(guān),且影響由式(11)可知對于特定的影響半徑,初始隧洞壓力越大,則影響半徑以外的土體剪切模量越小,因此本文所表述的影響半徑特指土體受隧洞壓力影響相對較大的半徑范圍。

2 非均勻土體的縱向阻抗

引入式(14)給出的完全接觸條件下的界面連續(xù)條件,得到：

AmK0(qmrm)+BmI0(qmrm)=

Am-1K0(qm-1rm)+Bm-1I0(qm-1rm)

(19)

Gmqm[AmK1(qmrm)-BmI1(qmrm)]=

Gm-1qm-1[Am-1K1(qm-1rm)-BmI1(qm-1rm)]

(20)

將式 (19)、(20)相除,令Λm=Am/Bm,可得到遞推關(guān)系式

(21)

其中：

Ls,m=

由式(16)、(17),任意第m層(m≤m′)內(nèi)邊界處第m層土體對第m-1層土體的剪切剛度為

(22)

為方便討論,式(22)可以進一步表示成：

Kw,m=2πG0(Sw1+iSw2)

(23)

式中：Sw1,Sw2分別為土體縱向阻抗的剛度和阻尼部分,由于參數(shù)中虛部存在于qm中,且式(22)中含有Bessel函數(shù),因此Kw,m的實部和虛部非顯式形式，Sw1和Sw2的表達式不能給出,只能以數(shù)值輸出。對于隧洞初始隧洞壓力為零的條件,土介質(zhì)可看做各向同性的均質(zhì)飽和孔隙結(jié)構(gòu),取α=0,m′=1此時界面處的縱向剪切剛度可表示為

(24)

3 參數(shù)分析及討論

由圖1可以看到,初始壓力對影響半徑的取值影響較大,為保證解答的精確性,初始壓力越大,則影響半徑的取值也應該越大。此外,由張智卿等[14]的研究表明徑向土圈數(shù)的劃分對解答有著很大影響,如果徑向圈數(shù)劃分過少,則各圈的相鄰土體的剪切模量和孔隙率不連續(xù),引起波在土層界面上的反射,使計算結(jié)果不穩(wěn)定。因此在不影響解的精確性的前提下,宜選擇盡量小的m′值以縮短運算時間,提高效率。徑向圈劃分的圈數(shù)取值對解的可靠性的影響如圖3～圖5所示,初始隧洞壓力比取為α=0.6。從圖中可以看出,隨著影響半徑取值的增大,土體徑向的分層數(shù)對結(jié)果的影響也隨之增加。例如當re=1.5 m(即3倍隧洞半徑,如圖3)時,對于所討論的頻率段,m′=20對應的土體縱向阻抗曲線與更多分層數(shù)的結(jié)果基本吻合,而當re=3 m、6 m(對應于6倍和12倍隧洞半徑,如圖 4、圖 5所示)時,則精確的解答需至少分別滿足m′=50、100。此外對比圖3～圖5的結(jié)果可以看到,影響半徑的取值對穩(wěn)定解的影響不大,各阻抗曲線十分接近。從圖1可以看到當G0=1.94 MPa時,剪切模量在3 m處的數(shù)值隨著初始隧洞壓力的變化幅度與隧洞半徑rb處的數(shù)值相比已經(jīng)非常小,對于本文所得結(jié)果,可認為承壓隧洞的初始隧洞壓力的影響半徑約為隧洞半徑的6倍。

圖3 徑向土圈劃分數(shù)m′對精度的影響(re=1.5 m)

圖4 徑向土圈劃分數(shù)m′對精度的影響(re=3 m)

圖5 徑向土圈劃分數(shù)m′對精度的影響(re=6 m)

圖6給出了初始隧洞壓力比α對縱向阻抗的影響,其他計算參數(shù)取為：re=6 m,m′=200。從圖中可以看到,隨著初始隧洞壓力的增大,土體的縱向剛度與阻尼均減小,且這種趨勢隨著頻率的增大而增大。由式(11)可知剪切模量隨初始隧洞壓力的增大而減小,此變化規(guī)律基本符合張智卿等[14]所得結(jié)果。然而需要注意的是,本文所討論的影響半徑范圍內(nèi)的與初始應變相關(guān)的土體物理參數(shù),如密度、孔隙率等,沿徑向均為非均勻參數(shù),這是與前人的研究相比最大的不同點。

為驗證本文所得結(jié)果的正確性,采用Han等[11]所得的當粘度為零時的內(nèi)部區(qū)域土體性質(zhì)變化函數(shù),即

(25)

其中：

圖6 初始隧洞壓力比α對土體縱向阻抗的影響

圖7 本文解與現(xiàn)有其他解[11]的對比

取影響半徑內(nèi)土體的物理參數(shù)為初始值,僅考慮剪切模量徑向上的變化,選取計算參數(shù)為：α=0.6,re=3 m,m′=200。計算結(jié)果的對比如圖 7所示。從圖中可以看到,本文通過增量理論推導得出的土體阻抗與采用Han等[11]的理論所得結(jié)果基本吻合,由此驗證了本文所采用的分析方法的正確性。與前人結(jié)果相比其差異主要是考慮了初始應力場作下土體的物理參數(shù)變化。

4 結(jié) 論

本文通過分層離散的方法研究了壓力隧洞中的初始隧洞壓力引起的初始應力場對土體阻抗的影響。在一定頻率范圍內(nèi)得到了以下結(jié)論：

(1)由于初始應力的存在,土體表現(xiàn)出各向異性的特征。

(2)初始隧洞壓力引起的初始應力場將導致土體剪切模量的減小,且土體在孔界面處的剛度和阻尼部分隨著初始隧洞壓力的增大而減小。

(3)在合適的影響半徑范圍內(nèi)可得到收斂解答,當初始隧洞壓力的影響半徑取6倍的孔徑時解答較為收斂。

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