杜長城， 李映輝， 金學(xué)松

(1. 西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031；2. 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031)

功能梯度材料(FGMs)因其優(yōu)良特性，在航空航天等諸多工程領(lǐng)域應(yīng)用前景非常廣闊，受到高度關(guān)注[1]。近年來，國內(nèi)外對FGM薄壁結(jié)構(gòu)振動(dòng)及FGM結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)特性研究獲得較多成果[2-8]。Alijani等[9]采用多尺度法分析具有矩形底面的雙向曲線型FGM淺殼非線性主共振及次諧共振響應(yīng)，獲得分岔圖及Poincaré映射，并給出系統(tǒng)的混沌域、揭示系統(tǒng)的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)特性。張志強(qiáng)等[10]分析熱環(huán)境中FGM圓板非線性振動(dòng)時(shí)可能出現(xiàn)的周期、擬周期及混沌響應(yīng)。杜長城[11]系統(tǒng)研究無限長FGM圓柱殼在非線性振動(dòng)中的模態(tài)相互作用及主共振特性，分析材料性質(zhì)、溫度等對系統(tǒng)特性影響，討論系統(tǒng)復(fù)雜分岔行為。

在研究非線性振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)提出的非線性模態(tài)(Nonlinear Normal Modes, NNM)概念，眾多研究已表明其在討論非線性系統(tǒng)定性性質(zhì)中的必要性[12-14]。本文在文獻(xiàn)[11]基礎(chǔ)上，引入非線性模態(tài)概念，研究具有1∶2內(nèi)共振的無限長FGM圓柱殼在熱環(huán)境中非線性自由振動(dòng)，討論材料梯度指數(shù)與溫度等因素對系統(tǒng)非線性模態(tài)頻響特性影響。

1 基本方程

考慮中曲面半徑R、厚度h的無限長FGM薄壁圓柱殼，在中曲面建立參考柱坐標(biāo)系(x,θ,z)，其中x為柱殼軸向，θ為柱殼周向，z為柱殼徑向(向外為正)；并設(shè)w為柱殼橫向位移(z向位移)。設(shè)組成此功能梯度圓柱殼的組分材料分別為金屬、陶瓷，且柱殼內(nèi)表面為陶瓷外表面為金屬。計(jì)入材料特性的溫度相關(guān)性，設(shè)組分材料性能參數(shù)Pj(P表示E、ν、ρ等，j表示金屬或陶瓷)隨溫度變化關(guān)系式為[2]：

(1)

其中：T=T0+ ΔT為溫度，T0= 300 K為參考溫度，ΔT為溫度變化，本文中考慮均勻的穩(wěn)態(tài)溫變過程。材料參數(shù)溫度特性見表1。采用冪律分布規(guī)律描述FGM等效材料參數(shù)[2,11]：

(2)

式中：Pm，Pc分別為金屬、陶瓷材料參數(shù)；N∈ [0,∞)為梯度指數(shù)，反映金屬體積分?jǐn)?shù)沿厚度變化規(guī)律。

(3)

表1 金屬與陶瓷溫度相關(guān)參數(shù)(P-1 = 0)

選擇兩典型模態(tài)，設(shè)無限長FGM柱殼位移為：

w(x,θ,t)=

(4)

式中：等號右邊第一項(xiàng)為非軸對稱模態(tài)(n≠ 0),第二項(xiàng)為軸對稱模態(tài)；L為模態(tài)軸向波長。研究表明此兩模態(tài)的相互作用在柱殼穩(wěn)定性中非常重要[15]。因無外部約束，溫度改變時(shí)無限長柱殼始終處于自由應(yīng)力狀態(tài)，溫度主要改變材料特性進(jìn)而影響柱殼響應(yīng)。故文獻(xiàn)[11]的動(dòng)能、勢能表達(dá)式仍成立。無限長FGM柱殼動(dòng)能為[11]：

(5)

系統(tǒng)勢能為[11]：

(6)

定義s=πR/L為軸向波長參數(shù)，據(jù)文獻(xiàn)[11]有：

(7)

(8)

