●

(湖州市教育科學(xué)研究中心 浙江湖州 313000)

2014年高考已經(jīng)落下帷幕，有相當一部分浙江考生認為2014年的數(shù)學(xué)理科試題很難，考得不理想.筆者也試著限時2小時去做該試題，感觸頗深.首先試題嚴格遵循《浙江省普通高考考試說明》的標準，一點也不超綱、試題也不偏不怪，在全面考查基礎(chǔ)知識和基本技能的同時，突出表現(xiàn)了“重思維、重本質(zhì)”的特點；其次試題還有“重運算”的特點，對運算的要求較高，特別是含有字母的代數(shù)式運算，與前幾年相比有明顯增加，例如第6，8～10，13，15～17，21，22題等涉及代數(shù)式運算，但每道題并沒有想象中的那么難.筆者又將該試題與2013年的試題作了對比研究，發(fā)現(xiàn)2014年每一類題目，如選擇題、填空題、解答題的最后2題也都沒有2013年的難，但不少師生卻覺得比2013年難.那么，2014年的浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題到底難在何處呢？

筆者認為，對相當一部分浙江考生來說，2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題很大程度上是難在運算上.拿到省考試院印發(fā)的命題組提供的參考答案，印象最深的是命題組給出的考查意圖中對運算考查的描述：選擇題和填空題的考查意圖都是考查基礎(chǔ)知識和基本運算；解答題第18～20題的考查意圖是除考查該題所在知識外，同時考查運算求解能力；第21，22題則還要考查綜合解題能力.盡管部分考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握得較扎實，但是若他們對運算不重視、運算技能不過關(guān)、算法不合理簡捷，那么要獲得理想成績還是比較困難的.筆者的切身體會是：該試題擊中了當前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中相當普遍的一個軟肋——對運算教學(xué)不夠重視、有關(guān)運算的教學(xué)沒落實.這將給高中數(shù)學(xué)教學(xué)以正確的導(dǎo)向，同時給高中數(shù)學(xué)教師留下了一定的反思空間.

說到運算教學(xué)，在平時的課堂教學(xué)調(diào)研中常會發(fā)現(xiàn)，有一些師生是比較輕視的：他們認為運算教學(xué)是次要的、枯燥的，也不需要動腦去思考，所含的思維價值比較低，不需花大力氣去教學(xué)，不少學(xué)生平時用計算器代替筆算、心算等；也有一些高中數(shù)學(xué)教師雖然口頭上說運算教學(xué)是重要的，但沒放在心里、落到實處，反而把運算教學(xué)簡單化了，以為運算教學(xué)就是掌握好運算技能，反而認為學(xué)生早在義務(wù)教育階段就應(yīng)落實好運算技能，在高中階段又有比運算更重要的教學(xué)任務(wù)，再加上為了趕進度而導(dǎo)致課時緊，在具體課堂教學(xué)中就把運算教學(xué)給忽視了，只想在課后的大量練習(xí)中提高學(xué)生的運算能力.這些教學(xué)情況是較普遍的，這也說明在高中階段不少師生對運算教學(xué)的認識不夠重視、不夠到位、也沒有真正去落實.然而不少專家、學(xué)者卻是對運算教學(xué)非常重視的.《浙江省普通高考考試說明》在能力要求中，對運算求解能力的描述是：會根據(jù)法則和公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算；在考查要求中，對運算求解能力的考查主要考查計算和推理能力.章建躍教授認為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)是學(xué)會運算和推理，運算離不開推理，“能推理、會運算”是從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的基本素質(zhì).因此，筆者呼吁要真的重視和落實運算教學(xué)，將專家、學(xué)者對運算教學(xué)的重視落到具體的教學(xué)實踐中去.

1 要堅定落實運算教學(xué)的基本要求——運算科學(xué)、準確

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

分析要求出雙曲線的離心率，只要找到a,b的數(shù)量關(guān)系即可.根據(jù)條件容易列出關(guān)于a,b的等量關(guān)系，下面只需科學(xué)、準確地運算就能得出答案.

