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(浙江工業(yè)大學 理學院，浙江 杭州 310023)

CDO定價的核心問題是參考資產(chǎn)投資組合損失分布的計算，首先必須研究資產(chǎn)的違約相關性.一般的相關性結(jié)構只能用Monte Carlo進行模擬,而CDO定價中相關性研究常運用因子Copula方法，假設信用資產(chǎn)池的各資產(chǎn)與公共市場因子相互獨立，再通過半解析方法計算累計損失分布[1].2003年Laurent和Gregory[2]提出了快速Fourier轉(zhuǎn)換方法，2003年Sidenius和Basu[3]以及2004年Hull和White[4]都研究了迭代數(shù)值過程計算參考資產(chǎn)池的損失分布.更進一步假設真實的參考信用投資組合是由大量具有相同違約率，回收率和相關系數(shù)的資產(chǎn)組成，在這種假設條件下，可以得到一個封閉式的CDO解析定價公式.1987年Vasicek根據(jù)大數(shù)定律提出LHP近似方法[5-6].在前人研究基礎上分析了大樣本同質(zhì)投資組合(LHP)近似方法下基于t-NIG單因子Copula的CDO定價模型，這個定價模型事實上是CDO標準定價模型(單因子Gaussian Copula)的擴展延伸.對模型的擴展正是為了解決標準Gaussian Copula缺乏“厚尾性”和存在“相關性微笑”這兩個方面的問題，使定價和市場報價更好的吻合.許多研究者試圖采用尾部相關性更強的因子Copula模型來定價CDO，例如，2005年Andersen和Sidenius[7]提出的Marshall-Olkin Copula；2003年O’Kane和Schloegl提出的Student t Copula；2004年Hull and White[4]提出的double t Copula等.論文通過double t，正態(tài)逆高斯(NIG)[5]單因子Copula模型分別對Dow Jones iTraxx Europe指數(shù)的各分券層定價.除這些模型外，文中基于t-NIG單因子Copula模型在LHP下對CDO定價進行更詳盡的研究.另外，論文分析了數(shù)值結(jié)果，對不同模型適應CDO各分券層的市場報價的能力進行比較.結(jié)果表明：所有的模型都比標準模型更好地適應市場報價，新型模型定價效果最為理想.

1 CDO分券層的半解析定價

合理給定CDO不同分券層的信用價差即是CDO定價.每個分券層可分為損失面(DL)和收益面(PL)，損失面是指投資分券層違約發(fā)生時的損失現(xiàn)值，收益面是指投資分券層違約發(fā)生時的收益現(xiàn)值，根據(jù)無套利原則，通過損失面和收益面相等，得出不同分券層合理的信用價差，進行CDO定價.

(1)

其中時刻t的累積損失L(t)可表示為

(2)

為了能基于t-NIG單因子Copula模型研究CDO定價，在此引入引理1[5]和引理2[5].

引理1設時刻t的累積損失分部函數(shù)為F(t,x)，CDO中(K1,K2)層的期望損失百分比可表示為

EL(K1,K2)(t)=

(3)

下面描述常用CDO定價半解析方法中CDO各分券層(K1,K2)的損失面(DL)，收益面(PL)和信用價差S的計算.分券層(K1,K2)損失面的價值DL為違約支付貼現(xiàn)值[5]，表示為

(4)

分券層(K1,K2)收益面的價值PL為所有支付的權利金的現(xiàn)值[5]，表示為

(5)

式中Δti=ti-ti-1,i=2,…,M.

根據(jù)無套利原則，通過損失面和收益面相等，從而得到不同分券層的合理信用價差S.

引理2在無套利的情況下,CDO各分券層的定價公式為

(6)

資產(chǎn)的回收率，資產(chǎn)間的相關性和違約率是影響信用價差的主要因素：

1) 當資產(chǎn)的市場回收率增加時，各分券層的信用價差減少，高級分券層受回收率的變化影響相對較小，股本分券層的信用價差受其影響最大.

2) 當資產(chǎn)的相關性增強時，參考資產(chǎn)池發(fā)生聯(lián)合違約的可能性增大.

