陳小超，毛崎波

（南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌330063）

應(yīng)用移動(dòng)質(zhì)量法與分形維數(shù)實(shí)現(xiàn)梁損傷檢測(cè)

陳小超，毛崎波

（南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌330063）

以簡(jiǎn)支裂紋梁為例，利用移動(dòng)質(zhì)量法結(jié)合分形維數(shù)方法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)。由于質(zhì)量塊在振動(dòng)梁不同位置時(shí)對(duì)梁固有頻率的影響不同，所以當(dāng)質(zhì)量塊沿著梁長(zhǎng)度方向移動(dòng)時(shí)可以得到一組梁－質(zhì)量塊系統(tǒng)的固有頻率曲線，通過(guò)分析這組固有頻率的分形維數(shù)曲線確定梁的損傷位置及其損傷程度。隨后討論附加質(zhì)量塊大小和分形方法參數(shù)選擇對(duì)損傷檢測(cè)精確性的影響。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，該方法能準(zhǔn)確的識(shí)別裂紋位置和損傷程度。該方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于不需要結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息，并可以在隨機(jī)激勵(lì)下實(shí)現(xiàn)。

振動(dòng)與波；附加質(zhì)量塊；固有頻率；分形維數(shù)；損傷檢測(cè)

近年來(lái)，基于振動(dòng)的損傷檢測(cè)方法越來(lái)越受到眾多學(xué)者的關(guān)注。常見(jiàn)的檢測(cè)方法大都圍繞結(jié)構(gòu)模態(tài)或者固有頻率而展開(kāi)[1―4]。如果精確預(yù)知損傷前后的結(jié)構(gòu)模態(tài)振型，我們可以通過(guò)數(shù)值方法（如小波分析[5]、模態(tài)曲率[3,6]等）實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)。但是模態(tài)分析相對(duì)復(fù)雜，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。

基于固有頻率的方法通過(guò)測(cè)量結(jié)構(gòu)損傷前后固有頻率的變化來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷，注意到只要測(cè)量結(jié)構(gòu)上很少的幾個(gè)點(diǎn)即可得到固有頻率，因而在結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)過(guò)程中被廣泛使用。由于該方法不需要進(jìn)行模態(tài)分析就能直接進(jìn)行損傷檢測(cè)，大大簡(jiǎn)化了基于振動(dòng)的損傷檢測(cè)方法[1]。但是，基于固有頻率的損傷方法的還存在如下問(wèn)題有待解決：（1）結(jié)構(gòu)損傷所引起的固有頻率變化通常都比較小，容易被環(huán)境和其他操作噪聲覆蓋掉而不被發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致識(shí)別失真；(2)基于固有頻率的變化很難實(shí)現(xiàn)損傷程度的識(shí)別。

為了解決這些問(wèn)題，Zhong[5,7]最近提出一種移動(dòng)附加質(zhì)量方法來(lái)檢測(cè)裂紋位置。通過(guò)測(cè)量質(zhì)量塊在振動(dòng)梁不同位置時(shí)的固有頻率，可以得到梁－質(zhì)量塊系統(tǒng)的固有頻率曲線，通過(guò)這些曲線包含了裂紋位置和深度的信息。Zhong隨后通過(guò)小波分析對(duì)這組頻率曲線進(jìn)行分析，判斷梁的裂紋位置。

本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，以簡(jiǎn)支裂紋梁為例，提出基于分形方法分析通過(guò)移動(dòng)質(zhì)量法得到的固有頻率曲線，實(shí)現(xiàn)裂紋位置及損傷程度的檢測(cè)。

1 模型分析

假設(shè)一簡(jiǎn)支裂紋梁，其長(zhǎng)度和厚度分別為L(zhǎng)和h，如圖1所示。裂紋位于x=lc處，裂紋深度h，假設(shè)在裂紋梁上布置一可移動(dòng)質(zhì)量塊（質(zhì)量M），如果把帶有質(zhì)量塊的裂紋梁分為3段，則每段梁的自由振動(dòng)方程可表示為

