胡家光， 徐 文， 邱學(xué)云

(1.文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000； 2.云南大學(xué) 物理科學(xué)技術(shù)學(xué)院，昆明 650091)

周期性功能材料作為感興趣的研究對(duì)象， 由半導(dǎo)體材料器件到光子晶體均已取得巨大成就。近年來又提出聲子晶體概念。與光子晶體結(jié)構(gòu)類似，聲子晶體為由不同彈性材料周期性排列而成的復(fù)合功能材料，理論、實(shí)驗(yàn)均證明，在適當(dāng)條件下，彈性波在聲子晶體中傳播時(shí)會(huì)產(chǎn)生與光子晶體相似的禁帶[1-3]。聲子晶體中存在缺陷時(shí)帶隙內(nèi)產(chǎn)生局域模，帶隙內(nèi)彈性波只能被局限在缺陷處或沿缺陷傳播[4]。聲子晶體禁帶特性及局域模使其在減振降噪及聲學(xué)功能器件領(lǐng)域應(yīng)用前景廣闊[5]。與光子晶體不同，電磁波只有橫波，而彈性波在不同介質(zhì)中傳播時(shí)偏振狀態(tài)會(huì)不同，在流體中傳播時(shí)只有縱波，而在固體中傳播時(shí)有橫波亦有縱波，亦可能存在縱波與橫波耦合，故聲子晶體帶隙的獲取及計(jì)算更復(fù)雜，尤其超低頻帶隙的獲取更具挑戰(zhàn)性。

在聲子晶體研究中，一維聲子晶體因其制作簡單，體積小，帶隙易控制備受關(guān)注[6-7]。一般情況下聲子晶體帶隙越寬，應(yīng)用價(jià)值越高。為獲得更理想帶隙特性，在簡單晶格基礎(chǔ)上，將Fibonacci、Thue-Morse、功能梯度及無序等結(jié)構(gòu)引入一維聲子晶體中[8-12]。而該新型結(jié)構(gòu)拓寬聲子晶體帶隙效果并不顯明，且局域模調(diào)控性亦不理想。因此，探索拓寬一維聲子晶體帶隙方法及研究調(diào)控局域模手段尤其重要。本文進(jìn)行過大量探索研究，發(fā)現(xiàn)可大幅拓寬一維聲子晶體帶隙的周期嵌套結(jié)構(gòu)，并借助摻雜作用，可較好實(shí)現(xiàn)局域模的調(diào)控，并對(duì)其中機(jī)理進(jìn)行詳細(xì)闡述。

1 模型及計(jì)算方法

設(shè)計(jì)多種類型一維周期嵌套結(jié)構(gòu)，最佳組合形式見圖1，結(jié)構(gòu)共j層。將一個(gè)周期稱復(fù)周期，由A、B、C、D四部分組成，晶格常數(shù)為a。圖1中黑色部分A及C表示同一種材料，灰色部分B及D表示另一種材料，四部分厚度分別為d1、d2、d3、d4，整結(jié)構(gòu)由N個(gè)復(fù)周期排列而成，入射、出射端材料相同用E表示。若d1=d3及d2=d4，則變?yōu)榫Ц癯?shù)為a/2的簡單晶格結(jié)構(gòu)。研究重點(diǎn)為d1≠d3及d2≠d4情形，該聲子晶體也可視為由周期單元A+B及C+D的兩套聲子晶體嵌套而成，在此結(jié)構(gòu)中已發(fā)現(xiàn)非常有價(jià)值結(jié)果。為便于計(jì)算，令L1=d1+d2、L2=d3+d4、T1=d1/d2、T2=d3/d4、T3=L2/L1。