式中：s1為純幾何判據(jù)；s2不僅與柱殼幾何參數(shù)相關(guān)，亦依賴于FGM柱殼材料性質(zhì)。因此梯度指數(shù)N與溫度會改變無限長FGM圓柱殼的理想內(nèi)共振條件s2。

圖1 周向波數(shù)n不同時(shí)內(nèi)共振參數(shù)s2隨梯度指數(shù)N變化

(9)

據(jù)Lagrange方程，得系統(tǒng)雙模態(tài)控制方程為：

(10)

式中：ξ=k1/m2。

圖2 ΔT不同時(shí)內(nèi)共振參數(shù)s2隨梯度指數(shù)N變化(n = 5)

2 多尺度分析

多尺度法為計(jì)算系統(tǒng)非線性模態(tài)的有效工具[13]，故采用多尺度法分析非線性模態(tài)方程式(10)。引入無量綱記號ε表征系統(tǒng)小參量，使q1→εq1，q2→εq2(ε僅為標(biāo)記，實(shí)際計(jì)算中取ε≡ 1)，則式(10)變?yōu)椋?/p>

(11)

其解可近似設(shè)為級數(shù)形式：

(12)

其中：T0=t,T1=εt。將式(12)代入式(11)化簡并令ε同次冪系數(shù)為零得：

(13)

(14)

(15)

式中：A1，A2為復(fù)值函數(shù)；cc為各項(xiàng)共軛復(fù)數(shù)。

引入調(diào)諧參數(shù)σ，使ω2= 2ω1+εσ。將式(15)代入式(14)并消去永年項(xiàng)得：

(16)

為以極坐標(biāo)形式表示調(diào)諧方程，設(shè)：

(17)

將式(17)代入式(16)并分離實(shí)、虛部，得模態(tài)坐標(biāo)非線性調(diào)諧方程為：

(18)

式中：φ=β2-2β1+σT1。

式(18)存在兩類不動(dòng)點(diǎn)，分別對應(yīng)于a1= 0及a1≠ 0。a1= 0不動(dòng)點(diǎn)為：

(19)

a1≠ 0的兩不動(dòng)點(diǎn)分別為：

(20)

對不動(dòng)點(diǎn)式(19)可求得其對應(yīng)的三個(gè)特征值：

λ3=-2λ2

(21)

(22)

(23)

3 算例與結(jié)果討論

時(shí)盡管系統(tǒng)響應(yīng)有差別，但均具有相似的定性性質(zhì)，因此以下討論中以n= 5時(shí)為例分析梯度指數(shù)與溫度等因素對系統(tǒng)響應(yīng)影響。

圖3 不同周向波數(shù)n時(shí)a1頻響曲線

圖4 不同梯度指數(shù)時(shí)a1頻響曲線(ΔT = 0 k， a(0)2=0.025)

4 結(jié) 論

本文據(jù)文獻(xiàn)[11]模型，采用多尺度法分析熱環(huán)境中無限長FGM薄壁圓柱殼在發(fā)生內(nèi)共振時(shí)的非線性模態(tài)運(yùn)動(dòng)，詳細(xì)討論梯度指數(shù)、溫度變化及振動(dòng)能量大小等因素對系統(tǒng)非線性模態(tài)頻響特性影響。在FGM等效材料參數(shù)采用本文冪律分布規(guī)律描述的前提下，研究表明：

(1) 隨調(diào)諧參數(shù)的變化，系統(tǒng)非線性模態(tài)會發(fā)生分岔；

(2) 調(diào)諧參數(shù)為零時(shí)，非軸對稱模態(tài)振幅由軸對稱模態(tài)的振動(dòng)初值決定，與材料梯度指數(shù)及系統(tǒng)溫度無關(guān)；

(3) 隨梯度指數(shù)的增加調(diào)諧參數(shù)分岔值|σ|增大；隨系統(tǒng)溫度的增加分岔值|σcr|減??；

(4) 對特定的調(diào)諧參數(shù)值，軸對稱模態(tài)單模態(tài)運(yùn)動(dòng)在低能狀態(tài)為穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，而在高能振動(dòng)狀態(tài)時(shí)變?yōu)椴环€(wěn)定運(yùn)動(dòng)。

參 考 文 獻(xiàn)

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