王 玲，周 強(qiáng),李凱鴻,肖海軍

(1.武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

基于改進(jìn)Hotelling模型的礦產(chǎn)資源價(jià)格增長(zhǎng)率研究

王 玲1，周 強(qiáng)2,李凱鴻2,肖海軍2

(1.武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

基于Hotelling模型，引入“資源儲(chǔ)存”和“技術(shù)進(jìn)步”等因素，建立非再生資源最優(yōu)化開采模型.在假設(shè)成本和需求函數(shù)已知的情況下,研究了兩種不同開采速度的礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格的增長(zhǎng)率問題,并對(duì)兩者的增長(zhǎng)率進(jìn)行了比較研究.理論研究和實(shí)證分析均表明,在一段較長(zhǎng)的時(shí)期, 礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格的增長(zhǎng)率具有如下規(guī)律:其一,常態(tài)開采狀況下的市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率在一段時(shí)期內(nèi)幾乎為零;其二,若礦產(chǎn)資源加速開采,則必然加速可耗竭資源的耗竭速度,但其價(jià)格增長(zhǎng)率會(huì)呈逐漸降低的趨勢(shì).

Hotelling準(zhǔn)則;不可再生資源;增長(zhǎng)率;耗竭速度;儲(chǔ)存量

我國(guó)正處于工業(yè)化發(fā)展中期,無論是基礎(chǔ)設(shè)施完備程度、社會(huì)財(cái)富積累水平,還是經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和城市化率,與先期工業(yè)化國(guó)家相比都有很大的差距,經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)依賴能源和礦產(chǎn)資源大量、快速耗費(fèi)來支撐的趨勢(shì)短期內(nèi)難以改變. 工業(yè)化是人類將自然資源轉(zhuǎn)化為財(cái)富的過程,當(dāng)社會(huì)財(cái)富積累到一定水平,基本完成工業(yè)化時(shí),經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)發(fā)生重大變化,重要礦產(chǎn)資源消費(fèi)量開始不再增長(zhǎng)或下降. 礦產(chǎn)資源的可持續(xù)利用和最適耗竭速度的研究是資源經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心主題之一，Hotelling[1]的經(jīng)典論文《可耗竭資源經(jīng)濟(jì)學(xué)》奠定了非再生資源經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，開創(chuàng)了可耗竭資源的持續(xù)利用研究領(lǐng)域.Dasgupta[2]，Conrad[3]等數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家在可耗竭資源最佳配置領(lǐng)域又進(jìn)行了深入的研究.礦產(chǎn)資源的合理開發(fā)利用對(duì)一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展具有重要的基礎(chǔ)作用.在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下,礦產(chǎn)資源在其壽命周期內(nèi)的開發(fā)利用過程，蘊(yùn)含著技術(shù)進(jìn)步率、礦產(chǎn)資源耗竭速度以及礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格之間的豐富關(guān)系. 因此,研究礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格的變化規(guī)律對(duì)揭示技術(shù)進(jìn)步與資源耗竭速度的狀況有著重要的意義.

Hotelling非再生資源開采模型表明, 礦產(chǎn)資源影子價(jià)格的增長(zhǎng)率應(yīng)該與利息率一致[1]. 這一結(jié)論通常稱為“Hotelling準(zhǔn)則”.然而,隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,“Hotelling準(zhǔn)則”在充分描述礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格的客觀規(guī)律時(shí)卻存在著一些局限性.主要原因有：

1)Hotelling非再生資源開采模型是基于開采成本不依賴于礦產(chǎn)資源的儲(chǔ)存量,或不依賴于已開采礦產(chǎn)資源的累積量的假設(shè). 事實(shí)上,Hotelling最初的思想是假設(shè)邊際開采成本既不取決于開采速度,也不依賴于礦產(chǎn)資源的儲(chǔ)存量.許多研究人員也遵循這一假設(shè),同時(shí),也有另一些研究人員認(rèn)為邊際開采成本是已開采量的增函數(shù),但獨(dú)立于礦產(chǎn)資源的儲(chǔ)存量[4].然而,開采成本是會(huì)隨著礦產(chǎn)資源開采量的增加,儲(chǔ)存量的減少而增加的[5].事實(shí)上,如果資源開采深度越來越深,其開采成本就會(huì)不斷上升. 如：石油的開采成本往往隨著油井壓力的下降而增大.而且,石油和其它礦物質(zhì)來自于不同的地層,在昂貴的地層變成經(jīng)濟(jì)的,或隨著開采量的增加開采成本再次遞增之前,低值的地層更可能被開采.

