劉海標(biāo)，宋漢文

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

主動(dòng)結(jié)構(gòu)的控制律辨識研究

劉海標(biāo)，宋漢文

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

主動(dòng)控制結(jié)構(gòu)主要運(yùn)用于包括振動(dòng)、聲學(xué)、轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的一些工程項(xiàng)目中。對于各種主動(dòng)結(jié)構(gòu)，其控制律顯然是最能反映主動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征的參數(shù)。在對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了初步的探討后，得到了在單點(diǎn)控制單點(diǎn)反饋條件下，對其反饋信號類型及其反饋增益的辨識公式。該方法由頻響函數(shù)直接構(gòu)造，其表達(dá)簡潔，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。通過實(shí)例的數(shù)值計(jì)算也證實(shí)了該方法的正確性。

振動(dòng)與波；主動(dòng)結(jié)構(gòu)；控制律辨識；頻響函數(shù)

為了深刻地認(rèn)識主動(dòng)結(jié)構(gòu)，就一定要研究主動(dòng)結(jié)構(gòu)的控制律。本文明晰了控制律所涉及的范疇，并針對某一特定的范疇的控制律的辨識，進(jìn)行了理論推導(dǎo)，得到了一個(gè)簡單有效的辨識公式。并通過仿真和實(shí)驗(yàn)對所得的公式進(jìn)行了驗(yàn)證，證明其正確性。

1 控制律

對于單自由度主動(dòng)結(jié)構(gòu)，控制律只涉及反饋信號的類型以及反饋增益的大小。然而，對于多自由度離散系統(tǒng)的主動(dòng)結(jié)構(gòu)中，構(gòu)成“控制律”模型的要素包括：為作動(dòng)器提供反饋信號的參考點(diǎn)的位置與數(shù)量、作動(dòng)器施加激勵(lì)點(diǎn)的位置與數(shù)量、描述每個(gè)作動(dòng)器輸入輸出關(guān)系的微分方程或傳遞函數(shù)模型及其參數(shù)。

本文的控制律辨識的情形是：對于單點(diǎn)控制單點(diǎn)反饋的主動(dòng)結(jié)構(gòu)，在作動(dòng)器和反饋信號參考點(diǎn)的位置已知的情況下，對其控制反饋信號的種類及其增益大小進(jìn)行辨識。

2 辨識原理

2.1 控制律與頻響函數(shù)的關(guān)系

在所有的主動(dòng)結(jié)構(gòu)中，線性主動(dòng)結(jié)構(gòu)是一種最簡單的理想系統(tǒng)?？疾於嘧杂啥认到y(tǒng)：

[M]、[C]、[K]分別為質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣，{f(t)}與分別定義為開環(huán)和閉環(huán)載荷。其中：

[P]、[D]、[S]分別為閉環(huán)荷載加速度項(xiàng)、速度項(xiàng)及位移項(xiàng)的系數(shù)矩陣，閉環(huán)荷載亦可表述為如下形式

由公式(2b)可知：施加在任意自由度上的閉環(huán)控制力，均可表達(dá)為所有測點(diǎn)上的位移，速度以及加速度響應(yīng)的線性組合。將獨(dú)立的作動(dòng)器連接到被控制測點(diǎn)，按照設(shè)計(jì)要求把測得的位移、速度和加速度響應(yīng)進(jìn)行的相應(yīng)的線性組合，進(jìn)而獲得激振力，即可實(shí)現(xiàn)這種系統(tǒng)。把（2a）代入（1）式，可得

從上述結(jié)論可知，一般來說，主動(dòng)結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣不再對稱，且同時(shí)需要判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。主動(dòng)結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣的非對稱性會導(dǎo)致主動(dòng)結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣對稱性的破壞，還會使得主動(dòng)結(jié)構(gòu)的左右特征向量的差異。在主動(dòng)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析與參數(shù)辨識領(lǐng)域，本文將限于結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)進(jìn)行研究。

不失一般性，時(shí)域方程(1)在r點(diǎn)測量p點(diǎn)控制的情況下，主動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻域方程為

