李海燕

摘 要：函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一。主要以技工院校的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱為依據(jù)，分別對(duì)函數(shù)奇偶性的定義、性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的判別方法及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用四方面進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：奇函數(shù)；偶函數(shù)；函數(shù)的奇偶性

函數(shù)是技工院校公共基礎(chǔ)課《數(shù)學(xué)》的核心內(nèi)容之一，而函數(shù)的奇偶性則是函數(shù)的一大特性。學(xué)好函數(shù)的奇偶性，可用它簡(jiǎn)化作圖，而且在后續(xù)學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》中也有廣泛應(yīng)用。因此，筆者認(rèn)為有必要對(duì)此性質(zhì)進(jìn)行探討。

二、關(guān)于函數(shù)奇偶性的性質(zhì)問(wèn)題

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，可總結(jié)函數(shù)奇偶性幾個(gè)重要性質(zhì)。①對(duì)稱性。奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。定義域沒(méi)有限定是什么，它可以是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，也可以是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的離散的點(diǎn)集。②整體性：函數(shù)的奇偶性是整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任一個(gè)x都必須成立。僅在定義域內(nèi)的一個(gè)真子集中討論函數(shù)的奇偶性是沒(méi)有意義的。③可逆性：f（-x）=-f（x）?f（x）是奇函數(shù)，f（-x）= f（x）?f（x）是偶函數(shù) 函數(shù)是技工院校公共基礎(chǔ)課《數(shù)學(xué)》的核心內(nèi)容之一，而函數(shù)的奇偶性則是函數(shù)的一大特性。學(xué)好函數(shù)的奇偶性，可用它簡(jiǎn)化作圖，而且在后續(xù)學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》中也有廣泛應(yīng)用。因此，筆者認(rèn)為有必要對(duì)此性質(zhì)進(jìn)行探討。

一、關(guān)于函數(shù)奇偶性的定義問(wèn)題

（1）如何定義函數(shù)奇偶性。①一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）在定義域M內(nèi)的任一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）叫偶函數(shù)。②一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）在定義域M內(nèi)的任一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）叫奇函數(shù)。

（2）學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的定義應(yīng)注意如下幾點(diǎn)。①x∈M，且為任意實(shí)數(shù)，而不是某一個(gè)。不少同學(xué)常用具體某一個(gè)數(shù)代入計(jì)算來(lái)判斷函數(shù)奇偶性，這是對(duì)函數(shù)奇偶性定義的片面理解造成的。②-x必須在定義域M內(nèi)。③f（-x）與f（x）有且只有兩種情況：相反或相等。

二、關(guān)于函數(shù)奇偶性的性質(zhì)問(wèn)題

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，可總結(jié)函數(shù)奇偶性幾個(gè)重要性質(zhì)。①對(duì)稱性。奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。定義域沒(méi)有限定是什么，它可以是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，也可以是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的離散的點(diǎn)集。②整體性：函數(shù)的奇偶性是整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任一個(gè)x都必須成立。僅在定義域內(nèi)的一個(gè)真子集中討論函數(shù)的奇偶性是沒(méi)有意義的。③可逆性：f（-x）=-f（x）?f（x）是奇函數(shù)，f（-x）= f（x）?f（x）是偶函數(shù)。④等價(jià)性：f（-x）=-f（x）?f（-x）+ f（x）=0， f（-x）=f（x）?f（-x）- f（x）=0. ⑤圖像的對(duì)稱性：1）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。2）偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。但如果反過(guò)來(lái)說(shuō)還成立嗎？3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像是奇函數(shù)。4）關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像是偶函數(shù)。顯然，這樣的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，例如以原點(diǎn)為圓心的單位圓x2+y2=1，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也關(guān)于y軸對(duì)稱，而它的圖像卻是由兩個(gè)偶函數(shù)的圖像拼接而成，可見(jiàn)x2+y2=1并不具有奇偶性。然而，這樣的兩個(gè)結(jié)論也是正確的：5）如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。6）如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。因?yàn)檫@兩點(diǎn)說(shuō)明了所論的曲線為某函數(shù)的圖像，由函數(shù)定義知道，它與平行y軸的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，即有唯一的值。

三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的判別方法問(wèn)題

如何判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性？其實(shí)，函數(shù)奇偶性的判別方法有很多種，下面筆者將以定義判定法為例進(jìn)行分析。判斷函數(shù)的奇偶性有兩個(gè)重要的步驟：①先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，再驗(yàn)證f（-x）=-f（x）或f（-x）= f（x）對(duì)于定義域中的任意x是否成立。兩個(gè)步驟中，第一步最重要，如果不能滿足第一條件，即使第二條件成立也不能判斷函數(shù)的奇偶性。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生只利用第二步來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性，這是錯(cuò)誤的做法。根據(jù)上述步驟，我們可以把函數(shù)按奇偶性分為：奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)四種類型。

總之，函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的過(guò)程中，應(yīng)深刻理解函數(shù)奇偶性的概念，靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性的判斷方法，在應(yīng)用上才能得心應(yīng)手，運(yùn)用自如。

參考文獻(xiàn)：

[1]張淼.函數(shù)奇偶性的判定方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2012（9）.

[2]王賽.函數(shù)奇偶性的判定及其應(yīng)用[J].教育界，2013（27）.

（廣東湛江市技師學(xué)院）

總之，函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的過(guò)程中，應(yīng)深刻理解函數(shù)奇偶性的概念，靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性的判斷方法，在應(yīng)用上才能得心應(yīng)手，運(yùn)用自如。

參考文獻(xiàn)：

[1]張淼.函數(shù)奇偶性的判定方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2012（9）.

[2]王賽.函數(shù)奇偶性的判定及其應(yīng)用[J].教育界，2013（27）.

（廣東湛江市技師學(xué)院）