張愛華，胡慶雷，霍 星

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程系，150001哈爾濱；2.渤海大學(xué) 工學(xué)院，121013遼寧錦州）

針對存在外部干擾及不確定轉(zhuǎn)動慣量的航天器姿態(tài)控制問題，國內(nèi)外眾多學(xué)者開展了大量的研究.如文獻(xiàn)［1］基于自適應(yīng)可控制理論設(shè)計了一種姿態(tài)跟蹤控制算法，解決了執(zhí)行器輸出力矩飽和與外部干擾問題.文獻(xiàn)［2］針對存在不確定轉(zhuǎn)動慣量的航天器姿態(tài)跟蹤問題，提出一種自適應(yīng)控制策略.但上述文獻(xiàn)［1-2］僅能單一處理外部干擾或者不確定轉(zhuǎn)動慣量問題.進(jìn)而，文獻(xiàn)［3］針對剛體航天器同時存在系統(tǒng)不確定參數(shù)與干擾問題，考慮推力器故障，設(shè)計了自適應(yīng)容錯控制器.此外，文獻(xiàn)［4］設(shè)計一種不依賴于轉(zhuǎn)動慣量的姿態(tài)控制器.文獻(xiàn)［5］設(shè)計了姿態(tài)輸出反饋跟蹤控制器.文獻(xiàn)［6］針對慣量特性未知、存在外部干擾與控制力矩受限的姿態(tài)跟蹤問題，設(shè)計了一種自適應(yīng)控制器以實(shí)現(xiàn)對期望姿態(tài)的一致最終有界跟蹤控制.

盡管上述文獻(xiàn)所提出的姿態(tài)控制方法能夠解決航天器轉(zhuǎn)動慣量不確定性與外部干擾問題，但它們并沒有考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差問題.在實(shí)際的航天工程中，受限于安裝技術(shù)以及發(fā)射過程中運(yùn)載器振動的影響，航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝偏差不可避免.而這種安裝偏差的存在將對姿態(tài)跟蹤性能產(chǎn)生影響，嚴(yán)重時將使整個姿態(tài)控制任務(wù)失敗.目前對執(zhí)行器安裝偏差問題的相關(guān)研究鮮見報道.雖然文獻(xiàn)［7］針對推力器安裝存在偏差的衛(wèi)星編隊控制問題設(shè)計了一種自適應(yīng)控制器，以實(shí)現(xiàn)對這種安裝偏差的補(bǔ)償控制，但該方法并不適用于反作用飛輪控制器的航天器.

為此，本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上，針對存在外部干擾、不確定轉(zhuǎn)動慣量以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差的過驅(qū)動剛體航天器姿態(tài)跟蹤問題，提出一種自適應(yīng)姿態(tài)補(bǔ)償控制策略，實(shí)現(xiàn)對姿態(tài)跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)幾乎全局漸近穩(wěn)定控制.同時以能源消耗為優(yōu)化目標(biāo)，提出基于能量最優(yōu)約束動態(tài)控制分配算法，保證動態(tài)控制分配后控制力矩的平穩(wěn)性和能量優(yōu)化.仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提控制與分配策略的有效性.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 航天器姿態(tài)動力學(xué)

采用姿態(tài)四元數(shù)法描述的航天器姿態(tài)動力學(xué)與運(yùn)動學(xué)方程為［4］：

其中ω∈R3為航天器相對于慣性系的角速度在本體系中的投影，姿態(tài)四元數(shù)Q=［q0qT］T∈R4表示本體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)，且滿足等式q20+qTq=1.u∈R3為作用于航天器本體軸的總控制力矩，d（t）∈R3表示總的外部干擾力矩，J∈R3×3為航天器轉(zhuǎn)動慣量，且記為J=J0+ΔJ，其中J0表示標(biāo)稱轉(zhuǎn)動慣量，而ΔJ表示不確定的轉(zhuǎn)動慣量.I3為3階單位矩陣，對任意的向量a=[a1a2a3]T，定義a×為

此時，針對姿態(tài)動力學(xué)方程（3）作如下假設(shè)：

假設(shè)1轉(zhuǎn)動慣量矩陣J是正定，且存在正常數(shù)Jmax滿足

假設(shè)2干擾力矩是有界的，存在未知的正常數(shù)dmax滿足

注1文中‖·‖表示向量的2范數(shù)及其誘導(dǎo)范數(shù)，‖·‖∞表示矩陣或者向量的無窮范數(shù).

考慮航天器安裝N（N＞3）個反作用飛輪進(jìn)行姿態(tài)控制，則此時作用于航天器本體的總控制力矩可計算為

其中D∈R3×N為控制分配矩陣，τ=［τ1τ2…τN］T∈RN為N個反作用飛輪實(shí)際輸出力矩.