設(shè)反饋增益函數(shù)為

其中Δkpr，Δmpr和Δcpr分別為剛度矩陣、質(zhì)量矩陣及阻尼矩陣的第p行，第r列的改變值，也就是所要求的反饋增益系數(shù)。

令位置分配矢量

其中{up}的第p個(gè)元素為1，其余元素為0，{vr}的第r個(gè)元素為1，其余元素為0。那么{up}{vr}T為n×n階矩陣，其中第p行，第r列的元素為1，其余元素為0。

式(4)可進(jìn)一步變成如下形式

則主動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)可表達(dá)為如下形式

由Sherman–Morrison公式[15]

則可以推出主動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響矩陣與原被動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響矩陣之間存在如下關(guān)系

為了進(jìn)一步得到主動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)與原被動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)的關(guān)系，在式(9)左右兩端同時(shí)左乘{(lán)vm}T，右 乘{(lán)un}，由 于{vm}T[H(ω)]{un}=Hmn，整理可得

將上式中的m、n互換，可知主動(dòng)結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣的對稱性已經(jīng)被破壞。

2.2 基本辨識表達(dá)式

令m=r，式(10)可以化為如下形式

從式(24)可以推導(dǎo)出控制增益的表達(dá)式為

特殊地，令m=r，n=p，則式(10)可以化為如下形式

同理，令n=p，式(10)可以化為如下形式

從以上推導(dǎo)式可見：

(1)觀察式(5)與式(15)中函數(shù)的下標(biāo)可以看出，所用頻響函數(shù)的下標(biāo)與待求的原系數(shù)矩陣被改變元素的位置的下標(biāo)具有對稱性；

(2)由式(5)及式(15)可知，為了求得b(ω)中的增益系數(shù)Δkpr，Δcpr及Δmpr，只需和Hrp(ω)取兩個(gè)同頻率點(diǎn)的值，即可求得Δkpr，Δcpr及Δmpr。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，由于實(shí)驗(yàn)存在誤差，所以，取盡可能多的點(diǎn)應(yīng)用最小二乘法來求得增益系數(shù)。

從式(14)可以推導(dǎo)出控制增益的表達(dá)式為

公式(12)、(13)和(15)都可用于辨識系統(tǒng)的反饋增益，公式(15)是所有表達(dá)中最為簡潔的。然而，在獲取結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)的時(shí)候，由于機(jī)械系統(tǒng)的幾何構(gòu)型，整體的工藝要求，現(xiàn)場的測試條件等諸多原因，很多時(shí)候，有一些點(diǎn)的頻響函數(shù)是很難獲得的。此時(shí)，就要結(jié)合現(xiàn)場的實(shí)際情況，選取合適的公式進(jìn)行辨識。對于下面的數(shù)值算例來說，不存在上述問題，處于驗(yàn)證算法的正確性的目的，下面將選取相對比較簡單的式(15)進(jìn)行主動(dòng)結(jié)構(gòu)的控制律的辨識。

3 數(shù)值算例

構(gòu)建如圖1所示的彈簧—質(zhì)量—阻尼系統(tǒng)，然后從m 5取信號，施加于m 2，反饋的加速度，速度和位移的信號分別為-1，-2 000，-0.5，形成主動(dòng)結(jié)構(gòu)。原被動(dòng)結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的主動(dòng)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，質(zhì)量矩陣及阻尼矩陣分別為：

圖1 六自由度彈簧—質(zhì)量—阻尼系統(tǒng)

由第2節(jié)可知，為了得到原系數(shù)矩陣第2行，第5列的變化量，即控制律，需要獲得原被動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響H52及相應(yīng)的主動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響

仿真中，H52及的對數(shù)頻響幅值圖如圖2所示。

將b(ω)=-(Δkpr+jωΔcpr-ω2Δmpr)帶入式(15)中，每一對被動(dòng)頻響H52及主動(dòng)頻響H?52的對應(yīng)點(diǎn)都可以組成一個(gè)待解方程，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，為了保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定，取盡可能多的頻響函數(shù)點(diǎn)，運(yùn)用最小二乘原理將矛盾方程轉(zhuǎn)化為定解方程，就可計(jì)算Δkpr，Δcpr及Δmpr。