3) 當資產(chǎn)的違約率增加時，各分券層的信用價差都增加，違約強度對股本分券層影響最深.

2 LHP情況下的t-NIG單因子Copula模型

引理2中給出了CDO信用價差的計算公式，為了能通過公式數(shù)值計算出信用價差S，本節(jié)通過構建t-NIG單因子Copula模型將單個公司資產(chǎn)的違約概率轉(zhuǎn)化為非系統(tǒng)因子的違約概率問題計算資產(chǎn)的條件違約概率，進一步在LHP的假設條件下近似計算出參考資產(chǎn)投資組合損失分布，最終結(jié)合引理1，2確定信用價差S.

2.1 t-NIG單因子Copula模型

為了捕捉金融市場的“厚尾性”的特征，研究者試圖用厚尾分布來建立金融市場模型.NIG分布是正態(tài)分布和逆高斯分布的混合厚尾分布，具有與金融市場研究相關的優(yōu)良統(tǒng)計性質(zhì).NIG分布的尾部比標準高斯分布下降的更緩慢[9]，并通過調(diào)節(jié)NIG分布的四個靈活參數(shù),使其更能充分反映金融市場中參考資產(chǎn)池的“尖峰厚尾”特征.且NIG分布有穩(wěn)定的卷積性，使計算更有效快速.在構建t-NIG單因子Copula模型之前，下面先了解正態(tài)逆高斯分布的定義及其有關性質(zhì)[5].

定義1NIG分布是正態(tài)分布和逆高斯分布的混合分布.若隨機變量U服從參數(shù)為α，β，μ和δ的NIG(α,β,μ,δ)分布，則其密度函數(shù)為

fNIG(x;α,β,μ,δ)=

(7)

性質(zhì)1若隨機變量U～NIG(α,β,μ,δ),則

金融市場數(shù)據(jù)一般具有明顯的厚尾性，如果CDO定價模型中分布尾部太薄,沒有厚尾性特征，得出的信用價差就會與市場報價相差過大，導致CDO各分券層的相關系數(shù)存在“相關性微笑”現(xiàn)象.CDO定價的標準模型(單因子Gaussian Copula模型)正是如此.因此，在因子Copula模型中，可以選取更具有“厚尾性”的潛在因子變量來代替高斯因子變量，更好地體現(xiàn)CDO參考資產(chǎn)池損失的“尖峰厚尾”性.因而，假定市場共同因子和個體異質(zhì)因子分別服從t分布和NIG分布，得到新的t-NIG單因子Copula模型.下面給出t-NIG單因子Copula模型的具體定義和相關定理.

定義2假定CDO資產(chǎn)池中標的資產(chǎn)i的資產(chǎn)價值xi滿足

(8)

式中：ρi∈[0,1]為系統(tǒng)因子Z與資產(chǎn)價值xi之間的相關系數(shù)；Zi為影響資產(chǎn)i價值的非系統(tǒng)因子.隨機變量Z與Zi及Zi與Zj(i≠j)間相互獨立，且市場共同因子Z和個體異質(zhì)因子Zi分別服從學生t分布和NIG分布[10]：

Z～T(x;ν)

(9)

Zi～FNIG(x;α,β,μ,δ),i=1,2，…，n

(10)

稱由式(8—10)確定的模型為t-NIG單因子Copula模型，簡稱t-NIG Copula模型.根據(jù)性質(zhì)1，把非系統(tǒng)因子Zi標準化.用參數(shù)α，β表示參數(shù)μ，δ：

定理1若CDO資產(chǎn)池中標的資產(chǎn)i的資產(chǎn)價值xi滿足t-NIG Copula模型，設Hi(x)為資產(chǎn)價值xi的概率分布函數(shù)，則

Hi(x)=

(11)

證明由定義2可知資產(chǎn)價值xi的條件概率：

對條件概率積分，得到無條件概率分布函數(shù)為

Hi(x)=P(xi

定理2若CDO資產(chǎn)池中標的資產(chǎn)i的資產(chǎn)價值xi滿足t-NIG Copula模型，則資產(chǎn)i的條件違約概率為

(12)

即

令

si(t)=P(τi≥t)=1-qi(t)

(13)

由式(13)可得

(14)

