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        例述2014年浙江省數(shù)學(xué)高考中的圖形交匯考查

        2014-08-27 03:39:26沈順良海鹽縣教研室浙江海鹽314300
        關(guān)鍵詞:交匯二面角理科

        ●沈順良 (海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

        幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要領(lǐng)域,圖像法是解決問題的重要方法.2014年浙江省數(shù)學(xué)高考對圖形通過各種交匯的方式進行了綜合、全面、靈活的考查.

        1 形與數(shù)的交匯

        數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)思想,浙江省數(shù)學(xué)高考重視利用數(shù)形結(jié)合解決問題的考查.

        例1 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,則 ( )

        A.c≤3 B.3 <c≤6

        C.6 <c≤9 D.c>9

        (2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

        分析本題除了可用代入法求解外,還可以將已知條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)圖像.令f(-1)=f(-2)=f(-3)=m,則f(x)-m=3有3個根 -1,-2,-3,而 f(x)的3次項系數(shù)為 1,故

        圖1

        代入并展開得

        由于0<m≤3,即

        從而6<c≤9.故選C.

        一般按分段函數(shù)的代數(shù)解法需要進行2個層次a和f(a)的分類討論,而利用f(x)的圖像則能避免分類討論.首先由圖像易知f(a)≥-2,再次利用f(a)的圖像就得答案(-∞,2].

        2 函數(shù)圖像的交匯

        中學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)了一次、二次、反比例、指數(shù)、對數(shù)、冪、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖像,它們是獲得各類函數(shù)性質(zhì)并解決問題的重要內(nèi)容,浙江省數(shù)學(xué)高考注重對基本函數(shù)圖像的綜合考查.

        (2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

        分析本題涉及3個函數(shù)圖像的交匯,它們在[0,1]上的圖像如圖2所示.

        圖2

        f1(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,則

        3 動態(tài)圖形的交匯

        當(dāng)圖形對應(yīng)的代數(shù)形式中含有參數(shù),或圖形本身是一般情形,此時的圖形是動態(tài)的,需要綜合把握所有的圖形.

        圖3

        (2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

        (2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

        分析從平面向量的幾何意義看,這是一般平行四邊形的邊長和對角線長度的關(guān)系問題,邊長分別為|a|,|b|,對角線長分別為|a+b|,|a-b|.將動態(tài)的平行四邊形轉(zhuǎn)化為動態(tài)的基本三角形(銳角、直角和鈍角),就可得到答案為D.此題的另一解法是利用平行四邊形的性質(zhì):|a+b|2+|ab|2=2(|a|2+|b|2),2邊同除2直接得到答案.

        4 圖形與實際應(yīng)用的交匯

        在實際應(yīng)用背景下,可以將各信息轉(zhuǎn)化到幾何圖形中的條件進行數(shù)學(xué)化,然后通過數(shù)學(xué)方法解決該圖形問題,考查了學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化并進行解決的能力.

        例5 如圖4,某人在垂直水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓(xùn)練.已知點A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點P沿墻面的射擊線CM移動,此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P,需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,則 tanθ 的最大值______.

        圖4

        (2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

        分析作PD⊥BC,聯(lián)結(jié) AD,AP,就將由點 A觀察點P的仰角θ轉(zhuǎn)化為Rt△PDA中的∠PAD.只要令PD=x,則DC =x,由余弦定理得

        5 立體與平面圖形的交匯

        立體圖形的解決,往往可化歸為平面圖形,如線面角和二面角轉(zhuǎn)化為2條相交直線所成的角,然后利用平面基本圖形或解三角形來解.

        例6 如圖 5,在四棱錐 A-BCDE中,平面ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC =

        (1)證明:DE⊥平面ACD.

        (2)求二面角B-AD-E的大小.

        (2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

        圖5 圖6

        分析(1)略.

        (2)二面角的2個半平面涉及△ADE和△ABE,只要過棱上一點分別在2個三角形內(nèi)作棱的垂線,即可得二面角的平面角∠BFG,然后利用解三角形求之.

        方法1 如圖5,過點B作BF⊥AD,再作FG∥DE,聯(lián)結(jié) BG,分別在△ADE,△ADB,△ABE 中求出△BFG的邊長.

        方法2 如圖6,由于ED⊥AD,只要過點D作AB的垂線交AB延長線于點F,則∠EDF是二面角的平面角.在Rt△ADE中,由勾股定理得AE =;在△ADB中,AD =,BD =,AB=2,由三角形相似得DF =,BF=1;在△AFE中,先由△EBA解得,再用余弦定理得EF=1;在△FDE中,DE=EF=1,DF =,可解得∠EDF=.

        上述例舉了2014年浙江省數(shù)學(xué)高考中對圖形交匯的考查,它要求我們在日常教學(xué)中重視對幾何圖形的整體把握和化歸,注重數(shù)形結(jié)合思想的運用,對下一屆數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)起到了較好的導(dǎo)向作用.

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