受限于安裝技術(shù)以及發(fā)射過程中振動影響，反作用飛輪將存在小角度的安裝偏差.假設(shè)航天器反作用飛輪安裝偏差矩陣為ΔD，則式（3）可改寫成如下形式：

1.2 航天器姿態(tài)跟蹤數(shù)學(xué)模型

設(shè)航天器期望坐標(biāo)系T相對于慣性系L的期望角速度為ωd=R3、期望姿態(tài)為Qd=［qd0qTd］T∈R4，則有

此時航天器實(shí)際姿態(tài)Q與期望姿態(tài)Qd之間的姿態(tài)跟蹤誤差可定義為Qe=Q-1d?Q=［e0eT］T∈R4，其中“?”表示四元數(shù)乘法.定義角速度跟蹤誤差為ωe=R3，則有

由式（5）～（8）可得出存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差的航天器姿態(tài)跟蹤數(shù)學(xué)模型為

2 姿態(tài)補(bǔ)償控制器設(shè)計

首先設(shè)計滑?？刂茷椋?］

其中μ1、μ2與0＜r＜1均為正常數(shù)，sgn（e）r=［｜e1｜rsgn（e1）｜e2｜rsgn（e2）｜e3｜rsgn（e3）］T.

若選取Lyapunov候選函數(shù)為

由于對0＜r＜1有不等式恒成立.因此，根據(jù)式（9）與文獻(xiàn)［8］的引理3.1可得

由于Qe=［-10］T為不穩(wěn)定姿態(tài)平衡點(diǎn)［9］，則當(dāng)t→∞時由（10）可證明e→0與e0→1.并進(jìn)一步可得

由此可得

至此根據(jù)式（11）可得

顯然0.5＜（1+r）／2＜1，故由文獻(xiàn)［8］的引理3.3可保證在有限時間tF1內(nèi)有V1（t）≡0成立.根據(jù)V1（t）的定義可進(jìn)一步證明對于任意的時間t≥tF1，有e（t）≡0、e0（t）≡1與ωe（t）≡0成立.

根據(jù)所選取的滑模面（9），考慮常值但不確定的轉(zhuǎn)動慣量J（即J=0），則有

式中‖L‖=≤α0+α1‖ω‖+α2‖ω‖2，且αi（i=0，1，2）為正常數(shù)［3］.定義κ≤λmin（DDT），則有如下定理成立.

定理1針對受外部干擾d作用的剛體航天器姿態(tài)系統(tǒng)（1）～（3），若反作用飛輪安裝偏差ΔD滿足不等式ε=｜｜ΔD｜｜＜1，且設(shè)計姿態(tài)補(bǔ)償控制器

式中

其中sgn（s）=［sgn（s1）sgn（s2）sgn（s3）］T，控制參數(shù)k1，k2分別滿足k1＞1／κ與k2＞1／κ；、3、4、5分別為u=δ／（κk6）、k3=α0／κ、k4=α1／κ、為k5=α2／κ的估計量，φ（t）=｜｜τnorm+τadp‖∞且φ（t）≥‖τ‖.若設(shè)計自適應(yīng)更新律為=κk6φ（t）‖s‖／l，=κ‖s‖／l3，=κ‖s‖‖ω‖／l4，=κ‖s‖‖ω‖2／l5，其中l(wèi)1，l3，l4，l5為正常數(shù)，則對于任意的初始狀態(tài)Q（0）、ω（0），系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間tF2內(nèi)到達(dá)滑模面s（t）=0上，并一直保持在該滑模面上運(yùn)動.

證明當(dāng)s≠0時，選取如下的Lyapunov函數(shù)：

其中，=k3，=k4，=k5式（16）兩邊同時對時間求導(dǎo)可得

根據(jù)式（13）則有

同理根據(jù)式（14），則有如下不等式成立：

同理根據(jù)式（15）且令‖τ‖≤φ（t），則可得

將不等式（18）～（20）代入不等式（17）則有V2≤-（k1βκ-β）‖qe‖‖s‖-κk2≤-κk2，進(jìn)而有

即

由于V2（t）≥0恒成立，因此根據(jù)式（21）可證明存在tF2＞V2（0）／（κk2）使得對任意的t≥tF2有V2（t）≡0成立.即在有限時間tF2內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)將到達(dá)滑模面s=0上并保持在該滑模面上運(yùn)動.

證畢.

注2所選取的滑模面（9）是一奇異滑模面，在ei=0（i=1，2，3）處s中的sgn（e）r是連續(xù)但不可導(dǎo)的.因此，為了保證因該處不可導(dǎo)而引起控制器（12）產(chǎn)生奇異的情況不發(fā)生，控制器（12）的參數(shù)以及自適應(yīng)更新律參數(shù)需要小心的選擇，確保當(dāng)s≠0時e≠0得以滿足.從而保證在實(shí)現(xiàn)（12）時sgn（e）r是可導(dǎo)的，進(jìn)而避免奇異現(xiàn)象的發(fā)生.