雖然許多考生都知道例1該怎么做，但此題的得分并不高，此題參與運算的字母有3個，讓運算技能不過關(guān)的考生看著就頭疼，運算不仔細，導(dǎo)致運算失誤，從而出現(xiàn)了“會而不對”的現(xiàn)象，考后才說“運算傷不起”，“算容易、算對不易，且算且仔細”.第21題的情況與此題類似，重點考查含字母的代數(shù)運算，需要扎實的運算基本功.這說明在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的運算需達到科學(xué)、準確，這樣才算基本功達標.

例2在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=

( )

A.45 B.60 C.120 D.210

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第5題)

分析本題考查二項式定理和基本的代數(shù)運算.只需結(jié)合二項式定理列出算式，求得結(jié)果即可，這是基本的通法.若考生的思維深刻且運算能力較強，則解法可以更簡單.

解法1由題意得

f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=

20+60+36+4=120.

評注當前人們對運算有一些誤解，認為運算就是按照各種運算法則進行加、減、乘、除，按照算法規(guī)則進行邏輯推理而獲得正確結(jié)果，這僅僅是運算的一個方面.更重要的是，在運算中包含著對算法的構(gòu)造、設(shè)計、選擇，對算理的理解、運用等.像例2這樣的題，雖然看似簡單，但內(nèi)涵豐富，是加強運算教學(xué)的一個好例題.在平時教學(xué)時，教師可要求學(xué)生不能滿足于會算就行，還要鼓勵學(xué)生思考有沒有更新、更好的算法.若能構(gòu)造出新的算法，既能提升思維能力，又能與原算法相互印證，從而確保運算的科學(xué)、準確.

2 要努力落實運算教學(xué)的較高要求——運算合理、迅速

一個數(shù)學(xué)問題可以有多種不同的表征，不同的表征方式可以得出不同的算法.通常來說，運算錯誤不僅僅是運算技能不過關(guān)，更主要的是算法不合理.能減少運算量、縮短思維長度、優(yōu)化解題過程的算法是好算法.在平時教學(xué)中，課堂上應(yīng)多展示不同的算法，讓學(xué)生合理地設(shè)計和選擇適合自己的好算法，要努力落實運算教學(xué)的較高要求，使運算合理、迅速，明白算理和實質(zhì).選擇好算法是在具備相關(guān)知識并形成一定的運算經(jīng)驗后形成的，能迅速設(shè)計好算法是數(shù)學(xué)能力強的表現(xiàn)之一.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

分析本題主要考查簡單的分段函數(shù)和基本運算，可以從代數(shù)角度和函數(shù)圖像角度進行分析，各有特色，適合不同的考生，對運算能力的考查也不盡相同.

f(a)≥-2，

從而

解得

評注本題用代數(shù)運算與數(shù)形結(jié)合思想等多種角度考查考生對于簡單分段函數(shù)的理解.本題的代數(shù)運算并不繁雜，數(shù)形結(jié)合的算法就更簡捷了，但考生的得分并不高，難在對算理的理解上.不管是代數(shù)算法還是數(shù)形結(jié)合算法，都要清晰地明白算理，也就是要將本題中函數(shù)的自變量分層次，先將f(a)看成函數(shù)的自變量，再將實數(shù)看成函數(shù)f(a)的自變量，那么問題很快就迎刃而解.由此，在平時的運算教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生進行多種算法構(gòu)造、設(shè)計、選擇的體驗，更重要的是要讓學(xué)生增強對算理的理解和運用，這樣可以使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法的真諦.

例4已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(其中m≥3,n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(其中i=1,2)個球放入甲盒中.

(1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(其中i=1,2)；

(2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為Pi(其中i=1,2)，則

( )

A.P1>P2,E(ξ1)

B.P1E(ξ2)

C.P1>P2,E(ξ1)>E(ξ2)

D.P1

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

分析本題是摸球問題，背景公平，考查數(shù)學(xué)的概念和本質(zhì)，是2014年的亮點題之一.本題主要考查概率統(tǒng)計中的概率、離散型隨機變量均值的概念，具體的運算求解方式有很多，考生可選擇一個適合自己的好算法.

解法1對題目所給條件、結(jié)合概念直接表征為概率模型，運用古典概率公式和均值公式，通過運算硬做，雖然運算量較大但還是可行的.

解法2由于本題是選擇題，不需小題大做，可將m,n賦值，通過特殊值法減少運算量.不妨設(shè)m=3，n=3，具體過程如下：

從而P1>P2.