圖2 被動(dòng)結(jié)構(gòu)和主動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響

應(yīng)用上述方法辨識得到阻尼、質(zhì)量及剛度陣對應(yīng)位置的改變量分別為 Δc25=-4.999×10-1，Δm25=-1.000×100，Δk25=-2.000×103，與所施加的控制律相吻合。

4 結(jié)語

(1)本文對單自由度以及多自由主動(dòng)結(jié)構(gòu)的控制律進(jìn)行了簡扼的闡述，提出了辨識主動(dòng)結(jié)構(gòu)的控制律的問題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)所在；

(2)對于單點(diǎn)控制單點(diǎn)反饋的主動(dòng)結(jié)構(gòu)，在已知控制點(diǎn)和反饋點(diǎn)的位置關(guān)系的條件下，可利用主被動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)對主動(dòng)結(jié)構(gòu)的控制律進(jìn)行辨識，辨識的控制律內(nèi)容包括：反饋信號的類型，即加速度、速度和位移反饋，各種類型的反饋信號的增益等；

(3)該方法有以下三方面的優(yōu)勢1)不需重構(gòu)主動(dòng)結(jié)構(gòu)與原被動(dòng)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；2)避免對頻響函數(shù)矩陣直接求逆；3)直接利用實(shí)驗(yàn)測得的主被動(dòng)頻響函數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行擬合，省掉對頻響函數(shù)曲線進(jìn)行擬合的步驟，進(jìn)而消除了曲線擬合過程中所帶來的誤差。

本文為更復(fù)雜的控制律辨識問題，如控制點(diǎn)與反饋點(diǎn)未知的情況以及多點(diǎn)控制多點(diǎn)反饋的情形，提供了可予借鑒的觀點(diǎn)。

[1]Serrand M,Elliott S J.Multichannel feedback control for the isolation of base-excited vibration[J].Journal of Sound and Vibration,2000,234(4):681-704.

[2]Zarfam R,Khaloo A R.Vibration control of beams on elastic foundation under a moving vehicle and random lateral excitations[J].Journal of Sound and Vibration, 2012，331(6):1217-1232.

[3]陳繼峰，程遠(yuǎn)勝.具有非線性剛度動(dòng)力吸振器的隔振系統(tǒng)半主動(dòng)控制[J].噪聲與振動(dòng)控制，2006，6：1-4.

[4]趙 林，葛耀君，朱樂東.臺風(fēng)氣候大跨度橋梁風(fēng)振響應(yīng)研究[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2009，22(3)：237-245.

[5]顧 明，陸海峰.膜結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載和風(fēng)致響應(yīng)研究進(jìn)展[J].振動(dòng)與沖擊，2006，25(3)：25-28.

[6]師漢民.金屬切削理論及其應(yīng)用新探[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.

[7]Preumont A.Vibration control of active structures[M].Dordrecht,the Netherland:Kluwer Academic Publishers, 1997.

[8]Wyckaert K,Augusztinovicz F,Sas P.Vibro-acoustical modal analysis:Reciprocity,model symmetry,and model validity[J].Journal of the Acoustical Society of America，1996，100(5):3172-3181.

[9]Adhikari S,Modal analysis of linear asymmetric nonconservative systems[J].Journal of Engineering Mechanics,1999,125(12):1372-1379.

[10]M irzaeifar R,Bahai H,Shahab S,A new method for finding the first-and second-order eigenderivatives of asymmetric non-conservative systems w ith application to an FGM plate actively controlled by piezoelectric sensor/ actuators[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2008,75(12):1492-1510.

[11]Ouyang H.Prediction and assignment of latent roots of damped asymmetric systems by structural modifications [J].Mechanical Systems and Signal Processing,2009,23 (6):1920-1930.

[12]Ouisse Morvan,Foltete Emmanuel,On the properness condition for modal analysis of non-symmetric secondorder systems[J] Mechanical System and Signal Processing,2009,25(2):601-620.

