史冬巖， 石先杰， 王青山， 李文龍， 谷靜靜

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.韋恩州立大學(xué) 機(jī)械工程系，底特律 密歇根 48202)

耦合板結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程應(yīng)用中被廣泛應(yīng)用，如航空航天、船舶結(jié)構(gòu)、機(jī)械工程、土木工程和車(chē)輛工程等。只有詳細(xì)了解了耦合板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性才能更好地完成該類(lèi)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，使得設(shè)計(jì)達(dá)到實(shí)際應(yīng)用環(huán)境的要求。在耦合板結(jié)構(gòu)中，當(dāng)彎曲波傳遞到耦合邊界處時(shí)會(huì)在連接板中產(chǎn)生面內(nèi)的縱波和剪切波，而面內(nèi)波傳遞到耦合邊界處時(shí)也會(huì)有一部分轉(zhuǎn)換為彎曲波。由此可見(jiàn)耦合板的振動(dòng)特性存在面內(nèi)和面外振動(dòng)的耦合效應(yīng)，振動(dòng)特性較為復(fù)雜。因此，近年來(lái)越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注耦合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析。

對(duì)于耦合板的振動(dòng)特性，Cremer等[1]基于彈性波傳播對(duì)兩個(gè)互成直角的無(wú)限大耦合板結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行研究。Shen等[2]通過(guò)將彎曲位移函數(shù)幅值表示為坐標(biāo)函數(shù)的線(xiàn)性組合得到了耦合板結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)的近似解。Kessissouglou等[3]采用功率流方法建立了單點(diǎn)力作用下L-型耦合板結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)與面內(nèi)振動(dòng)的求解模型，并且討論了面內(nèi)振動(dòng)對(duì)于功率流傳遞特性的影響。在國(guó)內(nèi)，游進(jìn)等[4]用能量有限元分析法對(duì)耦合板結(jié)構(gòu)在受兩個(gè)不相關(guān)寬帶白噪聲激勵(lì)力作用下的能量響應(yīng)和功率流特性進(jìn)行了研究，并與統(tǒng)計(jì)能量分析法對(duì)比驗(yàn)證該方法的正確性。李凱等[5]利用振動(dòng)聲強(qiáng)及能量可視化技術(shù)研究耦合板結(jié)構(gòu)中振動(dòng)波傳遞及分布特性。閆安志等[6]利用導(dǎo)納功率流技術(shù)提出了耦合板結(jié)構(gòu)的各子結(jié)構(gòu)板的導(dǎo)納功率流模型，并導(dǎo)出了輸入到源級(jí)的彎曲波功率流表達(dá)式和傳遞到接受板的傳遞導(dǎo)納功率流表達(dá)式，對(duì)于兩板都為簡(jiǎn)支邊界且耦合角度為直角的耦合板結(jié)構(gòu)的共振模態(tài)響應(yīng)可精確確定，杜敬濤[7]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法對(duì)L型板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性進(jìn)行了相關(guān)計(jì)算分析。綜上所述，現(xiàn)在大部分的研究都只局限于經(jīng)典邊界條件或者某些特定耦合角度的耦合板結(jié)構(gòu)，對(duì)于任意彈性邊界和耦合情況(角度和位置)的T型耦合板結(jié)構(gòu)研究還比較少見(jiàn)。

Li[8]提出了一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法分析任意邊界支撐下梁結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)特性。隨后該方法被相繼擴(kuò)展應(yīng)用到薄板、圓柱殼和組合結(jié)構(gòu)分析中去。

本文將Li提出的方法擴(kuò)展到T型耦合板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性分析。將T型耦合板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)和面外振動(dòng)位移函數(shù)表示為一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式(加速)。然后采用Rayleigh-Ritz方法求解基于能量原理的拉格朗日方程，得到關(guān)于位移級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題。通過(guò)各個(gè)方向均勻分布的彈簧來(lái)模擬邊界支撐和耦合連接情況，通過(guò)改變相應(yīng)彈簧剛度值大小而簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)各種邊界條件及耦合連接。本文計(jì)算模型相比文獻(xiàn)[7]在表達(dá)式上更加簡(jiǎn)潔，在求解過(guò)程中更加高效，并且可以計(jì)算任意邊界條件和耦合角度下T型耦合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性問(wèn)題。

