羅高駿,周 良

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣可同時(shí)合同對(duì)角化的條件

羅高駿,周 良

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

矩陣對(duì)角化是高等代數(shù)研究的重要課題之一。對(duì)于一個(gè)矩陣對(duì)角化的問題, 許多文章已得到了很好的結(jié)果。給出了一系列兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣可同時(shí)合同對(duì)角化的充分和充要條件。

實(shí)對(duì)稱矩陣；同時(shí)合同對(duì)角化；對(duì)角矩陣

1 引言與引理

如果矩陣A和它的轉(zhuǎn)置矩陣A′相等，那么就稱A為對(duì)稱矩陣。

對(duì)于數(shù)域P上的兩個(gè)n級(jí)方陣A，B，如果存在數(shù)域P上的n級(jí)可逆方陣C，使得B=C′AC，那么稱A合同于B.

可對(duì)角化矩陣是線性代數(shù)和矩陣論中重要的一類矩陣，可對(duì)角化矩陣在線性代數(shù)中有重要的應(yīng)用，因?yàn)閷?duì)角矩陣特別容易處理: 它們的特征值和特征向量是已知的，并通過簡(jiǎn)單的提升對(duì)角元素到同樣的冪來把一個(gè)矩陣提升為它的冪。

數(shù)域P上的任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一對(duì)角矩陣(參看[1]第五章的定理2)。

對(duì)于數(shù)域P上的兩個(gè)n級(jí)方陣A，B，如果存在數(shù)域P上的n級(jí)可逆方陣C，使得C′AC和C′BC都是對(duì)角矩陣，那么稱A與B可同時(shí)合同對(duì)角化。

許以超先生在[3]的第十五章的定理4指出：兩個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣A，B構(gòu)成的λ- 矩陣A+λB合同于一個(gè)分塊對(duì)角矩陣，其中的對(duì)角塊由 以及五種標(biāo)準(zhǔn)塊構(gòu)成(參見[3])。

由于對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的分塊對(duì)角矩陣，因此本文研究?jī)蓚€(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣在什么條件下可同時(shí)合同對(duì)角化？

關(guān)于實(shí)數(shù)域上的兩個(gè)n級(jí)對(duì)稱方陣A，B，能夠同時(shí)合同對(duì)角化的充分條件，眾所周知的有兩個(gè):

引理1[2]設(shè)A，B都是n級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣,如果AB=BA，那么存在一個(gè)n級(jí)正交矩陣T，使得T′AT和T′BT都是對(duì)角矩陣。

引理2[2]設(shè)A是n級(jí)正定方陣，B是n級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣，那么存在一個(gè)的n級(jí)實(shí)可逆方陣C，使得C′AC和C′BC都是對(duì)角矩陣。

文獻(xiàn)[6]中的推論5指出：設(shè)A，B都為n級(jí)半正定實(shí)對(duì)稱陣，則存在實(shí)可逆方陣C，使得C′AC和C′BC都是對(duì)角矩陣。

本文更深入地研究了實(shí)數(shù)域上兩個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣可同時(shí)合同對(duì)角化的充分和充分必要條件。

2 主要結(jié)果

定理1[4]設(shè)A，B為n級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣, 則A，B可同時(shí)合同對(duì)角化的充要條件是存在n級(jí)正定的實(shí)對(duì)稱方陣H, 使得AHB=BHA.

證明 “? ” 設(shè)A，B可同時(shí)合同對(duì)角化，則存在n級(jí)實(shí)可逆方陣P，使得P′AP，P′BP為對(duì)角矩陣，故P′APP′BP=P′BPP′AP，所以APP′B=BPP′A，即存在n級(jí)正定的實(shí)對(duì)稱方陣H=PP′, 使得AHB=BHA.

“? ” 設(shè)H為正定矩陣，則有可逆方陣P，使得H=PP′ .由APP′B=BPP′A，可得，

P′APP′BP=P′BPP′AP

而P′AP,P′BP為對(duì)稱矩陣且相乘可交換，故由引理1，可得P′AP，P′BP可同時(shí)合同對(duì)角化，所以，A,B可同時(shí)合同對(duì)角化。

定理2 設(shè)A，B為n級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣,且A可逆，則A，B可同時(shí)合同對(duì)角化的充要條件是A-1B可相似對(duì)角化。

證明 “? ”設(shè)A，B可同時(shí)合同對(duì)角化，則存在n級(jí)實(shí)可逆方陣P，使得P′AP=Λ，P′BP=∑，Λ,Σ為n級(jí)對(duì)角矩陣。所以P-1A-1BP=Λ-1∑ ，即A-1B可相似對(duì)角化。

“? ” 設(shè)A-1B可相似對(duì)角化，即存在n級(jí)實(shí)可逆方陣C=(r1,r2,…rn),ri∈n以及對(duì)角矩陣∑=diag(λ1,λ2,…λn)，λi∈,使得C-1A-1BC=∑，即BC=AC∑且C′BC=C′AC∑ .