2)“Hotelling準(zhǔn)則”不能充分反映礦產(chǎn)資源價(jià)格客觀規(guī)律的原因是它忽略了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步.事實(shí)上,技術(shù)創(chuàng)新往往可提高資源的開采能力,降低開采成本.

也有學(xué)者通過假定礦產(chǎn)資源供應(yīng)量正比例于礦產(chǎn)資源的累計(jì)開采量,來研究礦產(chǎn)資源開采率和礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率之間的關(guān)系[6].顯然,基于這一苛刻假設(shè)的模型在充分反映礦產(chǎn)資源價(jià)格的實(shí)際變化規(guī)律方面依然存在著局限性.有鑒于此,文章在假定礦產(chǎn)資源供應(yīng)量與礦產(chǎn)資源的累計(jì)開采量之間是一函數(shù)關(guān)系的條件下,引入“資源儲(chǔ)存”和“技術(shù)進(jìn)步”兩個(gè)因素來研究礦產(chǎn)資源的開采規(guī)律.通過研究引入“資源儲(chǔ)存”和“技術(shù)進(jìn)步”的非再生資源開采模型,揭示了技術(shù)進(jìn)步、礦產(chǎn)資源耗竭速度以及礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格之間的客觀規(guī)律,并且對(duì)常態(tài)開采和加速開采兩種情況下的資源價(jià)格變化規(guī)律進(jìn)行了比較研究.基于模型的理論研究和基于石油、黃金兩種礦物資的實(shí)證分析均表明,礦產(chǎn)資源價(jià)格要么大致隨時(shí)間的變化而增大,要么保持固定的增長(zhǎng)率或伴有增長(zhǎng)突變.

1 基本假設(shè)

根據(jù)Pindyck的理論[7],如果擔(dān)當(dāng)價(jià)格推手的公司實(shí)力相當(dāng),并且具有一定的數(shù)量,那么,生產(chǎn)的獨(dú)占權(quán)和價(jià)格的確定權(quán)就處于壟斷狀況.事實(shí)上,一些非再生資源,如石油、黃金,屬于完全市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)是不切合實(shí)際的.避開這些問題,忽略礦產(chǎn)資源的儲(chǔ)存量,假設(shè)礦產(chǎn)資源市場(chǎng)是處于完全市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件之下,同時(shí)也忽略一些完全市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下可能出現(xiàn)的一些現(xiàn)象,可得到礦產(chǎn)資源的最佳開采模型.

仿照Weitzman[8],用t表示時(shí)間,t∈(0,),E(t)表示t時(shí)刻的礦產(chǎn)資源供應(yīng)量,即單位時(shí)間內(nèi)礦產(chǎn)資源的開采量(噸),X(t)表示t時(shí)刻礦產(chǎn)資源的累計(jì)開采總量,于是:

(1)

這里,初始儲(chǔ)存量X(0)已知.

不同于Hotelling模型[1],式(1)假設(shè)可有效開采資源的儲(chǔ)存量不為一常量,即在任何時(shí)刻都可能重新得到一個(gè)最合適的資源的儲(chǔ)存總量[5],這是因?yàn)榭紤]了資源儲(chǔ)備和科技進(jìn)步的因素,這一假設(shè)更切合實(shí)際. Slade[9]在她的理論模型中,也曾利用U字形價(jià)格趨勢(shì)解釋過“資源儲(chǔ)存”和“技術(shù)進(jìn)步”這兩種現(xiàn)象.資源儲(chǔ)存一般可導(dǎo)致開采成本和資源價(jià)格上升,而技術(shù)進(jìn)步則降低開采成本和資源價(jià)格.

用P(t)表示t時(shí)刻礦產(chǎn)資源的市場(chǎng)價(jià)格,D(P(t),t)表示t時(shí)刻礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格為P(t)時(shí)的礦產(chǎn)資源需求量. 顯然,需求量一般是時(shí)間的函數(shù).例如,需求量可能隨人口的增長(zhǎng)或收入的增加而增加,也可能由于技術(shù)的發(fā)展和可替代資源的有效使用而降低.任意時(shí)刻礦產(chǎn)資源的市場(chǎng)價(jià)格P(t)使得礦產(chǎn)資源的供給與需求是平衡的.即:

E(t)=D(P(t),t)

(2)

用U(·,t)表示t時(shí)刻消費(fèi)能源產(chǎn)生的總利潤(rùn),它由需求曲線下的曲面面積確定.即:

(3)

這里,D-1(·,t)是需求曲線關(guān)于價(jià)格P(t)的反函數(shù).這一面積表示的是總消費(fèi)剩余,亦即資源消費(fèi)者的愿意支付額.