[13]張景繪，龔 靖，王永剛.線性主動(dòng)結(jié)構(gòu)及模態(tài)(I、II) [J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004，25(8)：771-786.

[14]盛 嚴(yán)，龔 靖，楊正光.主動(dòng)桿系結(jié)構(gòu)的模態(tài)性質(zhì)分析[J].噪聲與振動(dòng)控制，2010，10：6-9.

[15]Golub G H,Van Loan C F,Matrix computations[M].Johns Hopkins University Press,Baltimore,MD,1983.

Control Law Identification ofActive Structures

LIU Hai-biao,SONG Han-wen

(School ofAerospace Engineering and Applied Mechanics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Active structures are applied mainly in the engineering objects which include vibroacoustics,rotor dynam ics, or active control.The control law is the key parameter which can reflect the dynam ic characteristics of the active structures.In this paper,the control law of the active structures is discussed.A formula for identifying the type of feedback signal and its gain value is obtained under single control and single feedback conditions.The method is constructed by using the frequency response function(FRF)directly.In addition,the expression of the identification method is simple and convenient for engineering application.The result of numerical simulation of an example supports the validity of this method.

vibration and wave;active structure;identification of the control law;frequency response function

1006-1355(2014)04-0119-04

TB53；O327；TB123 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.026

承受閉環(huán)控制載荷的結(jié)構(gòu)稱為“主動(dòng)結(jié)構(gòu)”；僅承受開環(huán)載荷的結(jié)構(gòu)稱為“被動(dòng)結(jié)構(gòu)”。構(gòu)成閉環(huán)控制荷載的控制律可以是認(rèn)為施加的，例如各種目的的主動(dòng)控制[1—3]，也可以是由環(huán)境因素造成的，例如橋梁風(fēng)振[4,5]和機(jī)床切削顫振[6]等。對每類主動(dòng)結(jié)構(gòu)都有特定的問題研究，例如飛機(jī)的顫振問題主要分析失穩(wěn)速度，橋梁設(shè)計(jì)要避免產(chǎn)生自激振動(dòng)。Preumont在《Vibration Control of Active Structures》[7]中論述的主動(dòng)結(jié)構(gòu)，主要以智能材料在振動(dòng)控制中的應(yīng)用為主。Wyckaert[8]討論分析了振動(dòng)聲學(xué)中的非對稱模型方程與模態(tài)分析所滿足的互易律之間的關(guān)聯(lián)，并對其模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。Adhikari[9]將經(jīng)典的模態(tài)分析進(jìn)行擴(kuò)展，使之適用于非對稱非保守系統(tǒng)。將非保守系統(tǒng)的左右特征向量用與之對應(yīng)的保守系統(tǒng)的左右特征向量的線性組合表示。將伽遼金最小誤差方法和紐曼展開法結(jié)合起來，計(jì)算上述線性組合的復(fù)常量系數(shù)。M irzaeifar等[10]為計(jì)算含有不同特征值的主動(dòng)結(jié)構(gòu)的特征值和特征向量導(dǎo)數(shù)提出了一種新方法。Ouyang[11]對剛度矩陣非對稱的主動(dòng)結(jié)構(gòu)的特征根問題進(jìn)行了研究Ouisse[12]提出一種使復(fù)模態(tài)適應(yīng)于非自伴隨系統(tǒng)的方法，并進(jìn)一步將該方法應(yīng)用于對振動(dòng)方程系數(shù)矩陣的辨識。張景繪[13]進(jìn)行了一系列主動(dòng)結(jié)構(gòu)的理論及實(shí)驗(yàn)研究。盛嚴(yán)[14]對于主動(dòng)桿系結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析問題進(jìn)行了初步的探討。

2013-09-27

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(基金編號：11322009)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(基金編號：11272235)

劉海標(biāo)(1989-)，男，吉林松原人，碩士，研究方向：模態(tài)分析、動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識。

宋漢文(1961-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。

E-mail:hwsong@#edu.cn