陳 羿,郝 鵬,陸云光

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

1 正 文

在以下定理中，Murat給出了證明η(uε)t+q(uε)x的H-1緊性的標準方法.

證明過程見參考文獻[2].

下面來看如何利用上述的定理證明標量方程關于η(uε)t+q(uε)x的H-1緊性.首先，在標量方程的右端加上黏性項

ut+f(u)x=εuxx,

(1)

存在有界可測初值

u(x,0)=u0(x),

(2)

對每個固定的ε，因為初值在L∞空間中有界，則由拋物型方程的極值原理知，黏性解uε有先驗L∞估計：

||uε(x,t)||L∞≤||u0(x)||L∞,

(3)

這表明了t>0時，uε的存在性，見參考文獻[2].

(4)

因而,

(5)

對任意熵η∈C2，由方程(1)可得

(6)

其中，q是相應于熵η的熵流.

對于非線性雙曲方程組

ut+f(u,v)x=0,vt+g(u,v)x=0,

(7)

我們同樣在方程組(7)的右端添加黏性項，接著研究拋物型方程組

ut+f(u,v)x=εuxx,vt+g(u,v)x=εvxx,

(8)

存在有界可測初值

(u(x,0),v(x,0))=(u0(x),v0(x))

(9)

的柯西問題.

對每一個固定的ε，假設解(uuε,vε)一致有界:

|uε|≤M, |vε|≤M.

如果方程組(7)有一嚴格凸熵η(u,v)，則有

(10)

或者

(11)

其中c0是一個正的常數(shù).運用證明結(jié)論(5)的相同技巧，有

(12)

從而對任意光滑的熵-熵流(η,q)，可證明η(uε)t+q(uε)x的H-1緊性.

此處還有些例外.

1.對某些方程組，我們不容易得到一個嚴格凸熵.

2.對某些方程組，建立的熵-熵流不光滑或者不在C2空間內(nèi).

例1研究特殊的二次流方程組

(13)

帶有界可測初值

(u(x,0),v(x,0))=(u0(x),v0(x)) (v0(x)≥0)

(14)

的柯西問題廣義解的存在性，更多結(jié)果見參考文獻[3-4].

令映射F:2→2定義為

則

其特征方程為

λ2-4uλ+3u2-v2=0.

于是方程組(13)的兩個特征值為

(15)

其相應的右特征向量為

其中s=u2+v2.

方程組(13)的黎曼不變量w(u,v)與z(u,v)為滿足

(16)

的函數(shù).方程組(16)的一個解為

經(jīng)過簡單計算,我們有

(17)

因此由式(15)知在(0,0)點λ1=λ2,從而方程組(13)在該點非嚴格雙曲;而且由式(17)知第一、二特征場分別在v=0,u≥0和v=0,u≤0上線性退化.

即

(18)

(19)

由黎曼不變量的定義,容易驗證

▽w(u,v)·dF(u,v)=λ2▽w(u,v),▽z(u,v)·dF(u,v)=λ1▽z(u,v).

(20)

(21)

注意到

即得下述形式的熵方程:

(22)

作從(u,v)到(u,s)的變量變換,令

則由鏈式法則有

于是熵方程(19)變?yōu)楹唵蔚姆匠?

ηss=1/4s·ηu u.

(23)

因而相應于熵η的熵流q滿足

qu=2uηu+2sηs.

(24)

若函數(shù)η=h(s)eku(k∈+)為方程(23)的解,則

(25)

這是經(jīng)典的Fuchsian方程.

方程(25)具有一個下述級數(shù)形式的解:

(26)

其中系數(shù)c0為任意正常數(shù),cn滿足

于是由二階線性常微分方程理論知

(27)

為方程(25)的一個與φ1(r)線性無關的解.

若ηk=a(s)φ(r)eku,則由(24)得

從而相應于熵ηk的一個熵流qk為

令η-k=a(s)φ(r)e-ku,則由(24),相應于熵η-k的一個熵流q-k為

關于Fuchsian方程

φ″(r)-(1+c/r2)φ(r)=0 (c∈)

(28)

的兩個解φ1(r)和φ2(r)在無窮遠處的性態(tài),我們有下述引理:

(29)

(30)

其中c1與c2是適當?shù)恼?shù).

證明過程見參考文獻[2].

(31)

而

(32)

進一步，

(33)

由于

(34)

因此

(35)

(36)

(37)

有

(38)

(39)

現(xiàn)在回到式(38)，就有

例2歐拉坐標系下的等熵氣體動力學方程組

(40)

帶有界可測初值

(ρ(x,0),u(x,0))=(ρ0(x),u0(x)),

(41)

的柯西問題.其中，ρ和u分別表示氣體的密度和速度，ρ0(x)>0,P=P(ρ)是壓強，詳見文[5].