2 資源價(jià)格的增長(zhǎng)

事實(shí)上, 用資源儲(chǔ)存來反映儲(chǔ)備開采量X與其開采成本的依賴關(guān)系更有實(shí)際的意義.而且科技進(jìn)步也會(huì)對(duì)公司的資源開采能力和開采成本都會(huì)有較大的影響.科技進(jìn)步往往可提高礦產(chǎn)資源的開采能力,降低開采成本.因此,增加“資源儲(chǔ)存”和“技術(shù)進(jìn)步”兩因素可有效地研究市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下礦產(chǎn)資源的最佳開采問題.

2.1 礦產(chǎn)資源的最佳開采模型

進(jìn)一步地,用C(X,E,t)表示t時(shí)刻開采資源E(t)的成本,且開采資源E(t)和累計(jì)開采量X(t)非負(fù),那么資源規(guī)劃者可選擇開采資源{E(t)}來最優(yōu)化當(dāng)前凈利潤(rùn)的折扣價(jià)格.于是,礦產(chǎn)資源的最佳開采問題可描述為[6]:

(4)

這里q(t)(≤0)是與總開采量X(t)相關(guān)的一個(gè)量，其絕對(duì)值就是儲(chǔ)存于地下的礦產(chǎn)資源的影子價(jià)格:

p(t)=|q(t)|.

(5)

2.2 資源價(jià)格的確定

如果不考慮資源儲(chǔ)存,并假定邊際開采成本是常數(shù),礦產(chǎn)資源的市場(chǎng)價(jià)格就會(huì)隨著時(shí)間的變化而增加. 邊際開采成本為零,市場(chǎng)價(jià)格就會(huì)以利息率的速度增長(zhǎng).假定邊際開采成本是非零常數(shù),市場(chǎng)價(jià)格仍會(huì)增長(zhǎng),但其增長(zhǎng)率要小于利息率[6].

在考慮資源儲(chǔ)存和技術(shù)進(jìn)步的模型(4)中,究竟是那些因素決定礦產(chǎn)資源價(jià)格的變化趨勢(shì)呢?

為此,假定需求函數(shù)和成本函數(shù)分別為D(P(t),t)和C(X,E,t).特別地,假定成本函數(shù)由三部分的乘積構(gòu)成,且其形式為:

C(X,E,t)=Ψ(X)Ee-γt.

(6)

這里,儲(chǔ)存資源Ψ(·,·)是彈性的,

Ψ(X)=Ψ0Xb.

(7)

其中:非負(fù)彈性參數(shù)b≥0.也就是說,開采量增大1個(gè)百分點(diǎn)就會(huì)導(dǎo)致成本增加b個(gè)百分點(diǎn).隨著資源的持續(xù)開采,其成本會(huì)不斷地上升.因此,邊際成本就是平均成本.

(8)

假設(shè)需求也是彈性的,

(9)

這里,η是需求彈性絕對(duì)值的相反數(shù).若a為正,那么需求就是時(shí)間的增函數(shù)；反之若a為負(fù),需求就是時(shí)間的減函數(shù).利用需求曲線,可得到t時(shí)刻的總利潤(rùn)U(·,t).特別的,

U(E,t)=φ(E)eat.

(10)

其中,φ(·)表示持續(xù)彈性,

(11)

由式(3)得,市場(chǎng)價(jià)格P(t)滿足:

P(t)=φ′(E(t))eat.

(12)

2.3 資源價(jià)格的增長(zhǎng)率

在某一時(shí)刻開采率可能為一常數(shù).這是因?yàn)?一方面,隨著時(shí)間的變化,累計(jì)開采量的上升導(dǎo)致開采成本上升的壓力;另一方面,科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步會(huì)促使總的以及邊際開采成本壓力下降.儲(chǔ)存資源和技術(shù)進(jìn)步對(duì)成本的影響起著相互抵消的作用.實(shí)際上,礦產(chǎn)資源的開采率和它的市場(chǎng)價(jià)格都是在不斷變化的.下面,在假設(shè)成本和需求函數(shù)已知的條件下,研究礦產(chǎn)資源的開采率和其市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率之間存在的關(guān)系.結(jié)論如下.