(15)

又根據(jù)t-NIG Copula模型，可以將單個公司資產(chǎn)的違約概率轉(zhuǎn)化為非系統(tǒng)因子的違約概率問題，因此

2.2 t-NIG因子Copula模型的LHP近似

(16)

(17)

對F(t,x)微分，則

dF(t,x)=

(18)

令

(19)

可知

(20)

由式(18—20)得

(21)

將式(19，21)代入引理1的式(3)進行換元代換，則

(22)

3 數(shù)值分析

根據(jù)式(22)和引理2，我們可以基于t-NIG Copula模型應用LHP近似方法定價CDO.考慮信用衍生品指數(shù)Dow Jones iTraxx Europe指數(shù)2006年4月13日的各分券層報價.投資組合平均價差為31.5 bp，選取2006年3月20日設立的5年期指數(shù)系列，利用常數(shù)違約強度模型來獲得邊際違約分布，并估計在平均投資組合價差下大樣本同質(zhì)投資組合的違約率.回收率和無風險利率各自假定為40%和5%.下面選取標準Gaussian Copula模型，Double t Copula模型，NIG Copula模型，t-NIG Copula模型，在LHP情況下，給出數(shù)值分析結(jié)果.運算結(jié)果見圖1，2和表1.

圖1為Gauss分布、t分布、NIG分布的概率密度函數(shù)曲線以及左右尾部比較，其中t分布尾部最厚，NIG分布尾部較Gauss分布尾部更厚，但比t分布尾部薄，“尖峰”特征最為明顯,t-NIG單因子Copula模型結(jié)合了兩種分布的優(yōu)勢，使其充分體現(xiàn)了CDO參考資產(chǎn)池損失分布的“尖峰厚尾”特征.圖2比較了四個模型的累積損失分布函數(shù)，能夠反映模型的“相關性微笑”問題以及貼合市場報價能力.可以通過觀察其各累積損失分布尾部的不同形狀對表1中各模型的數(shù)值結(jié)果加以解釋.表1為iTraxx各層的市場報價以及Gaussian Copula，Double t Copula，NIG Copula，t-NIG Copula的LHP模型適應市場報價能力的比較，并依據(jù)參數(shù)校準原則：股本層定價與市場報價相符以及各分券層定價的平方誤差和達到最小，將四個模型中參數(shù)進行校準，結(jié)果表明：Gaussian Copula遠遠高估了3%～6%這個分券層的價格，其他模型在這個分券層的定價都與市場報價匹配相對較好；反之，卻低估了高級分券層，這都是由于Gauss分布的尾部太薄的緣故.Double t Copula僅僅能精確定價CDO股本層，而高估或低估CDO其他分層券，因為Double t Copula只有一個連續(xù)參數(shù)(相關系數(shù))，而另一個參數(shù)ν(自由度)只能取整數(shù)值.由于NIG Copula，t-NIG Copula中的自由參數(shù)比Double t Copula更多，它們的所有結(jié)果比Double t Copula的所有結(jié)果都稍好，甚至能精確定價CDO的第二分券層.且t-NIG Copula模型很好地提高了NIG Copula模型定價的精確性，誤差由原來的22 bp縮小到8.5 bp.原因是該模型引入了更能反映金融市場特征的t-NIG Copula，改進了經(jīng)典的Gaussian Copula模型，所以定價精度更高,更能改善“相關性微笑”問題.

圖1 三種分布密度函數(shù)比較

圖2 四種模型的累計損失分布函數(shù)比較

表1 各模型適應CDO各分券層的市場報價能力比較

4 結(jié) 論

對Gaussian Copula模型進行擴展，構建了t-NIG Copula模型用于CDO定價.得到了條件違約概率，投資組合損失的累積分布函數(shù)，期望分券層損失和信用價差的表達式.t-NIG Copula模型相對于研究的其他模型有更多的自由參數(shù)，給相關性結(jié)構帶來更多的靈活性，因而也更能貼合CDO的市場報價.另外， t-NIG Copula模型改善了Double t Copula是無卷積穩(wěn)定性的缺點，這樣就簡化和加速了違約閾值的計算，實際應用性更強.

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