1 T型耦合板理論模型

1.1 模型描述

圖1 彈性邊界條件下耦合板結(jié)構(gòu)模型

本文建立的T型耦合板結(jié)構(gòu)模型及其相應(yīng)的坐標(biāo)系如圖1所示。整個(gè)耦合結(jié)構(gòu)由板1和板2組成，板1位于x1-y1平面內(nèi)，而板2位于x2-y2平面內(nèi)。板1和板2具有相同的寬度，其長(zhǎng)度和厚度分別為a1，a2，h1和h2。兩板通過(guò)公共邊界(x2=a2或x1=xc)連接，其相對(duì)位置關(guān)系通過(guò)耦合角度α和坐標(biāo)x1=xc來(lái)描述。對(duì)于面外振動(dòng)(彎曲振動(dòng))的邊界條件采用沿邊界均勻分布的橫向線(xiàn)性位移支撐和旋轉(zhuǎn)約束彈簧支撐來(lái)模擬，而面內(nèi)振動(dòng)的邊界條件可以用法向位移及切向位移約束彈簧支撐來(lái)模擬。因此，采用四類(lèi)彈簧均勻分布在各邊界上來(lái)模擬耦合板結(jié)構(gòu)的邊界條件。為了后文描述方便，Kw11，kw11，knx11和kpx11四類(lèi)邊界約束彈簧剛度分別用來(lái)描述邊x1=a1的面外、面內(nèi)振動(dòng)的邊界條件。kcw，kcv，kcu和Kc四類(lèi)耦合彈簧剛度被用來(lái)描述兩塊板之間的耦合效應(yīng)，這四類(lèi)耦合彈簧的應(yīng)用，可以模擬耦合板結(jié)構(gòu)不同的耦合效應(yīng)，能更為準(zhǔn)確地描述耦合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。對(duì)于板2的耦合公共邊(x2=a2)，在該邊上僅存在耦合邊界彈簧。對(duì)于該耦合板結(jié)構(gòu)模型，任意經(jīng)典邊界條件可以通過(guò)將相應(yīng)的邊界約束彈簧剛度設(shè)定為零或者無(wú)窮大而簡(jiǎn)單得到。同樣，四類(lèi)耦合彈簧及耦合角度的不同取值將實(shí)現(xiàn)各種不同的耦合條件。

1.2 T型耦合板結(jié)構(gòu)位移級(jí)數(shù)描述

在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，本文將T型耦合板結(jié)構(gòu)中板結(jié)構(gòu)的面外振動(dòng)和面內(nèi)振動(dòng)位移分別表示為一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)(加速):

(1)

(2)

(3)

其中，i表示板結(jié)構(gòu)的編號(hào)，在本文研究中i的取值為1和2；Ai,mn，Bi,mn和Ci,mn代表傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)，

λaim=mπ/ai

(4)

λbn=nπ/b

(5)

對(duì)于面外振動(dòng)位移函數(shù)，每個(gè)方向的位移函數(shù)由傅里葉余弦級(jí)數(shù)和四項(xiàng)單傅里葉正弦級(jí)數(shù)之和構(gòu)成，而對(duì)于面內(nèi)振動(dòng)位移則由傅里葉余弦級(jí)數(shù)和兩項(xiàng)單傅里葉正弦級(jí)數(shù)之和構(gòu)成。這些補(bǔ)充的單傅里葉正弦級(jí)數(shù)被用來(lái)處理邊界上和當(dāng)位移函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)通過(guò)傅里葉展開(kāi)擴(kuò)展到整個(gè)x-y平面內(nèi)可能存在的不連續(xù)或跳躍。

1.3 模型求解

本文將傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)未知系數(shù)作為廣義坐標(biāo),采用Rayleigh-Ritz方法來(lái)進(jìn)行求解。對(duì)于任何一個(gè)耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)其總的勢(shì)能和動(dòng)能可以表示為：

(6)

(7)

對(duì)于本文所研究的T型耦合板結(jié)構(gòu)中，Np取值為2。對(duì)于單個(gè)板結(jié)構(gòu)其勢(shì)能和動(dòng)能可以用位移函數(shù)表示為:

(8)

(9)

(10)