又假定相同的λi是排放在一起的，因而可設(shè)∑ 有如下形式

∑=diag(∑1,∑2,…∑k) ∑i=λiI,i=1,2,…,k且λ1,λ2,…,λk互不相同

如果你說中國(guó)不好，你就是西奴；如果你說美國(guó)好，你就是美狗；如果你要中國(guó)向美國(guó)學(xué)習(xí)你就是五美分；如果你說不想做中國(guó)人，就是十惡不赦的漢奸。但如果你什么都不說，悄悄把中國(guó)籍變成美國(guó)籍，你就是成功人士；如果你拿綠卡在美國(guó)街頭高喊“我愛你中國(guó)”，你就是令人敬佩的愛國(guó)主義者。——橘少Colin

選取適合1≤i,j≤k的任意i,j使λi≠λj，并考察恒等式C′BC=C′AC∑兩邊的i,j元。這就是

C′BC=diag(B1,B2…Bk)=C′AC∑=diag(λ1A1,λ2A2…λkAk)

令D=diag(C1,C2…Ck) ,Λ=diag(Λ1,Λ2,…Λk)則D是n級(jí)可逆方陣，Λ是對(duì)角矩陣，且D′C′BCD=∑Λ，D′C′ACD=Λ.即A，B可同時(shí)合同對(duì)角化。

推論1 設(shè)A，B為 級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣,且B可逆，B-1A有n個(gè)互異的特征根，那么A，B可同時(shí)合同對(duì)角化。

證明 由B-1A有n個(gè)互異的特征根可知B-1A可相似對(duì)角化，所以由定理2可得A，B可同時(shí)合同對(duì)角化。

推論2 設(shè)A，B為n級(jí)不可逆的實(shí)對(duì)稱方陣，且存在λ0∈使得A+λ0B可逆，則A，B可同時(shí)合同對(duì)角化的充要條件是 (A+λ0B)-1B可相似對(duì)角化。

定理3[6]設(shè)A，B都為n級(jí)半正定實(shí)對(duì)稱陣，則存在n級(jí)實(shí)可逆矩陣C，使得C′AC和C′BC都是對(duì)角矩陣。

推論3 設(shè)A，B都為n級(jí)實(shí)對(duì)稱陣，且 0≤rank(A)，rank(B)≤1,那么A，B可同時(shí)合同對(duì)角化。

證明 由于0≤rank(A),rank(B)≤ 1，所以A，B為半正定矩陣，或者-A，B為半正定矩陣，或者A，-B為半正定矩陣，或者-A，-B為半正定矩陣，由定理5可知A,B可同時(shí)合同對(duì)角化。

推論4 設(shè)A，B都為n級(jí)實(shí)對(duì)稱陣，且對(duì)任何μ,v>0,μI+A,vI+B正定，那么A，B可同時(shí)合同對(duì)角化。

證明 由μI+A正定可得，μI+A的特征值μ+λi≥0 (λi為A的任意特征值)。由于μ為任意正數(shù)，故λi一定大于等于0,所以A是半正定的。同理B也是半正定的。由定理3可知 ，A,B可同時(shí)合同對(duì)角化。

通過引理3，我們可以考慮，如果將定理3中的條件減弱，那么A，B是否仍然可同時(shí)合同對(duì)角化？

定理4 設(shè)A為n級(jí)實(shí)半正定對(duì)稱方陣，B為n級(jí)實(shí)對(duì)稱方陣，記

因?yàn)锽1-XB3X′ ，B3都是對(duì)稱矩陣，故分別存在r級(jí)實(shí)正交矩陣E和n-r級(jí)可逆實(shí)方陣F，使得

所以D′C′ACD,D′C′BCD為對(duì)角矩陣，即A，B可同時(shí)合同對(duì)角化。

定理5 設(shè)A，B都為n級(jí)實(shí)對(duì)稱陣，則A，B可同時(shí)合同對(duì)角化的充要條件是存在n的一組基{μ1,μ2,…μn} 使得μiA,μiB在上線性相關(guān)(i=1,2,…n) .