圖1 一維復(fù)周期聲子晶體結(jié)構(gòu)模型

為準(zhǔn)確研究此類結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙特性，本文用傳遞矩陣法計(jì)算[13-14]，研究縱波及橫波垂直入射時(shí)的透射率。在此條件下，不存在橫波與縱波的轉(zhuǎn)型問題。據(jù)縱波及橫波在晶體中傳播時(shí)邊界條件，可得縱橫波位移波矢在兩種介質(zhì)界面處共同的傳遞矩陣Mpq=M-1PM-1q。其中Mp及Mq為相鄰第p、第q層介質(zhì)系數(shù)矩陣，可統(tǒng)一下標(biāo)p定義為：

(1)

式中：kL=ω/cL；kT=ω/cT；cL，cT分別為縱波波速及橫波波速；ω為圓頻率；λ，μ為拉密常數(shù)。彈性波經(jīng)厚度dp的介質(zhì)p時(shí)傳遞矩陣為：

(2)

彈性波通過整個(gè)聲子晶體時(shí)，總傳遞矩陣為：

W=M01N1M12N2…Mj0

(3)

由此可得縱波透射率TL及橫波透射率TT為：

(4)

選常用材料鋼與環(huán)氧樹脂構(gòu)成聲子晶體,入射及出射端材料選有機(jī)玻璃,材料參數(shù)見表1,復(fù)周期數(shù)為10,缺陷層材料鉛后續(xù)。

表1 材料物理參數(shù)

2 結(jié)果與討論

計(jì)算復(fù)周期結(jié)構(gòu)與簡單晶格結(jié)構(gòu)帶隙差異，選復(fù)周期結(jié)構(gòu)參數(shù)a=3 cm，T1=T2=1，T3=2。為使比較具合理性，簡單晶格結(jié)構(gòu)由相同材料鋼及環(huán)氧樹脂組成，厚度比取1，晶格常數(shù)a取3 cm。結(jié)果見圖2，縱坐標(biāo)為波透射率，相鄰?fù)干渥V線間空白區(qū)域?yàn)閹?；橫坐標(biāo)為波頻率f。為能更全面反映帶隙情況，頻率f取值范圍較寬。

圖2 透射率譜圖(a=3 cm, T1= T2=1, T3=2)

對(duì)比圖2(a)、圖2(c)看出，簡單晶格透射譜線較密集，帶隙寬度較小，從左至右，前6個(gè)帶隙寬度近似相等，約25 kHz。而復(fù)周期結(jié)構(gòu)透射譜線較稀疏，故帶隙被極大拓寬，第二、三帶隙寬度達(dá)80 kHz，為簡單晶格結(jié)構(gòu)的3.2倍，稱為巨帶隙，在更高頻率區(qū)亦有類似現(xiàn)象。其機(jī)理可解釋為，相比簡單周期，波在一個(gè)復(fù)周期內(nèi)傳播時(shí)受到更復(fù)雜周期內(nèi)部調(diào)制，該調(diào)制在多層復(fù)周期結(jié)構(gòu)中均有作用，但否能產(chǎn)生寬帶隙，與材料彈性常數(shù)、層數(shù)及各層厚度密切相關(guān)，見式(2)、式(3)。而用復(fù)周期結(jié)構(gòu)，調(diào)整適當(dāng)參數(shù)，確可獲得較簡單周期寬數(shù)倍的巨帶隙，此為聲子晶體應(yīng)用提供了新設(shè)計(jì)思路。此外，該結(jié)構(gòu)可視為由兩套晶格常數(shù)不同的簡單晶格聲子晶體嵌套而成，晶格常數(shù)不同的聲子晶體帶隙結(jié)構(gòu)差異較大，在某些參數(shù)下，不同晶格引起的布拉格反射效應(yīng)發(fā)生作用會(huì)增大帶隙。該嵌套疊加結(jié)構(gòu)與將多組聲子晶體按順序復(fù)合效果[15]不同，按順序復(fù)合時(shí)波總的傳遞矩陣可視為各組聲子晶體傳遞矩陣順序疊加。而本文結(jié)構(gòu)中波總的傳遞矩陣可視為兩套聲子晶體各層傳遞矩陣元的嵌套疊加，數(shù)學(xué)上獲得兩種不同的傳遞矩陣值，導(dǎo)致不同帶隙結(jié)構(gòu)。對(duì)比圖2(b)、圖2(d)，復(fù)周期結(jié)構(gòu)中橫波帶隙遠(yuǎn)寬于簡單晶格結(jié)構(gòu)橫波帶隙，但橫波帶隙較結(jié)構(gòu)中縱波帶隙小很多，主要因?yàn)闄M波波長較短，滿足布拉格帶隙彈性波頻率下降所致。 除帶隙變寬外，圖2(c)、圖2(d)中亦出現(xiàn)類似缺陷體的局域模，圖2(c)中僅在第一帶隙內(nèi)出現(xiàn)兩個(gè)局域模。將其放大發(fā)現(xiàn)，局域模①較寬，頻率范圍10.5～14.3 kHz，呈類周期振蕩形態(tài)，其透射率峰值為1，表明該頻率范圍內(nèi)波較容沿此局域模透過整個(gè)聲子晶體。而局域模②較陡峭，透射率峰值為0.98。圖2(d)中，除①、②兩局域模與圖2(c)類似外，在第二、五、七個(gè)帶隙內(nèi)均出現(xiàn)局域模，但③、⑤兩模的透射峰極小，意義不大。復(fù)周期結(jié)構(gòu)出現(xiàn)局域模原因可解釋為兩套周期間互為準(zhǔn)缺陷，將此種作用稱準(zhǔn)缺陷耦合。準(zhǔn)缺陷耦合不但產(chǎn)生傳統(tǒng)缺陷的局域模，亦放大(在某些參數(shù)條件下也可能縮小)縱波及橫波中局域模①的范圍，且可獲得較高透射率。