根據(jù)定理1可確知姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間tF2內(nèi)到達(dá)滑模面s（t）=0上，并一直保持在該滑模面上運(yùn)動.根據(jù)上述分析可知當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面（9）時，則在有限時間tF1內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)將到達(dá)平衡點(diǎn).因此，對于任意的初始狀態(tài)Q（0）、ω（0），對t≥tF=tF1+tF2有e（t）≡0、e0（t）≡1與及ωe（t）≡0成立.即當(dāng)安裝偏差滿足不等式ε＜1時，在控制器（12）的作用下，將在有限時間tF=tF1+tF2內(nèi)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)是幾乎全局漸近穩(wěn)定控制.

3 動態(tài)控制分配策略

考慮航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有極值約束及速度約束條件：

式中v（t）表示控制力矩，且有

式中ηmin、ηmax分別表示控制力矩變化速度的最小值與最大值，Δt=t-T.進(jìn)而本文所要實(shí)現(xiàn)τ的控制分配問題可描述為

式中W0、W1與W2為相應(yīng)維數(shù)的非奇異權(quán)重系數(shù)矩陣.

為求解式（22）所描述的優(yōu)化問題，依據(jù)文獻(xiàn)［10］中定理1-2，確知動態(tài)控制分配問題式（22）的解為

式中：

結(jié)合式（4）與式（23），可確知本文所采用的動態(tài)控制分配策略可以很好的消除誤差、抑制干擾，實(shí)現(xiàn)理想的控制效果.

4 仿真結(jié)果與分析

本文所考慮采用四斜裝反作用飛輪控制的航天器，其中3個反作用輪正交安裝于航天器本體軸，而在與本體系三軸成等角的方向上安裝第4個飛輪.則飛輪實(shí)際輸出力矩與作用于航天器的總控制力矩之間關(guān)系為

設(shè)安裝偏差角Δαi與Δβi（i=1，2，3，4） 為較小量，

其中：

仿真中，Δαi（i=1，2，3）、Δβi（i=1，2，3） 分別在-2°～+2°與-180°～+180°之間隨機(jī)選擇；Δα4、Δβ4在-2°～+2°之間隨機(jī)選擇.航天器外部干擾力矩d（t）采用文獻(xiàn)［9］干擾力矩定義.初始角速度以及初始姿態(tài)分別為ω（0）=［000］T（rad／s），q（0）=［-0.53-0.260.79］T；期望角速度及期望姿態(tài)分別為ωd（t）=0.001sin（2πt）［111］T（rad／s），qd（0）=［000］T.控制器（12）中的控制參數(shù)設(shè)計為β=0.7，κ=1.05，ki=1.5（i=1，3，41.5（i=1，3，4，5動態(tài)控制分配參數(shù)設(shè)定為：vmin=-0.15 N·m，vmax=0.15 N·m，T=0.2，ηmin=-0.025與ηmax=0.025.航天器標(biāo)稱轉(zhuǎn)動慣量J0與不確定慣量ΔJ分別為

當(dāng)存在上述反作用飛輪安裝偏差、外部干擾、不確定轉(zhuǎn)動慣量時，采用控制器（12）進(jìn)行姿態(tài)跟蹤控制，并采用動態(tài)控制分配策略（23）進(jìn)行能量優(yōu)化控制.

從圖1航天器跟蹤誤差角速度以及姿態(tài)跟蹤誤差的時間響應(yīng)曲線可知，即使存在大的飛輪安裝偏差，文中所設(shè)計的控制器可保證星體姿態(tài)在30 s內(nèi)跟蹤上期望姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)的高精度穩(wěn)定控制.圖2給出了未加入動態(tài)控制分配（NCA）與加入動態(tài)控制分配（CA）的力矩輸出情況，從圖示可知在同時面臨外部干擾及安裝偏差情況下，本文設(shè)計控制器能保證力矩穩(wěn)定的輸出.圖3給出了在沒有控制分配情況及采用動態(tài)控制分配策略兩種情況下的能量消耗柱狀圖，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提動態(tài)控制分配策略具有較好的實(shí)現(xiàn)能源消耗優(yōu)化的能力.

圖1 角速度、姿態(tài)跟蹤誤差時間響應(yīng)曲線

圖2 控制力矩時間響應(yīng)曲線

圖3 能量消耗對比柱狀圖

5 結(jié) 論

針對存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差及外部干擾力矩的過驅(qū)動航天器姿態(tài)控制問題，本文提出一種姿態(tài)控制策略以實(shí)現(xiàn)對干擾與安裝偏差控制.考慮星載能源消耗的優(yōu)化、執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩的幅值受限與速率受限等問題，設(shè)計了動態(tài)控制分配策略實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)高精度控制的同時，保證能量消耗最優(yōu)控制.需要強(qiáng)調(diào)的是本文并沒有考慮時變的不確定轉(zhuǎn)動慣量，而實(shí)際航天工程中由于存在大量柔性機(jī)構(gòu)運(yùn)動（如太陽帆和天線），因此彈性對測量將產(chǎn)生主要的不確定性影響.為此如何用冗余控制消除彈性對測量造成的不確定性影響將是作者下一步的研究工作.

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