命題1 若彈性成本式(6)遞減,彈性需求式(9)隨時(shí)間的變化而變化,開采速率由下式給出:

E(t)=g(t)X(t),

(13)

則價(jià)格的增長(zhǎng)率為:

(14)

證明由式(1)直接計(jì)算得:

(15)

將式(13)代入式(15)得:

(16)

聯(lián)立式(13)和式(16)有:

(17)

將式(13)對(duì)E求導(dǎo)得:

φ′(E)=AηE-η

(18)

將式(18)對(duì)t求導(dǎo)得:

(19)

由式(18)和式(19)得:

(20)

將式(12)兩邊分別對(duì)t求導(dǎo)得:

(21)

將式(18)、(19)代入式(21)得:

(22)

由式(12)和式(22)可知,結(jié)論式(14)成立.

命題2 若開采量與礦產(chǎn)儲(chǔ)存量之比為常數(shù),則市場(chǎng)價(jià)格P(t)的增長(zhǎng)率為常數(shù),且:

(23)

式中,常數(shù):

事實(shí)上,當(dāng)g(t)=k時(shí),由(14)式可知(23)式成立.

式(23)表明,保持礦產(chǎn)資源的開采量正比例于已開采的礦產(chǎn)資源總量意味著礦產(chǎn)資源的價(jià)格會(huì)不斷增長(zhǎng). 這一結(jié)論與文獻(xiàn)[6]的結(jié)論一致.

于是:

(24)

該式表明,開采量與礦產(chǎn)儲(chǔ)存量之比g(t)由式(24)決定時(shí),則礦物市場(chǎng)價(jià)格P(t)的增長(zhǎng)率就為一常量.

命題3 若礦產(chǎn)資源被加速開采,則可耗竭資源的耗竭速度就會(huì)加倍,但礦產(chǎn)資源價(jià)格的增長(zhǎng)趨勢(shì)是逐漸減弱.

為了便于說明問題,稱式(13)中開采量與礦產(chǎn)儲(chǔ)存量之比g(t)為一增函數(shù)的礦物開采稱為加速開采,g(t)為常數(shù)的礦物開采稱為常態(tài)開采.

顯然,礦產(chǎn)資源的加速開采肯定會(huì)加速可耗竭資源的耗竭速度,但伴隨著可耗竭資源的耗竭速度的加速,礦產(chǎn)資源存量的急劇減少,其價(jià)格的增長(zhǎng)速度又如何變化呢? 現(xiàn)將礦產(chǎn)資源的加速開采和常態(tài)開采對(duì)價(jià)格的增長(zhǎng)速度分別進(jìn)行比較.

情形1 常態(tài)開采 此時(shí)g(t)=k(k為常數(shù)),即礦產(chǎn)資源的開采速度為已開采量的常數(shù)倍,記其礦產(chǎn)資源價(jià)格增長(zhǎng)率為R1(t),由式(23)有：

R1(t)=a-ηk

(25)

情形2 加速開采 此時(shí)g(t)=keλt(λ>0為常數(shù)),即礦產(chǎn)資源的開采速度是已開采量的增函數(shù),記其礦產(chǎn)資源價(jià)格增長(zhǎng)率為R2(t),由式(23)有:

(26)

比較式(25)與式(26)有：

3 實(shí)證分析

3.1 案例1

詳細(xì)研究1840年至2011年間的世界黃金年平均價(jià)格,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖1(a)所示.對(duì)其進(jìn)行深入分析不難發(fā)現(xiàn),除個(gè)別時(shí)間段出現(xiàn)價(jià)格突變以外,黃金的價(jià)格增長(zhǎng)率基本保持在一常數(shù)附近變動(dòng),價(jià)格增長(zhǎng)率的具體變化趨勢(shì)如圖1(b)所示(數(shù)據(jù)來源:文獻(xiàn)[10]).這一結(jié)論與命題2之結(jié)論相吻合.

(a) 1840年至2011年的世界黃金價(jià)格 (b) 1840年至2011年的世界黃金價(jià)格增長(zhǎng)率

3.2 案例2

詳細(xì)研究1860年至2011年的世界石油年平均價(jià)格,價(jià)格統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2(a)所示.對(duì)其進(jìn)行深入分析發(fā)現(xiàn),除個(gè)別時(shí)間段出現(xiàn)突變以外,石油的價(jià)格增長(zhǎng)率也基本保持在一常數(shù)附近變化,價(jià)格增長(zhǎng)率的詳細(xì)變化趨勢(shì)如圖2(b)所示(數(shù)據(jù)來源:文獻(xiàn)[11]).這一結(jié)論再次證明了命題2之結(jié)論的正確性.