晶格常數(shù)a及T1，T2，T3與帶隙關(guān)系見表2。巨帶隙易出現(xiàn)在T1>1時(shí)，T2及T3主要影響缺陷模的位置與數(shù)量，而a對(duì)帶隙寬度、位置及局域模均有影響。圖3為T1>1時(shí)，T2=0.5<1及T2=2>1兩種情況縱波透射率譜圖。與圖2(c)對(duì)比，圖3(a)、圖3(b)中縱波帶隙范圍進(jìn)一步拓寬，但T2<1時(shí)，第一帶隙內(nèi)局域模數(shù)量增加；T2>1時(shí)，第一帶隙內(nèi)除局域模①外，其余局域模消失，轉(zhuǎn)而出現(xiàn)在第二帶隙內(nèi)。橫波變化亦相似。由此可見，復(fù)周期結(jié)構(gòu)可提供更多可調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)，更易實(shí)現(xiàn)對(duì)帶隙及局域模調(diào)控。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙影響

局域模始終伴隨各結(jié)構(gòu)參數(shù)變化出現(xiàn)，為聲子晶體在波導(dǎo)領(lǐng)域的應(yīng)用提供了可能。但局域模也會(huì)對(duì)聲子晶體濾波效應(yīng)產(chǎn)生干擾，尤其低頻區(qū)局域模①因其寬度較大，且始終存在，會(huì)嚴(yán)重影響聲子晶體低頻濾波效應(yīng)，若能針對(duì)性控制局域模，會(huì)更有利于聲子晶體在器件中應(yīng)用。因此本文探討多種方法調(diào)控局域模，發(fā)現(xiàn)在復(fù)周期間插入另一缺陷層方法最有效，缺陷層位置及厚度對(duì)局域模會(huì)產(chǎn)生極大影響。選擇高密度鉛材料為缺陷層，物理參數(shù)見表1，缺陷層位于第一～第九個(gè)復(fù)周期后某位置。局域模①透射率極值與缺陷層位置及厚度關(guān)系見圖4，橫坐標(biāo)為缺陷層厚度D與d1的比值，d1及其它結(jié)構(gòu)參數(shù)值同圖2。很明顯，縱波與橫波局域模①的透射率極值均隨缺陷層厚度的增加而減小，尤其缺陷層位于1、3、7、9復(fù)周期后時(shí)，透射率極值遠(yuǎn)小于其它位置。D/d1=3時(shí)，在四位置上縱波與橫波局域模①的透射率極值約0.02，基本可忽略局域模①的影響，對(duì)擴(kuò)大聲子晶體在低頻范圍內(nèi)的應(yīng)用具有重要意義。