從而E(ξ1)

解法3抓住本題中概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)本質(zhì):Pi(其中i=1,2)為放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的可能性;E(ξ)為隨機變量ξ的均值，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.仔細分析此題的背景并合理類比，將此題中離散型隨機變量的概率統(tǒng)計問題類比成溶液中溶質(zhì)的“物質(zhì)的量的濃度”和溶液中溶質(zhì)質(zhì)量問題.

不妨大膽想象，原題類比為：甲容器中有1升的純酒精，乙容器中有若干升的含水酒精，分別從乙容器里取出1升、2升含水酒精，倒入甲容器，比較這2次倒入含水酒精后，甲容器里的純酒精物質(zhì)的量以及純酒精的濃度.很容易估算出，倒入2升含水酒精后比倒入1升后，甲容器里的酒精濃度在減少，純酒精的物質(zhì)的量在增加.由此類比，可得P1>P2，E(ξ1)

評注本題背景深刻，表征多元.在給出的3種算法中：第1種是精確運算；第2種是特殊條件下簡化版的定量運算；第3種算法其實是估算，是對事物本質(zhì)的直覺判斷，故運算量最少.估算是對面臨情況的一種整體把握，是通過與頭腦中已有數(shù)學(xué)模型的類比而實現(xiàn)的，因而是一種定性思維形式，這種數(shù)學(xué)思維具有更大的靈活性和可變通性.在現(xiàn)實世界中，精確是相對的，模糊是絕對的，因此，對事物發(fā)生發(fā)展的可能性的估計、對結(jié)果的可能性的判斷以及相應(yīng)的對行動方案的選擇，都需要人們的估算能力.

3 要爭取達到運算教學(xué)的理想狀態(tài)——運算靈活、巧妙

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

解因為a+b和a-b是以a，b為鄰邊的平行四邊形的對角線，所以

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，

max{|a+b|2,|a-b|2}.

評注本題考查平面向量的運算和幾何意義，形式新穎，能力立意，突出本質(zhì).本題從已知條件中隱含的恒等式|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)來推導(dǎo)出一個不等式的結(jié)論，極具思維的靈活性.解題所依據(jù)的是一個非常淺顯的原理——2個實數(shù)的平均值不大于這2個實數(shù)的最大值，這只需直覺上的估算即可得出.但這種直覺上的估算是非常靈活、巧妙的，這樣的算法是返璞歸真的.

教師都會想方設(shè)法讓學(xué)生在運算時更靈活、巧妙，盡心追求理想的運算教學(xué)狀態(tài).這種靈活、巧妙的運算能力反映了學(xué)生在面臨數(shù)學(xué)問題時的判斷和選擇能力，形成這種素質(zhì)的基礎(chǔ)是精確計算的訓(xùn)練.在精確計算過程中，一方面要求學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上講究算法的合理性，并在計算速度上達到一定水平；另一方面，在此基礎(chǔ)上要求學(xué)生不斷對計算結(jié)果進行估計和判斷，以使學(xué)生形成適合于估算的直覺，進而培養(yǎng)對事物發(fā)展前景和結(jié)果的判斷能力.在處理問題時，人們可以憑借這種靈活、巧妙的運算直覺，對采取什么方法、方法的可行性以及可能的結(jié)果等等作出判斷，也即“能思故我在，會算故我強”.

眾所周知，計算和演繹是數(shù)學(xué)中緊密結(jié)合在一起的過程，從某種意義上說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要作用是形成“算法的思維”，培養(yǎng)按照規(guī)定的運算程序進行計算的習(xí)慣和設(shè)計新的計算程序的能力(實際上，數(shù)學(xué)的公式、法則、定理等等都可以理解為規(guī)定好的計算程序).運算教學(xué)時以算法思想統(tǒng)帥數(shù)學(xué)解題活動，扎實作好算法分析、算法設(shè)計、算法評價，真正做到在正式動手之前算理明晰、算法合理.教師們真的需要重視并落實好運算教學(xué)，使運算教學(xué)成為數(shù)學(xué)課堂中一項重要的教學(xué)活動.學(xué)生數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性和運用數(shù)學(xué)的能力都可以從運算教學(xué)中得到培養(yǎng)，讓我們一起努力，真正實現(xiàn)運算教學(xué)的育人功能.