對于多方氣體，P取特殊形式P(ρ)=cργ，其中γ>1，c是任意正常數(shù)，其任意弱熵可以用以下顯式公式表示:

(42)

用(η0ρ,q0ρ)乘下面的拋物型方程組

(43)

有

(44)

其中q0是相應于η0的熵流.然后利用嚴格凸熵

(45)

我們首先得到

(46)

(47)

現(xiàn)在我們研究更一般壓強P(ρ)的H-1下的緊性.我們構(gòu)造一列正則的雙曲方程組

(48)

來接近方程組(40),式(48)中的δ>0表示一個正則擾動常數(shù)，而擾動壓強

(49)

函數(shù)P(ρ)∈C2(0,∞)滿足

P′(ρ)>0, 2P′(ρ)+ρP″(ρ)>0, ?ρ>0.

經(jīng)過簡單計算,方程組(48)的兩個特征值為

其相應的右特征向量為

方程組(48)的兩個黎曼不變量是

其中m=ρu.此外

因此對固定的δ>0,方程組(48)在區(qū)域ρ>2δ內(nèi)嚴格雙曲而在ρ=2δ上非嚴格雙曲;并且兩個特征場都在區(qū)域ρ≥2δ上真正非線性.

就光滑解而言，方程組(48)等價于如下系統(tǒng)

(50)

特別地，這兩個方程組有著相同的熵-熵流.因此方程組(48)的任一熵-熵流(η(ρ,m),q(ρ,m))滿足方程組

(51)

從(51)中消去q得

(52)

考慮相關拋物方程組

(53)

帶初值

(ρ(x,0),u(x,0))=(ρ0(x)+2δ,u0(x)).

(54)

的柯西問題.

容易驗證方程組(40)或(48)有個凸熵

(55)

及相應的熵流

(56)

ε(ρx,mx)·▽2η*(ρ,m)·(ρx,mx)T

(57)

(58)

(59)

設(η(ρ,u),q(ρ,u)),(η(ρ,u),q1(ρ,u,δ))分別為方程組(40),(48)的熵-熵流，這是因為它們和(53)熵相同但是熵流不同.用(ηρ,ηu)乘(59),得

(60)

如果(40)的弱熵有形式η(ρ,u)=ρH(ρ,u),其中H(ρ,u)是任一光滑函數(shù).所以由熵方程(52)得

(61)

其中g(u)是任一光滑函數(shù).上式兩端關于ρ積分有

(62)

這是因為η(0,u)=0.所以

(63)

(64)

把等式(63),(64)代入(60)并利用熵方程(52)得

η(ρε,mε)t+q(ρε,mε)x=I1+I2+I3,

(65)

其中

I1=εη(ρε,mε)xx-(q1(ρε,mε,δ)-q(ρε,mε))x,

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

其中e≥0是常數(shù).利用Vol’pert定理和(70)中給定的極限，有以下估計

(71)

(72)

注1我們只能證明形式為η(ρ,u)=ρH(ρ,u)的弱熵的H-1緊性.對于η(0,u)=0的一般弱熵，H-1緊性仍不明顯.

例3研究非線性非嚴格雙曲方程組

(73)

帶有界可測初值

(ρ(x,0),u(x,0))=(ρ0(x),u0(x)),ρ0(x)≥0,

(74)

通過簡單計算，得到方程組(73)的兩個特征值：

λ1=u-θρθ,λ2=u+θρθ

(75)

其相應的右特征量為

r1=(1,-θρθ-1)T,r2=(1,θρθ-1)T;

(76)

其相應的兩個黎曼不變量為

z=u-ρθ,w=u+ρθ;

(77)

且

(78)

因此，由式(75)知直線ρ=0上λ1=λ2，從而方程組(73)非嚴格雙曲，由式(78)知γ>3時兩個特征場都在ρ=0上線性退化.當1<γ<3時，在ρ=∞上線性退化.

方程組(73)的任一熵-熵流(η(ρ,u),q(ρ,u))滿足方程組

(79)

消去q得

ηρρ=θ2ργ-3ηu u.

(80)

現(xiàn)在考慮相關的拋物型方程組

(81)

帶初值(74)的柯西問題.

分別用(wρ,wu)和(zρ,zu)乘方程(81)，得

(82)

和

(83)

若把(82)和(83)分別視為變量w和z的不等式，則利用極值原理得到估計w(ρε,uε)≤M,z(ρε,uε)≥-M,利用(81)的第一個方程得到ρ≥0.這表明

∑={(ρ,u):w(ρ,u)≤M,z(ρ,u)≥-M,ρ≥0}

是方程組(81)的一個不變域.因此可得到估計0≤ρε≤M1，||uε||≤M1，M1為不依賴于ε的適當常數(shù).

