周 疆， 陳金陽， 潘繼斌

(1.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046;(2.湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

淺談工科高等數(shù)學(xué)教材中的積分學(xué)理論體系

周 疆1， 陳金陽2， 潘繼斌2

(1.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046;(2.湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

系統(tǒng)闡述了積分思想，概括各類積分的統(tǒng)一定義，總結(jié)了幾類積分之間的關(guān)系.

積分學(xué);曲線積分;曲面積分

0 序言

目前,各類工科大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材頗多,不少工科學(xué)生學(xué)了一年之后,對(duì)積分學(xué)的體系仍是概念不清,條理不明，面對(duì)各種形式的積分(定積分，重積分，曲線積分，曲面積分，第一型積分，第二型積分等)更是手足無措. 本文試圖從積分的基本思想方法談起，使學(xué)生看清積分的本質(zhì)思想，繼而統(tǒng)一積分定義，了解各類積分之間的關(guān)系,掌握各類積分的計(jì)算.

1 積分的基本思想和統(tǒng)一定義

縱觀各類積分的定義，不難看出積分定義中的四個(gè)步驟：分割，近似計(jì)算，求和，取極限。分割的目的是為了化整為零，在微小局部上“非均勻”近似看成“均勻”，以“不變”(常量)代“變”(變量)，得到近似計(jì)算公式，求和取極限的作用是得到精確值，其本質(zhì)概括為一句話：“局部均勻求近似，利用極限得精確”。因此，我們用“分割,求和,取極限”統(tǒng)一定義積分的概念.

由于概念定義的統(tǒng)一，導(dǎo)致其積分性質(zhì)也相似，因此只要熟悉掌握定積分的基本性質(zhì)，其他類型的積分性質(zhì)也可以平行推廣，這里不再贅述.

表1 積分類型表

2 第二型曲線(面)積分與第一型曲線(面)積分的關(guān)系

如果說第一型曲線(面)積分是數(shù)量值函數(shù)的求和，即不涉及方向，那么涉及方向的第二型曲線(面)積分可以看成是向量值函數(shù)的求和,如表2.

表2 兩類積分的關(guān)系

因此兩者之間的轉(zhuǎn)化如表3.

表3 兩類積分的轉(zhuǎn)換

3 曲線(面)積分與定(重)積分的關(guān)系

了解了曲線(面)積分與定(重)積分的關(guān)系，也就掌握了各類積分的計(jì)算.

3.1曲線積分與定(重)積分的關(guān)系

對(duì)于空間曲線，以上兩類曲線積分化為定積分的方法類似(略).

定理4(Stokes公式，曲線積分化為曲面積分) 設(shè)光滑曲面S的邊界Γ是按段光滑的連續(xù)曲線,若函數(shù)P,Q,R在S(連同Γ)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo),則

其中S的側(cè)面與Γ的方向按右手法則確定.

通過對(duì)定理3和定理4的比較發(fā)現(xiàn)，Green公式是Stokes公式的平面形式(即 (s)→(σ)).

3.2曲面積分與重積分的關(guān)系

定理6 (第二型曲面積分化重積分) 設(shè)R是定義在光滑曲面S:z=z(x,y),(x,y)∈Dxy上的連續(xù)函數(shù),以S的上側(cè)為正側(cè)(這時(shí)S的法線方向與z軸正向成銳角),則有

類似有

定理7(Guass公式，曲面積分化為三重積分) 設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面S圍成,若函數(shù)P,Q,R在V上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則

4 微元法的應(yīng)用

已知：△F=A△x+o(△x)，只需找到與△x成線性關(guān)系的A△x，且使|△F-A△x|=o(△x) ，

即△F的線性主部，或△F的與 △x成線性關(guān)系的等價(jià)無窮小.

例：求圓錐體的側(cè)面積：

圖1 圓錐體

圖2 圓錐體的側(cè)面展開圖

圖3 圓柱體積圖

5 結(jié)束語

國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)前主席Freudenthal H曾說過：“沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來。一個(gè)問題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗”。

通過以上對(duì)積分類型的歸納總結(jié)，使學(xué)生在看到冰冷美麗的同時(shí)，引發(fā)火熱的思考.更加理解微元法的應(yīng)用.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].(上冊(cè))(第三版).北京：高等教育出版社,2003.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].(下冊(cè))(第三版).北京：高等教育出版社,2003.

[3]歐陽光中,姚允龍,周淵.數(shù)學(xué)分析[M].(下冊(cè)) .上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2011.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].(上冊(cè)) (第六版).北京：高等教育出版社,2007.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].(下冊(cè)) (第六版).北京：高等教育出版社,2007.

[6]馬知恩，王綿森.高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].(上冊(cè)).北京：高等教育出版社,2009.

[7]王綿森，馬知恩.高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].(下冊(cè)).北京：高等教育出版社,2009.

Introductiontointegralcalculusofhighermathematicsinengineeringtheorysystem

ZHOU Jiang1, CHEN Jin-yang2,PAN Ji-bin2

(1. School of Mathematics and System Science , Xinjiang University, Urumqi 830046,China)

(2. School of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

This paper expounds the idea of system integration, integration of various integral definition, summarizes the relationship between several types of integral.

integral;curvilinear integral;surface integral

2013—08—20

新疆大學(xué)21世紀(jì)本科高等數(shù)學(xué)教學(xué)三期教改重點(diǎn)項(xiàng)目，湖北師范學(xué)院教研項(xiàng)目資助(JH201125).

周疆(1968— )，男，四川安岳人，副教授，博士，研究方向?yàn)檎{(diào)和分析.

O17

A

1009-2714(2014)01- 0102- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.022