在第一復(fù)周期后插入缺陷層時(shí)縱波及橫波第一帶隙譜見圖5，D/d1=3，與圖2(c)、圖2(d)相比，缺陷層引入最明顯為基本消除了縱波及橫波中局域模①、②，帶隙變寬及更連續(xù)。第一帶通區(qū)隨頻率的增大，透射率振蕩呈較大衰減，第二帶通區(qū)透射峰值有一定程度下降，橫波變化較縱波更顯著。更高頻率局域模及帶通區(qū)變化亦相似。研究結(jié)果表明，通過改變?nèi)毕輰游恢眉昂穸瓤捎行Э刂凭钟蚰５漠a(chǎn)生及消失。其機(jī)理可從兩方面解釋，由數(shù)學(xué)角度，引入缺陷層可通過缺陷矩陣實(shí)現(xiàn)，缺陷層位置或厚度不同時(shí)，缺陷矩陣在總傳遞矩陣中位置或數(shù)值亦不同。由于矩陣運(yùn)算不滿足交換律，故所得結(jié)果不同。由物理角度分析，缺陷層的引入會(huì)產(chǎn)生自己局域模，新局域模與原準(zhǔn)缺陷耦合產(chǎn)生的局域模相互作用降低(在某些參數(shù)條件下可能增強(qiáng))某些局域模透射率，將此作用稱缺陷共振，缺陷共振的強(qiáng)弱與新局域模位置及強(qiáng)度密切相關(guān)，而新局域模主要由缺陷層厚度及位置決定，故得出上述結(jié)果。

圖3 縱波透射率譜圖(a=3 cm, T3=T1=2)

3 結(jié) 論

(1) 本文通過將周期嵌套結(jié)構(gòu)引入一維聲子晶體中,推導(dǎo)出該結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣、計(jì)算其帶隙特性,獲得透射率譜圖。

(2) 通過內(nèi)周期對(duì)波的調(diào)制作用,獲得較傳統(tǒng)簡單晶格結(jié)構(gòu)寬數(shù)倍的巨帶隙,且同時(shí)存在于縱波及橫波中。帶隙中橫波局域模多于縱波局域模。巨帶隙易在T1>1時(shí)出現(xiàn),而T2、T3主要影響缺陷模位置及數(shù)量, 而a對(duì)帶隙寬度、位置及局域模均有影響。

(3) 通過在復(fù)周期間摻入缺陷層鉛,發(fā)現(xiàn)縱波與橫波局域模透射率極值均隨缺陷層厚度的增加而減小，并提出缺陷共振機(jī)理,將有助于增強(qiáng)聲子晶體低頻濾波效應(yīng)。

(4) 本文一維周期嵌套結(jié)構(gòu)無論在寬帶隙獲取,或局域模及調(diào)控性均優(yōu)于已有研究結(jié)論。此類聲子晶體應(yīng)用前景會(huì)更好。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Lu M H, Liang F, Chen Y F. Phononic crystals and acoustic metamaterials[J]. Materials Today, 2009, 12(12): 34-42.

[2]Merkel A, Tournat V, Gusev V. Experimental evidence of rotational elastic waves in granular phononic crystals[J]. Physical Review Letters, 2011, 107(22):225502-1-225502-5.