方程組(73)的一類弱熵由

(84)

給出，相應于η0的弱熵流q0則為

(85)

方程組(73)的兩類強熵則由如下給出：

(86)

相應于η±的強熵流q±則為

(87)

其中g(ξ)是(-∞,∞)中具有緊支集的光滑函數(shù)，且基本解為

(88)

定理2對于柯西問題(81)和(74)的黏性解(ρε(x,t),uε(x,t))，設方程組(73)的熵η(ρ,u)滿足

(89)

在0≤ρ≤M1,|u|≤M1上有界，則當ε→0時，

η(ρε(x,t),uε(x,t))t+q(ρε(x,t),uε(x,t))x

(90)

證明利用熵方程(80)可得到方程組(73)的一個凸熵.

(91)

ε(ρx,ux)·▽2η*(ρ,u)·(ρx,ux)T

(92)

(93)

利用熵方程(80)及條件ηρ(0,u)=0，有

(94)

(95)

因此，

(96)

其中M,M2是正常數(shù).

用(η(ρ,u)ρ,η(ρ,u)u)乘(81)得

(97)

利用(96)的第一個估計式和(93)以及ηu的有界性，有

(98)

利用(96)的第二個估計式和(93),并注意到ηu u有界及ηρρ=θ2ργ-3ηu u，有

(99)

定理3對于柯西問題(81)和(74)的黏性解(ρε(x,t),uε(x,t))，當ε→0

ηj(ρε(x,t),uε(x,t))t+qj(ρε(x,t),uε(x,t))x,(j=1,2,3)

(100)

(101)

(102)

η±,η0由(84),(86)給出，qj是相應于ηj的熵流.

證明僅證明(η1,q1)的情況，(ηj,qj),j=2,3的證明過程類似.令τ=ξ-w，則

(103)

因此

(104)

因為-1<2λ<0，所以上式右端第一項當ρ→0時趨于0，在(104)右端的第二項中，令τ=ρθs，則有

(105)

這是由于(ρθ)2λ+1ρ-1=1，所以

(106)

類似地，有

(107)

因此

(108)

所以

(109)

于是把(106)和(109)結(jié)合就有η1(ρ,u)ρ|ρ=0=0.顯然η1關于變量u光滑，所以利用定理2即得到定理3的證明.

例4帶松弛與擴散的一般2×2擬線性守恒律

(110)

帶可測初值

(v,u)|t=0=(v0(x),u0(x))

(111)

的柯西問題關于剛性松弛與控制擴散的奇異極限.(110)中的第二個方程包含一個松弛裝置，h(v)是u的平衡值，τ是松弛時間；ε是擴散系數(shù).松弛項在一些適當坐標系下的系統(tǒng)中起阻尼作用.

定理4設f,g∈C1(R2),h∈C2(R)且τ=o(ε)(ε→0).如果柯西問題(110)-(111)的解(vε,uε)對任意給定的時間T有先驗L∞界：

|(vε,uε)(x,t)|≤M(T), (x,t)∈R×[0,T],

(112)

其中，常數(shù)M(T)>0與ε無關，那么存在子列(vεk,uεk)，當εk→0.時，強收斂于(v,u).

當使用補償列緊方法證明定理4時，主要技巧在于證明以下估計.

引理2若柯西問題(110)-(111)的解有先驗L∞界(112)且f,g∈C1(R2),h∈C2(R)，則

(113)

如果M1τ≤ε對某個大常數(shù)M1>0.

證明過程見參考文獻[2].

定理4的證明我們把方程組(110)中的第一個方程改寫為:

vt+f(v,h(v))x=εvxx+(f(v,h(v))-f(v,u))x.

(114)

設(η(v),q(v))是標量方程

vt+f(v,h(v))x=0

的任一熵-熵流,則用η′(v)乘方程(114),我們有

(115)

其中γi(i=1,2)在u與h(v)之間取值.

由(113)中的估計式,在任意緊集Ω?×+上有

因此由關于標量方程的緊性框架即得{vε}的強收斂性.再由(113)中的第二個估計可得{uε}的強收斂性.這就完成了定理4的證明.

[1]Chen G Q,Lu Y G. The study on the appliaction of the theory of compensated compactness[J].Chinese Science Bulletin,1989(1):641-644.

[2]Lu Y G, Cheng Z X.Hyperbolic conservation laws and compensated compactness method[M].Beijing:Science Press,2011:15-16;42-44;163-164.

[3]Lu Y G. Cauchy problem for a hyperbolic model[J].Nonlinear Anal TMA,1994,23(9):1135-1144.

[4]Lu Y G. Convergence of the viscosity method for a nonstrictly hyperbolic system[J].Acta Math Sci,1992(2):230-239.

[5]Lions P L,Perthame B,Tadmor E.Existence and stablitity of entropy solutions for the hyperbolic systems of istropic gas dynamics in Eulerian and Lagrangian coordinates[J].Comm Pure Appl Math,1996,49(6):599-638.

[6]Lu Y G. The global H?lder-continous solution of isentropic gas dynamic[J].Proc Royal Soc Edinburgh,1993,123(2):231-238.

[7]Chen G Q,Lu Y G.Convergence of the approximation solution solution to isentropic gas dynamics[J].Acta Math Sci,1990(10):39-46.