式中p為密度；S為橫截面積；E為彈性模量；I為橫截面慣性矩；i=1，2，3。

圖1 附加質(zhì)量塊裂紋梁模型

根據(jù)振動(dòng)分析理論可知，梁橫向位移w(x,t)可以通過(guò)分離變量形式表示，即

式中，W(x)為結(jié)構(gòu)模態(tài)函數(shù)，ω為固有頻率。

將式（2）代入（1）進(jìn)行變量分離并將變量無(wú)量綱化可得：

第i段梁的結(jié)構(gòu)模態(tài)函數(shù)Wi可表示為

式中Ai，Bi，Ci，Di為待定系數(shù)，i=1，2，3。

質(zhì)量塊處連續(xù)性條件[8]可表示為

裂紋處連續(xù)條件可表示為

式中θ為裂紋簡(jiǎn)化成的彈簧的無(wú)量綱柔度，θ=5.0346hJ(r),其中r=hc/h,

簡(jiǎn)支梁邊界條件表示為

通過(guò)式（5—7）即可得到一個(gè)12×12的梁的特征矩陣，通過(guò)求解該特征方程即可得到含附加質(zhì)量裂紋梁的固有頻率。

2 數(shù)值模擬

由于附加質(zhì)量塊的影響，裂紋梁的柔度和慣性矩在質(zhì)量塊附近局部區(qū)域會(huì)產(chǎn)生變化，這會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致梁固有頻率變化。當(dāng)質(zhì)量塊處于裂紋附近位置時(shí)，可以放大裂紋對(duì)固有頻率的影響。因此，質(zhì)量塊沿著梁移動(dòng)得到的固有頻率曲線包含裂紋的位置和深度信息，在得到固有頻率曲線的基礎(chǔ)上，我們將基于分形方法檢測(cè)其裂紋位置和損傷程度。

2.1 損傷識(shí)別指標(biāo)

分形方法最早由Mandelbrot[9]提出，其基本參數(shù)分形維數(shù)定量描述信號(hào)的復(fù)雜程度。Esteller[10]比較了波形曲線的Katz、Higuchi、Petrosian算法后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于波形信號(hào)曲線，Katz算法有更好的抗噪性。Hadjileontiadis[11]提出了基于Katz算法的梁和板結(jié)構(gòu)響應(yīng)的檢測(cè)損傷的分形方法。Hadjileontiadis采用一個(gè)定尺度的窗口，計(jì)算落入窗口內(nèi)的曲線片段的分形維數(shù)（fractal dimension,FD）。對(duì)于梁式結(jié)構(gòu)，滑動(dòng)窗口沿梁移動(dòng)則可以得到模態(tài)形狀的FD曲線。FD值可以用如下公式計(jì)算

式中n表示離散的曲線總步數(shù)；d表示離散序列的第一個(gè)點(diǎn)與第i個(gè)點(diǎn)之間的直徑的最大值；L表示曲線的總長(zhǎng)度或者步長(zhǎng)的和；M表示窗口尺度。

2.2 損傷識(shí)別

選取簡(jiǎn)支梁為研究對(duì)象，假定裂紋位置lc=0.3 L，相對(duì)裂紋深度r=5%，質(zhì)量塊與梁的質(zhì)量比α= 0.1。通過(guò)式（5—7）計(jì)算得到前4階無(wú)量綱固有頻率k隨質(zhì)量塊位置變化曲線，如圖2所示。

圖2 簡(jiǎn)支裂紋梁—質(zhì)量塊系統(tǒng)前4階無(wú)量綱固有頻率（Xc=0.3，r=5%，α=0.1）

從圖2可以看出，隨著質(zhì)量塊從左端向右移動(dòng)，固有頻率曲線存在波峰和波谷，但不存在直觀的不連續(xù)點(diǎn)或者其他能直接得出裂紋位置的特征。但是這些曲線包含結(jié)構(gòu)的損傷信息[4]，下文將通過(guò)FD方法基于這些頻率曲線研究損傷監(jiān)測(cè)。

2.2.1 基于FD方法識(shí)別損傷位置

首先，通過(guò)FD方法識(shí)別損傷位置，設(shè)定質(zhì)量塊與梁質(zhì)量比α=0.1，相對(duì)裂紋深度r=0.1，并根據(jù)裂紋設(shè)置的變化設(shè)置5種工況，裂紋位置到梁左端距離分別為lc=0.1～0.5L。由于簡(jiǎn)支梁的對(duì)稱(chēng)性，將梁從中點(diǎn)分為兩端，僅考慮裂紋處于中點(diǎn)及其左段即可。這5種工況下第1階無(wú)量綱固有頻率曲線如圖3（a）所示?？梢钥闯?，隨著裂紋位置由端點(diǎn)處向梁中點(diǎn)移動(dòng)，固有頻率逐漸減小，與Liang得出的結(jié)論一致[1]。

通過(guò)2.1節(jié)所述分形方法計(jì)算固有頻率曲線的分形維數(shù)可得圖3(b)。由圖3(b)可知，在裂紋所處位置FD曲線均有大的峰值出現(xiàn)。這意味在FD方法可以準(zhǔn)確檢測(cè)出結(jié)構(gòu)的裂紋位置。