對(duì)于耦合角度非零的耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，面內(nèi)與面外振動(dòng)存在耦合效應(yīng)，在對(duì)其進(jìn)行振動(dòng)分析時(shí)需要考慮板之間的耦合。在本文求解方法框架下，采用四類(lèi)耦合彈簧來(lái)模擬板之間的耦合效應(yīng)，存儲(chǔ)在耦合彈簧中的彈性勢(shì)能可以描述為:

kcu(ui|si=xc-uj|sj=ajcosα-wj|xj=ajsinα)2+kcv(vi|xi=xc-vj|xj=aj)2+Kc(?wi/?xi|xi=xc-?wj/?xj|xi=aj)2]dyi

(11)

其中，kcw，kcu，kcv和Kc是如圖1所示的四類(lèi)用于模擬板之間耦合效應(yīng)的四類(lèi)耦合彈簧剛度，α則為耦合板之間的角度，表征了板之間的相對(duì)位置。

經(jīng)典的漢密爾頓原理應(yīng)用到耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng):

(12)

將式(6)～(11)代入式(12)，然后使?jié)h密爾頓方程對(duì)傅里葉展開(kāi)系數(shù)Ai,mn，Bi,mn和Ci,mn求極值，可以得到6個(gè)方程的線(xiàn)性方程組，然后將其進(jìn)一步寫(xiě)為矩陣形式為:

{K-ω2M}Φ=0

(13)

其中，K和M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。Φ是所有傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的未知系數(shù)向量。

Φ={A1,mnB1,mnC1,mnA2,mnB2,mnC2,mn}T

(14)

由上述的推導(dǎo)可知，T型耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)特性(固有頻率及其對(duì)應(yīng)的特征向量)可以通過(guò)求解式(13)所示的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題而簡(jiǎn)單得到。每個(gè)特征向量包含了構(gòu)成相應(yīng)結(jié)構(gòu)模態(tài)所需要的所有的傅里葉展開(kāi)系數(shù)，將得到的特征向量帶入式(1)，(2)和(3)即可繪制出真實(shí)的物理模態(tài)形狀。

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

2.1 模型驗(yàn)證

表1 矩形板前6階模態(tài)參數(shù)(a/b=2)

通過(guò)表1和圖2、3的對(duì)比分析可知，所得的計(jì)算結(jié)果吻合良好，模態(tài)振型保持一致。因此，本文計(jì)算方法和計(jì)算模型是正確可靠的，收斂性良好。

圖2 本文方法計(jì)算得到的完全固支矩形板前4階模態(tài)振型

圖3 有限元分析軟件ABAQUS計(jì)算得到的完全固支矩形板前4階模態(tài)振型

2.2 T型耦合板模態(tài)特性研究

在驗(yàn)證本文方法正確性和可靠性的基礎(chǔ)上，對(duì)不同耦合位置及邊界條件下耦合板結(jié)構(gòu)模態(tài)特性進(jìn)行分析。為了簡(jiǎn)化整個(gè)計(jì)算過(guò)程，假定兩板具有相同的厚度與寬度，h1=h2=0.005 m和b=1 m。兩板的長(zhǎng)度分別為a1=1.5 m和a2=1.0 m。兩塊板的材料參數(shù)為：楊氏模量E=71×109N/m2，質(zhì)量密度ρ=2 700 kg/m3和泊松比μ=0.3。

首先，考慮耦合角度為90°，耦合位置xc=a1/2的T型耦合板結(jié)構(gòu)。板1的所有邊的面外振動(dòng)和面內(nèi)振動(dòng)邊界條件均為固支。板2中沿邊界x2=0，y2=0和y2=b的面外與面內(nèi)振動(dòng)邊界條件也同樣設(shè)定為固支邊界條件。表2列出了本文方法與ABAQUS計(jì)算所得剛性耦合板前6階固有頻率。對(duì)于T型板耦合結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型可以通過(guò)將相應(yīng)的傅里葉展開(kāi)系數(shù)向量代入到其位移函數(shù)表達(dá)式方程(1)～(3)而方便地得到。從表2中的對(duì)比數(shù)據(jù)分析可知，本文方法的預(yù)測(cè)結(jié)果與有限元軟件ABAQUS計(jì)算結(jié)果吻合良好。剛性耦合T型板結(jié)構(gòu)的前6階模態(tài)振型如圖4所示。

