周麗香

線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，在高考中受到越來(lái)越多的重視，它與其他知識(shí)的交叉融合越來(lái)越豐富，與線性規(guī)劃相關(guān)的新穎試題也層出不窮。如與不等式、函數(shù)、概率等交叉融合等。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一，而線性規(guī)劃的思維精髓就是數(shù)形結(jié)合。所以，畫(huà)移求答，理解線性規(guī)劃解題程序的實(shí)質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

一、與概率相聯(lián)系

例1：設(shè)不等式組0？燮x？燮20？燮y？燮2，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是

（ ）。A. ， B. ， C. ， D. 。

解析：題目中0？燮x？燮20？燮y？燮2表示的區(qū)域如圖1正方形所示，動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此P= = ，故選D。

二、與基本不等式相聯(lián)系

例2：設(shè)x，y滿足約束條件3x-y-6？燮0x-y+2？叟0x？叟0，y？叟0，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則 + 的最小值為（ ）。

A. ， B. ， C. ， D.4。

解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖2所示陰影部分，當(dāng)直線ax+by=z（a>0，b>0）過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4，6）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 + =（ + ） = +（ + ）？叟 +2= ，故選A。

三、與解析幾何相聯(lián)系

已知線性約束條件，探求線性截距——加減的形式（非線性距離——平方的形式，斜率——商的形式）目標(biāo)關(guān)系的最值問(wèn)題是本部分的重點(diǎn)。

例3：已知實(shí)數(shù)x、y滿足x+y-1？燮0x-y+1？叟0y？叟-1，則w=x2+y2-4x-4y+8的最值為 。

解析：目標(biāo)函數(shù)w=x2+y2-4x-4y+8=（x-2）2+（y-2）2，其含義是點(diǎn)（2，2）與可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方。由實(shí)數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖3所示：

可行域?yàn)閳D中△ABC內(nèi)部（包括邊界），易求B（-2，-1），結(jié)合圖形知，點(diǎn)（2，2）到點(diǎn)B的距離為其到可行域內(nèi)點(diǎn)的最大值，Wmax=（-2-2）2+（-1-2）2=25；點(diǎn)（2，2）到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內(nèi)點(diǎn)的最小值，Wmax= = 。

四、與函數(shù)相聯(lián)系

例4：設(shè)二元一次不等式組x+2y-19？叟0x-y+8？叟02x+y-14？燮0所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y=ax（a>0，a≠1）的圖像過(guò)區(qū)域的取值范圍是（ ）。

A.[1，3]， B.2， ]， C.[2，9]， D.[ ，9]。

解：C，區(qū)域M是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖4）， 顯然a>1，只需研究過(guò)（1，9）、（3，8）兩種情形，a1？燮9且a3？叟8即2？燮a？燮9。

五、與向量相聯(lián)系

例5：已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足：x-4y+3？燮03x+5y？燮25x-1？叟0，及A（2，0），則 的最大值是___。

解析： =| |·cos ∠AOP即為 在 上的投影長(zhǎng)，由x-4y+3=03x+5y=25？圯M（5，2），∴| |·cos ∠AOP的最大值為5。

六、與數(shù)列相聯(lián)系

例6：設(shè)不等式組x>0y>0y？燮-nx+3n所表示的平面區(qū)域面積為D，記Dn內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an（n？綴N？觹）：①求{an}的通項(xiàng)；②記{an}的前項(xiàng)和為Sn，且Tn= ，若對(duì)一切n？綴N？觹，總有Tn？燮m，求m的取值范圍。

解：①畫(huà)可行域知：an=3n。②知Sn= ，故Tn= ，Tn-Tn-1= - = = （n？叟2），當(dāng)n=2時(shí)，Tn-Tn-1>0，即T1

當(dāng)n=3時(shí)，Tn-Tn-1=0，即T2=T3；當(dāng)n？叟4時(shí)，Tn-Tn-1<0，即T3>T4>T5…故當(dāng)n=2或3時(shí)，Tn最大，最大值為 ，故m？叟 。

總之，線性規(guī)劃作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，與其他知識(shí)交叉融合得也越來(lái)越豐富，而其精髓就是等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力具有重要作用。

（山東省膠州市第二中學(xué)）