圖3 不同裂紋位置時(shí)的第1階固有頻率曲線及相應(yīng)的FD曲線（相對(duì)裂紋深度r=0.1）

2.2.2 FD方法對(duì)裂紋深度的敏感性

為了進(jìn)一步通過(guò)FD方法識(shí)別裂紋的損傷程度，將無(wú)量綱質(zhì)量α設(shè)定為0.1，裂紋位置lc=0.3L，假設(shè)裂紋深度r從0.1到0.4變化。不同裂紋深度時(shí)的第1階無(wú)量綱固有頻率曲線如圖4(a)所示。從圖4(a)可知，隨著裂紋深度增加，無(wú)量綱固有頻率呈減小趨勢(shì)，且變化率隨裂紋深度增加逐漸增大。圖4（b）為不同裂紋深度時(shí)的的FD曲線。由圖4（b）可知，固有頻率的FD曲線可以準(zhǔn)確地定位裂紋位置，并對(duì)損傷程度具有很好的敏感性。圖5進(jìn)一步計(jì)算了裂紋位置FD峰值與裂紋深度之間的關(guān)系，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)裂紋深度r為0.05至0.5之間時(shí)，F(xiàn)D峰值呈單調(diào)增加趨勢(shì)。這意味著我們可以直接通過(guò)FD峰值來(lái)判別結(jié)構(gòu)的損傷程度。

圖4 不同裂紋深度時(shí)的第1階固有頻率曲線及相應(yīng)的FD曲線（裂紋位置lc=0.3L）

圖5 裂紋深度與FD峰值關(guān)系

2.2.3 質(zhì)量塊大小對(duì)損傷檢測(cè)的影響

為了進(jìn)一步研究質(zhì)量塊大小對(duì)損傷檢測(cè)的影響，分別設(shè)定質(zhì)量塊與梁的質(zhì)量比α為0.1，0.2，0.3，0.4。假設(shè)裂紋位置位于lc=0.3 L，裂紋深度r=5%。這四種工況下，質(zhì)量塊沿梁移動(dòng)得到第1階無(wú)量綱固有頻率曲線如圖5（a）所示。由圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)，第1階頻率隨著質(zhì)量塊增大而減小，在波谷位置變化率最大。固有頻率FD曲線如圖6(b)所示，F(xiàn)D曲線在x/L=0.3處（裂紋位置）出現(xiàn)峰值。圖7給出了質(zhì)量比α從0.1增加到1時(shí)FD曲線裂紋處峰值變化曲線；由該曲線可以看出，隨著質(zhì)量比α增大，F(xiàn)D曲線峰值逐漸增大，且變化率逐漸減小。α=0.1～0.5區(qū)間FD曲線峰值變化率較大，α=0.5～1區(qū)間變化率很小，因此，質(zhì)量比取0.4～0.6為宜。

2.2.4 雙裂紋檢測(cè)

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文FD方法對(duì)多裂紋損傷梁的有效性，本文設(shè)定兩條相似裂紋分別處于對(duì)稱(chēng)位置和非對(duì)稱(chēng)位置兩種工況。工況1：第1條裂紋位置lc1=0.3L，相對(duì)裂紋深度r1=0.1；第二條裂紋位置lc2= 0.4L，相對(duì)裂紋深度r2=0.13。工況2：第1條裂紋位置lc1=0.3L，相對(duì)裂紋深度r1=0.1；第二條裂紋位置lc2=0.7L，相對(duì)裂紋深度r2=0.13。兩種工況的質(zhì)量比α均為0.1。這2種工況下FD曲線如圖8所示。由圖8知，在FD曲線在裂紋位置處均出現(xiàn)峰值。其中，圖8（b）顯示了兩條裂紋處于對(duì)稱(chēng)位置(工況2)時(shí)的FD曲線，第二條裂紋（r2=0.13）處FD峰值大于第一條裂紋（r1=0.1）處FD峰值，證明雙重裂紋時(shí)FD方法對(duì)裂紋深度仍然具有敏感性。

圖8 基于分形方法的雙裂紋檢測(cè)

3 結(jié)語(yǔ)