[3]Wang Y F, Wang Y S, Su X X. Large bandgaps of two-dimensional phononic crystals with cross-like holes [J]. Journal of Applied Physics, 2011, 110(11): 113520-1-113520-13.

[4]Su X X, Wang Y F, Wang Y S. Effects of Poisson's ratio on the band gaps and defect states in two-dimensional vacuum/solid porous phononic crystals [J]. Ultrasonics, 2012, 52(2): 255-265.

[5]Pennec Y, Vasseur J O, Djafari-Rouhani B, et al. Two-dimensionalphononic crystals:examples and applications[J]. Surface Science Reports, 2010, 65(8): 229-291.

[6]舒海生, 劉少剛, 王威遠(yuǎn), 等. 集中質(zhì)量邊界條件下聲子晶體桿的縱向振動(dòng)傳遞特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(19): 113-117.

SHU Hai-sheng, LIU Shao-gang, WANG Wei-yuan, et al. Transmission characteristics of longitudinal vibration of a phononic crystal rod with concentrated mass boundary condition [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(19): 113-117.

[7]遲乾坤, 溫激鴻, 郁殿龍. 彈性地基上具有軸向載荷的充液周期管彎曲振動(dòng)帶隙研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(18): 128-131.

CHI Qian-kun, WEN Ji-hong, YU Dian-long. Band gap of flexural vibration of a periodic pipe conveying fluid with axial forces on an elastic foundation [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(18): 128-131.

[8]曹永軍, 董純紅, 周培勤. 一維準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)聲子晶體透射性質(zhì)的研究[J]. 物理學(xué)報(bào), 2006, 55(12): 6470-6475.

CAO Yong-jun,DONG Chun-hong,ZHOU Pei-qin. Transmission properties of one-di-mensional qusi-periodical phononic crystal[J]. Acta Physica Sinica,2006,55(12):6470-6475.

[9]楊立峰, 王亞非, 周 鷹. 一維壓電Fibonacci類準(zhǔn)周期聲子晶體傳輸特性[J]. 物理學(xué)報(bào), 2012, 61(10): 107702-1-107702-6.

YANG Li-feng, WANG Ya-fei, ZHOU Ying. The transmission properties in one-dimensional piezoelectric fibonacci-class quasi-periodical phononic crystals [J]. Acta Physica Sinic, 2012, 61(10): 107702-1-107702-6.

[10]曹永軍, 楊 旭, 姜自磊. 彈性波通過一維復(fù)合材料系統(tǒng)的透射性質(zhì)[J]. 物理學(xué)報(bào), 2009, 58(11): 7735-7740.

CAO Yong-jun, YANG Xu, JIANG Zi-lei. Transmission property of elastic wave through one-dimensional compound materials [J]. Acta Physica Sinica, 2009, 58(11): 7735-7740.

[11]Wu M L, Wu L Y, Yang W P, et al. Elastic wave band gaps of one-dimensional phononic crystals with functionally graded materials[J]. Smart Materials and Structures, 2009, 18(11): 115013-1-11513-8.

[12]Chen A L, Wang Y S. Study on band gaps of elastic waves propagating in one-dimensional disordered phononic crystals [J]. Physica B, 2007, 392(1-2): 369-378.

[13]Luan P G, Ye Z. Acoustic wave propagation in a one-dimensional layered system [J]. Physical Review E, 2001, 63(6): 066611-1-066611-8.

[14]劉啟能. 彈性波斜入射聲子晶體的傳輸特性[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 26(2): 397-400.

LIU Qi-neng. Transfer characteristic of phononic crystal during elastic wave oblique incidence [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2009, 26(2): 397-400.

[15]曾廣武, 肖 偉, 程遠(yuǎn)勝. 多組聲子晶體復(fù)合結(jié)構(gòu)的隔聲性能[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2007, 26(1): 80-83.

ZENG Guang-wu, XIAO Wei, CHENG Yuan-sheng. Sound isolation of composite structure consisting of multiphononic crystals [J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(1): 80-83.