證明 “? ”因?yàn)锳，B可同時(shí)合同對(duì)角化，故存在n的一組基{μ1,μ2,…,μn} 使得.當(dāng)時(shí)，則存在可逆陣使得μiAC′=0，從而μiA=0，同理當(dāng)時(shí)，有μiB=0，這樣μiA,μiB在上線性相關(guān)。當(dāng)不全為0 時(shí)，因?yàn)楣?/p>

即μiA,μiB在上線性相關(guān)(i=1,2,…,n) .

αiμiA+βiμiB=0(i=1,2,…,n)

在集合X={μ1,μ2,…μn} 中，定義關(guān)系“～”， 如果αiβj-αjβi=0 ，則μi～μj.

下證該關(guān)系為等價(jià)關(guān)系:

顯然該關(guān)系滿足自反和對(duì)稱，設(shè)μi～μj，μj～μk，則

αiβj-αjβi=0,αjβi-αkβj=0

(1)

由上式可得αiβkαjβj=αkβiαjβj，當(dāng)αjβj≠0 時(shí)，μi～μk，當(dāng)αj,βj有一個(gè)為0 時(shí)，假設(shè)αj=0，則βj≠0，由(1)可得αi=αk=0，即αiβk-αkβi=0，所以μi～μk，同理αj≠0，則βj=0，μi～μk.所以該關(guān)系滿足傳遞性，綜上所述關(guān)系“ ～”是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。那么可設(shè)X=X1∪X2∪…∪Xm是集合X的一個(gè)劃分。

因?yàn)閄k(k=1,2,…,m)中μi其對(duì)應(yīng)的αi,βi和μk(i≠j) 其對(duì)應(yīng)的αj,βj有αiβj=αjβi，所以(αi,βi)=

l(αj,βj),l∈.故每一個(gè)μi∈Xk其對(duì)應(yīng)的αi,βi，均可用αk,βk表示(k=1,2,…,m) .

所以存在αk,βk∈且αk,βk不全為0，使得

αkμA+βkμB=0,?μ∈Xk

(2)

同理也有αlvA+βlvB=0,?v∈Xl.

由αkβl-αlβk≠0，k,l=1,2,…,m和 (μAv′)′=vAμ′，可得

μ′Av′=μBv′=0,μ∈Xk,v∈Xl

(3)

不失一般性，設(shè)μ1,μ2,…,μn1∈X1,μn1+1,μ2,…,μn1+n2∈X2,……,μn1+n2+…+nm-1+1…,μn∈Xm， 設(shè)矩陣C且矩陣C的第i行為μi，矩陣C是可逆矩陣，由(3)可得

CAC′=diag(A1,A2,…,Am)

CBC′=diag(B1,B2,…,Bm)

其中Ak,Bk都是nk級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣(k=1,2,…,m)，由(2)可得，

αkμAη′+βkμBη′=0,μ,η∈Xk.

所以αkAk+βkBk=0，k=1,2,…,m,而αk,βk不全為 0，故Ak,Bk可同時(shí)合同對(duì)角化，所以，A,B可同時(shí)合同對(duì)角化。

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第二版) [M]. 北京:高等教育出版社,1988.

[2]夏 璇.二個(gè)矩陣同時(shí)對(duì)角化[J].南昌航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003,17(3)：26～32.

[3]許以超. 代數(shù)學(xué)引論[M].上海：上海科技出版社,1965.

[4]葉年武.實(shí)數(shù)方陣的同時(shí)對(duì)角化[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1991,17(4):92～95.

[5]Horn.Matrix Analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.

[6]周立仁.矩陣同時(shí)對(duì)角化的條件討論[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007,20(1)：8～10.

Theconditionsforsimultaneouslycongruentdiagonalizationoftworealsymmetricmatrices

LUO Gao-jun, ZHOU Liang

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

The diagonalization of matrices is one of the important topic in the field of advanced algebra. For the diagonalization of a matrix, many articles have got good results.This paper gives a series of sufficient and necessary conditions and sufficient conditions for simultaneously congruent diagonalization of two real symmetric matrices.

real symmetric matrix; simultaneously congruent diagonalization; diagonalizable matrix

2013—11—26

羅高駿(1990— )，男，湖北黃石人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫仃嚪治?

O151.21

A

1009-2714(2014)02- 0061- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.014