本文以簡(jiǎn)支裂紋梁為例，提出通過(guò)移動(dòng)質(zhì)量法結(jié)合分形方法實(shí)現(xiàn)其損傷檢測(cè)，首先基于振動(dòng)理論得到質(zhì)量塊位于不同位置時(shí)裂紋梁的固有頻率曲線，并用Katz方法計(jì)算該頻率曲線的分形維數(shù)（FD）曲線。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：本文方法能夠準(zhǔn)確地檢測(cè)出裂紋的位置以及損傷程度，并通過(guò)對(duì)裂紋深度、質(zhì)量塊大小與FD曲線峰值的關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)分析，驗(yàn)證了移動(dòng)質(zhì)量法結(jié)合分形方法對(duì)損傷檢測(cè)的有效性。

[1]Liang,R.Y.,J.Hu,and F.Choy,Theoretical study of crack-induced eigenfrequency changes on beam structures [J].Journal of Engineering Mechanics,1992 ,118(2):384-396.

[2]Messina,A.,E.Williams,and T.Contursi,Structural damage detection by a sensitivity and statistical-based method[J].Journal of Sound and Vibration,1998.216(5): 791-808.

[3]Pandey,A.and M.Biswas,Damage detection in structures using changes in flexibility[J].Journal of Sound and Vibration,1994.169(1):3-17.

[4]董五安,楊世浩.頻率變化平方比向量確定結(jié)構(gòu)損傷位置[J].噪聲與振動(dòng)控制，2013，03：226-230.

[5]ZHON Shun-cong and Oyadiji S O.Identification of cracks in beams with auxiliary mass spatial probing by stationary wavelet transform[J].Journal of Vibration and Acoustics,2008,130(4):1-14.

[6]聶彥平，毛崎波.基于PVDF傳感器和工作曲率變形實(shí)現(xiàn)裂紋梁裂紋檢測(cè)[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，26（1）：138-142.

[7]ZHON Shun-cong and Oyadiji S O.Analytical predictions of natural frequencies of cracked simply supported beams with a stationary roving mass[J].Journal of Sound and Vibration,2008.311(1):328-352.

[8]Low K,On the eigenfrequencies for mass loaded beams under classical boundary conditions[J].Journal of Sound and Vibration,1998,215(2):381-389.

[9]Mandelbrot,B.B.,How long is the coast of Britain[J].Science,1967.156(3775):636-638.

[10]EstellerR,Vachtsevvanoxs,EchauiJLiltB.A comparisonoffractaldimensionalgorithmsusing synthetic and experimental data[J].Circuits and Systems, 1999(3):199-202

[11]Hadjileontiadis L,Douka E and Trochidis A.Fractal dimension analysis for crack identification in beam structures[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2005,19(3):659-674.

Damage Detection for Cracked Beams by UsingAuxiliary Mass Approach Combined with Fractal Dimension Method

CHEN Xiao-chao,MAOQi-bo

(School ofAircraft Engineering,Nanchang Hang Kong University,Nanchang 330063,China)

Taking a cracked simply supported beam as an example,a new approach based on auxiliary mass combined with fractal dimension analysis is proposed for damage detection.When the auxiliary mass is mounted at different locations of the beam,the natural frequencies of the beam-mass system are changed.So,when the auxiliary mass transverses from one end of the beam to the other,a set of curves of the natural frequencies of the beam-mass system can be obtained.Then the fractal dimension method is imposed to analyze the natural frequency curves,and the location and depth of the crack can be detected.Furthermore,the effects of the auxiliary mass and the parameters of fractal dimension on the accuracy of the damage detection are investigated in detail.The simulation results demonstrate the efficiency and accuracy of the proposed method.The main advantages of the proposed method are that there is no need of the structural mode information and it can be realized in arbitrary excitation environment.

vibration and wave;auxiliary mass;natural frequency;fractal dimension;damage detection

1006-1355(2014)03-0155-05

TH16；TB123

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.03.033

隨著現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)的不斷大型化和復(fù)雜化，損傷識(shí)別與檢測(cè)技術(shù)對(duì)保證結(jié)構(gòu)完整性和安全性具有越來(lái)越重要的意義。根據(jù)動(dòng)力學(xué)基本理論可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)某一部位產(chǎn)生損傷時(shí)，在物理空間中表現(xiàn)為剛度下降、柔度增大；在模態(tài)空間中表現(xiàn)為固有頻率降低，阻尼比增大，振型發(fā)生變化。

2013-06-25

國(guó)家自然科學(xué)基金(51265037)；江西省高?？萍悸涞赜?jì)劃項(xiàng)目(KJLD12075)；江西省教育廳科技項(xiàng)目（GJJ13524）

陳小超（1988-），男，碩士研究生，目前從事基于振動(dòng)的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方向的研究。

E-mail:keithiscxc@gmail.com