表2 剛性耦合條件下T型耦合板結(jié)構(gòu)固有頻率(xc=a1/2)

圖4 剛性耦合條件下T型板結(jié)構(gòu)前6階模態(tài)振型(xc=a1/2)

表3 不同耦合情況下耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有頻率(Hz)

“a”為有限元分析軟件ABAQUS計(jì)算結(jié)果

在剛性耦合條件下，研究不同耦合情況(耦合位置和耦合角度)下耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)特性。對(duì)于板1和板2的非耦合公共邊的面外與面內(nèi)振動(dòng)邊界條件分別為簡(jiǎn)支和固支。不同耦合情況下耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的前6階固有頻率如表3所示。從表3可知，對(duì)于在板1上一定位置耦合板2，耦合角度對(duì)耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率影響不大。對(duì)于耦合公共邊在板1的位置xc對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率敏感度較大。但耦合邊在板1的位置xc=0 m時(shí)，T型板結(jié)構(gòu)演變?yōu)長(zhǎng)型耦合板結(jié)構(gòu)。由此可知，本文所建立的耦合板結(jié)構(gòu)模型可以通過(guò)改變相應(yīng)參數(shù)而簡(jiǎn)便地實(shí)現(xiàn)不同類(lèi)型耦合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析。

當(dāng)耦合彈簧剛度發(fā)生相應(yīng)改變，即可模擬彈性耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)?，F(xiàn)考慮耦合位置α=90°和xc=0.75 m時(shí)的耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，耦合彈簧的剛度分別取Kc=105Nm/rad，kcu=104N/m，kcv=104N/m和kcw=104N/m。板1中所有的面外和面內(nèi)振動(dòng)邊界條件分別為簡(jiǎn)支和固支。板2中x2=0，y2=0和y2=b面外和面內(nèi)振動(dòng)邊界條件也同樣設(shè)置為簡(jiǎn)支和固支。表4列出了該種工況下耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的前6階固有頻率。通過(guò)對(duì)表4中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，本文方法能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)彈性耦合條件下板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)特性。

當(dāng)耦合角度改變?yōu)?5°時(shí)，邊界條件不變，將耦合彈簧的剛度修改為Kc=107Nm/rad，kcv=104N/m和kcw= 104N/m。此時(shí)耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的前6階固有頻率如表5所示。表5說(shuō)明兩組計(jì)算結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本文方法對(duì)于耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)具有良好的預(yù)測(cè)精度。

表4 耦合彈簧剛度為Kc=105 Nm/rad，kcu =104 N/m，kcv =104 N/m和kcw= 104 N/m下T型耦合板結(jié)構(gòu)固有頻率(xc=a1/2)

表5 耦合彈簧剛度為Kc=107 Nm/rad，kcv =104N/m和kcw= 104 N/m下耦合角度為45°T型耦合板結(jié)構(gòu)固有頻率(xc=a1/2)

最后，考慮在彈性支撐條件下的彈性耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，為了簡(jiǎn)化過(guò)程，本文假定所有邊界彈簧和耦合彈簧剛度值均取為105，耦合位置xc=0.75 m，耦合角度α=90°。表6列出了耦合板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的前6階固有頻率。

表6 所有彈簧剛度值為105,耦合角度為90°下耦合板結(jié)構(gòu)固有頻率(xc=a1/2)

3 結(jié) 論

本文采用一種改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)方法，對(duì)T型耦合板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性進(jìn)行求解分析。將T型耦合板結(jié)構(gòu)位移函數(shù)不變地表示為一種改進(jìn)的加速傅里葉級(jí)數(shù)形式，采用Rayleigh-Ritz方法求解基于能量原理的拉格朗日方程，得到關(guān)于未知位移級(jí)數(shù)傅里葉展開(kāi)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題。采用各個(gè)方向均勻分布的彈簧來(lái)模擬邊界支撐及耦合連接，可以通過(guò)改變彈簧剛度值而簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)各種邊界條件及耦合連接的模擬。采用本文方法對(duì)T型耦合板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了自由振動(dòng)特性分析，通過(guò)與有限元結(jié)果相對(duì)比驗(yàn)證本文方法的正確性和適用性。本文方法可以方便地?cái)U(kuò)展到多板耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析。

參 考 文 獻(xiàn)

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