郭漢東

(鄭州大學(xué) 西亞斯國際學(xué)院，河南 鄭州 451150)

0 引言

一般來說，非線性偏微分方程的求解難度很大，只有在一些特殊的情況下才可能求得精確解，然而，對于孤子方程來說，已經(jīng)有很多求精確解的方法.例如反散射方法[1]，雙線性方法[2]，Painleve分析法[3]，代數(shù)幾何法[4]，達(dá)布變換法[5]等.其中達(dá)布變換是一種自然而美妙的方法，利用此變換可以獲得孤子方程的精確解.

本文主要內(nèi)容是利用兩個(2+1)維耦合mKP方程與它們分解后的(1+1)維KN方程之間的關(guān)系，即證明了KN方程的相容解就是耦合mKP方程的解.然后利用達(dá)布變換就能得到KN方程的精確解，進(jìn)一步得到耦合mKP方程的解.

1 耦合mKP方程約化為KN方程

考慮下面的譜問題

(1)

輔助譜問題

(2)

(3)

當(dāng)λ=0時，方程(1)(2)可以化為方程(4)(5)

(4)

(5)

如果我們在位勢間施加約束

q=4uv,p=2u2,r=2v2

(6)

結(jié)合(4)可得

(7)

把(6)(7)代入(4)(5)中，得到KN方程(8)(9)

(8)

(9)

由此可得如下命題.

2 KN方程的相容解就是耦合mKP方程的解

命題1 如果(u,v)是方程(8)(9)的相容解，則有(6)確定的函數(shù)(p,q,r)是方程(3)的解.

證明：利用(1.8)(1.9)得

qt=4uxxx+4uvxxx+24v(uvux+u3v2)x-24u(uvux-u2v3)x

pt=4uuxxx+12u(uvux-u3v2)x，rt=2vvxxx+12v(uvux-u2v3)x

qx=4uvx+4vux，qxx=4uvxx+4vuxx+8uxvx，

+8ux(v2u)x+48v2u(u2v)x+48u2v(v2u)x+24v2uuxx-24u2vvxx

rxxx=12vxvxx+4vvxxx，ry=4vvxx-8v(v2u)x

直接代入方程(3)驗證即得.

命題2 如果(u,v)是方程(8)的解，則有函數(shù)關(guān)系(6)確定的函數(shù)(p,q,r)是下面(2+0)維方程的解.

(10)

在條件(1.10)下，(1.3)可以約化為

(11)

利用命題1和命題2我們很容易得到：

命題3 如果(u,v)是方程(8)和(9)的相容解，則有函數(shù)關(guān)系(6)確定的(p,q,r)是方程(11)的解.

3 結(jié)論

本文利用兩個(2+1)維耦合mKP方程的Lax對，對位勢施加約束，就約化為KN方程，并且證明了KN方程的相容解就是耦合mKP方程的解，這樣就可以間接地得到耦合mKP方程的解.

[1]谷超豪等著.孤立子理論與應(yīng)用[M].杭州:浙江科學(xué)技術(shù)出版社,1990:23-27.

[2]M.L.Wang ,J.Phys.Lett.A[J].1995,16(3):169-172.

[3]王烈衍.擾動非線性薛定諤方程的Painleve分析和精確孤立子解[J].寧波大學(xué)學(xué)報(理工版),1999,12(2)37-41.

[4] J.S.Zhang,Y.T.Wu and S.M.Li,Physics A[J]. 2003, 319(12):213-232.

[5]劉萍,Broer-Kaup系統(tǒng)的達(dá)布變換及其奇孤子解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2006,26(7):999-1007.