(a) 1860年至2011年的世界石油價(jià)格 (b) 1860年至2011年的世界石油價(jià)格增長(zhǎng)率

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)

假定一個(gè)礦的開采年限為30年,市場(chǎng)對(duì)礦產(chǎn)資源的需求大約以10%的速度增長(zhǎng).用式(25)和式(26)分別計(jì)算加速開采和常態(tài)開采兩種情形下礦產(chǎn)資源的價(jià)格增長(zhǎng)率(這里取λ=0.04,a=0.6,η=5,k=0.1.),比較兩者價(jià)格增長(zhǎng)率變化趨勢(shì)發(fā)現(xiàn),若礦業(yè)以常態(tài)速度開采,則其資源的市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率為一常數(shù),若礦產(chǎn)資源以某一加速度開采,那么其市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率規(guī)律呈現(xiàn)出逐漸遞減的趨勢(shì).并且在礦山開采的頭20年,采用加速開采的礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率高于常態(tài)開采,后10年則是采用常態(tài)開采的礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率高于加速開采.具體仿真模擬結(jié)果如圖3所示.若取a=0.6～100,η=5～30,所得結(jié)論與圖3描述的變化趨勢(shì)相仿, 這說明命題3的結(jié)論具有一般性.

圖3 兩種開采情形下的價(jià)格增長(zhǎng)比較

也就是說,礦產(chǎn)資源的加速開采雖然加大了可耗竭資源的耗竭速度,但伴隨著可耗竭資源的耗竭速度的加速,礦產(chǎn)資源存量的急劇減少必定會(huì)導(dǎo)致其價(jià)格的增長(zhǎng)速度的減少.

4 結(jié)論

引入“資源儲(chǔ)存”和“技術(shù)進(jìn)步”建立非再生資源最優(yōu)化開采模型,通過模型將市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下礦產(chǎn)資源的儲(chǔ)量、耗竭速度、市場(chǎng)價(jià)格以及技術(shù)進(jìn)步四因素之間的客觀規(guī)律進(jìn)行了詳細(xì)研究.發(fā)現(xiàn)在開發(fā)礦產(chǎn)資源過程中,市場(chǎng)價(jià)格與耗竭速度具有動(dòng)態(tài)形式,并隨著資源儲(chǔ)量與資源開采成本的變化而變化.進(jìn)一步地,假設(shè)成本和需求函數(shù)已知,討論了不同開采速度的礦產(chǎn)資源市場(chǎng)價(jià)格的增長(zhǎng)率問題.并就“常態(tài)開采” 與“ 加速開采”兩種狀況下的資源市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率進(jìn)行了比較.理論研究和實(shí)證分析均表明,雖然四因素之間關(guān)系豐富,但在一段較長(zhǎng)的時(shí)期,仍然呈現(xiàn)如下規(guī)律:其一,常態(tài)開采狀況下的資源市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率在一段時(shí)期內(nèi)幾乎為零;其二,若礦產(chǎn)資源加速開采,則必然加速可耗竭資源的耗竭速度,但其價(jià)格增長(zhǎng)率卻呈逐漸降低的趨勢(shì),在開始階段加速開采狀況下的資源市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率要高于常態(tài)開采狀況下的資源市場(chǎng)價(jià)格增長(zhǎng)率,以后會(huì)慢慢低于后者.

本文的工作是在比較現(xiàn)實(shí)的條件下進(jìn)行的,對(duì)資源最佳耗竭理論的研究以及資源最優(yōu)開發(fā)環(huán)境下的資源市場(chǎng)價(jià)格制定具有一定的借鑒意義.

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責(zé)任編輯：時(shí)凌

OntheGrowthinaHotellingModelofResourceExtraction

WANG Ling1,ZHOU Qiang2,LI Kai-hong2,XIAO Hai-jun2

(1.Wuhan Polytechnic, Wuhan 430074, China；2.School of Mathematics and Physics,China University of Geosciences,Wuhan 430074,China)

A new optimization exploitation model for nonrenewable resources,which focused on two possible explanations: “stock effects”and “technological progress”,was proposed in this paper. And two kinds of growth rate were investigated under the known cost and demand. Theory study and demonstration analysis showed that: First, the growth rate of market price remained zero over a period of time; second, the exploitation rate will accelerate the depletion rate sharply but the rate of price growth will gradually drop.

Hotelling rule;nonrenewable resource;growth rate;depletion rate;stock effects

2014-02-12.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60672049).

王玲(1959- ),女,副教授，主要從事經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)的研究.

F407.1;F062.1

A

1008-8423(2014)01-0085-06