亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

        2014-08-20 03:41:43李芳芳
        文理導(dǎo)航 2014年17期
        關(guān)鍵詞:過點(diǎn)定值斜率

        李芳芳

        圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法,但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思路是明確的,定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變量所影響的某個(gè)點(diǎn),就是要求的定點(diǎn)。化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。

        題型一、直線過定點(diǎn)問題

        例型1 點(diǎn)A為雙曲線C:x2-■=1的右頂點(diǎn),直線MN不過點(diǎn)A交C于M,N兩點(diǎn),若AM⊥AN;求證:直線MN過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

        解:當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線MN的方程為y=kx+m

        設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)

        則由y=kx+m2x2-y2=2 得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0

        x1+x2=■,x1x2=■

        由■·■(k2+1)x1x2-(km-1)(x1+x2)+m2+1=0得

        3k2+2km-m2=0

        所以k=■或k=-m(舍去)

        此時(shí)直線MN:過定點(diǎn)P(-3,0)

        當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)易知直線MN也過定點(diǎn)P(-3,0)所以直線MN過定點(diǎn)P(-3,0);

        評注:經(jīng)典題型,讓學(xué)生了解斜率之積、斜率之和為定值時(shí)求定點(diǎn)的解法??梢酝茝V一般結(jié)論:不過圓錐曲線的頂點(diǎn)A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點(diǎn),若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值,則直線MN過定點(diǎn)。

        變式1:已知橢圓C:■+■=1(a>b>0)的離心率e=■,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(2,■),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的傾斜角分別為α,β,且α+β=π,試問直線l是否過定點(diǎn)?若過,求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

        題型二、曲線過定點(diǎn)

        例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證:不論a、b如何變化,橢圓恒過第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)P,并求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

        解:由■-■=1y=-x+1

        得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

        由Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得a2+b2>1.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=■,x1x2=■.

        ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0.

        ∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

        由a2+b2-2a2b2=0.,得■+■=1,則不論a、b如何變化,橢圓恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)(■,■).

        評注:本類題由已知條件OA⊥OB經(jīng)過轉(zhuǎn)化找到滿足曲線方程橢圓中a,b的關(guān)系式a2+b2-2a2b2=0.,因?yàn)闄E圓恒過一定點(diǎn),所以將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為橢圓方程的一般形式,可從一般形式中得到這一定點(diǎn)。

        變式3:橢圓C:x2+■=1過點(diǎn)S(-■,0)的動直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),試問:在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動,以為AB直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在,求出點(diǎn)的T坐標(biāo);若不存在,則說明理由。

        題型三、定點(diǎn)與定值綜合

        例3.已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為■-1,離心率e=■.

        (1)求橢圓E的方程;

        (2)過點(diǎn)(1,0)作直線l交E于P,Q兩點(diǎn),試問:在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使■·■為定值?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

        解:(1)橢圓E的方程為■+y2=1.

        (2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則■=(x1-m,y1),■=(x2-m,y2),

        ■·■=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.

        ①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=1,則x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=-■,由m=■,得■·■=-■.

        當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),

        由■+y2=1y=k(x+1)得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0

        則x1+x2=■,x1x2=■,

        y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

        因?yàn)閷τ谌我獾膋值,■·■為定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),得m=■.所以M[■,0],此時(shí)■·■=-■。

        綜上,符合條件的點(diǎn)M存在,且坐標(biāo)為[■,0].

        評注:定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)建立其求解目標(biāo)的代數(shù)表達(dá)式,只要這個(gè)代數(shù)表達(dá)式與引進(jìn)的參數(shù)無關(guān)即可。本題的難點(diǎn)是由■·■的表達(dá)式,如何確定m值使得與直線斜率無關(guān),化解的方法就是對k進(jìn)行集項(xiàng),只有當(dāng)k的系數(shù)等于零時(shí),式子的值才能與k無關(guān),進(jìn)而求出定點(diǎn)。當(dāng)然也可以先通過特殊位置確定數(shù)量積的值和點(diǎn)M的坐標(biāo),再進(jìn)行具體證明。

        (作者單位:浙江省龍泉第一中學(xué))

        圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法,但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思路是明確的,定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變量所影響的某個(gè)點(diǎn),就是要求的定點(diǎn)?;膺@類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。

        題型一、直線過定點(diǎn)問題

        例型1 點(diǎn)A為雙曲線C:x2-■=1的右頂點(diǎn),直線MN不過點(diǎn)A交C于M,N兩點(diǎn),若AM⊥AN;求證:直線MN過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

        解:當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線MN的方程為y=kx+m

        設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)

        則由y=kx+m2x2-y2=2 得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0

        x1+x2=■,x1x2=■

        由■·■(k2+1)x1x2-(km-1)(x1+x2)+m2+1=0得

        3k2+2km-m2=0

        所以k=■或k=-m(舍去)

        此時(shí)直線MN:過定點(diǎn)P(-3,0)

        當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)易知直線MN也過定點(diǎn)P(-3,0)所以直線MN過定點(diǎn)P(-3,0);

        評注:經(jīng)典題型,讓學(xué)生了解斜率之積、斜率之和為定值時(shí)求定點(diǎn)的解法??梢酝茝V一般結(jié)論:不過圓錐曲線的頂點(diǎn)A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點(diǎn),若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值,則直線MN過定點(diǎn)。

        變式1:已知橢圓C:■+■=1(a>b>0)的離心率e=■,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(2,■),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的傾斜角分別為α,β,且α+β=π,試問直線l是否過定點(diǎn)?若過,求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

        題型二、曲線過定點(diǎn)

        例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證:不論a、b如何變化,橢圓恒過第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)P,并求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

        解:由■-■=1y=-x+1

        得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

        由Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得a2+b2>1.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=■,x1x2=■.

        ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0.

        ∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

        由a2+b2-2a2b2=0.,得■+■=1,則不論a、b如何變化,橢圓恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)(■,■).

        評注:本類題由已知條件OA⊥OB經(jīng)過轉(zhuǎn)化找到滿足曲線方程橢圓中a,b的關(guān)系式a2+b2-2a2b2=0.,因?yàn)闄E圓恒過一定點(diǎn),所以將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為橢圓方程的一般形式,可從一般形式中得到這一定點(diǎn)。

        變式3:橢圓C:x2+■=1過點(diǎn)S(-■,0)的動直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),試問:在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動,以為AB直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在,求出點(diǎn)的T坐標(biāo);若不存在,則說明理由。

        題型三、定點(diǎn)與定值綜合

        例3.已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為■-1,離心率e=■.

        (1)求橢圓E的方程;

        (2)過點(diǎn)(1,0)作直線l交E于P,Q兩點(diǎn),試問:在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使■·■為定值?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

        解:(1)橢圓E的方程為■+y2=1.

        (2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則■=(x1-m,y1),■=(x2-m,y2),

        ■·■=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.

        ①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=1,則x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=-■,由m=■,得■·■=-■.

        當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),

        由■+y2=1y=k(x+1)得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0

        則x1+x2=■,x1x2=■,

        y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

        因?yàn)閷τ谌我獾膋值,■·■為定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),得m=■.所以M[■,0],此時(shí)■·■=-■。

        綜上,符合條件的點(diǎn)M存在,且坐標(biāo)為[■,0].

        評注:定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)建立其求解目標(biāo)的代數(shù)表達(dá)式,只要這個(gè)代數(shù)表達(dá)式與引進(jìn)的參數(shù)無關(guān)即可。本題的難點(diǎn)是由■·■的表達(dá)式,如何確定m值使得與直線斜率無關(guān),化解的方法就是對k進(jìn)行集項(xiàng),只有當(dāng)k的系數(shù)等于零時(shí),式子的值才能與k無關(guān),進(jìn)而求出定點(diǎn)。當(dāng)然也可以先通過特殊位置確定數(shù)量積的值和點(diǎn)M的坐標(biāo),再進(jìn)行具體證明。

        (作者單位:浙江省龍泉第一中學(xué))

        圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法,但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思路是明確的,定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變量所影響的某個(gè)點(diǎn),就是要求的定點(diǎn)?;膺@類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。

        題型一、直線過定點(diǎn)問題

        例型1 點(diǎn)A為雙曲線C:x2-■=1的右頂點(diǎn),直線MN不過點(diǎn)A交C于M,N兩點(diǎn),若AM⊥AN;求證:直線MN過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

        解:當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線MN的方程為y=kx+m

        設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)

        則由y=kx+m2x2-y2=2 得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0

        x1+x2=■,x1x2=■

        由■·■(k2+1)x1x2-(km-1)(x1+x2)+m2+1=0得

        3k2+2km-m2=0

        所以k=■或k=-m(舍去)

        此時(shí)直線MN:過定點(diǎn)P(-3,0)

        當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)易知直線MN也過定點(diǎn)P(-3,0)所以直線MN過定點(diǎn)P(-3,0);

        評注:經(jīng)典題型,讓學(xué)生了解斜率之積、斜率之和為定值時(shí)求定點(diǎn)的解法??梢酝茝V一般結(jié)論:不過圓錐曲線的頂點(diǎn)A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點(diǎn),若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值,則直線MN過定點(diǎn)。

        變式1:已知橢圓C:■+■=1(a>b>0)的離心率e=■,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(2,■),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的傾斜角分別為α,β,且α+β=π,試問直線l是否過定點(diǎn)?若過,求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

        題型二、曲線過定點(diǎn)

        例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證:不論a、b如何變化,橢圓恒過第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)P,并求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

        解:由■-■=1y=-x+1

        得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

        由Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得a2+b2>1.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=■,x1x2=■.

        ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0.

        ∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

        由a2+b2-2a2b2=0.,得■+■=1,則不論a、b如何變化,橢圓恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)(■,■).

        評注:本類題由已知條件OA⊥OB經(jīng)過轉(zhuǎn)化找到滿足曲線方程橢圓中a,b的關(guān)系式a2+b2-2a2b2=0.,因?yàn)闄E圓恒過一定點(diǎn),所以將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為橢圓方程的一般形式,可從一般形式中得到這一定點(diǎn)。

        變式3:橢圓C:x2+■=1過點(diǎn)S(-■,0)的動直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),試問:在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動,以為AB直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在,求出點(diǎn)的T坐標(biāo);若不存在,則說明理由。

        題型三、定點(diǎn)與定值綜合

        例3.已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為■-1,離心率e=■.

        (1)求橢圓E的方程;

        (2)過點(diǎn)(1,0)作直線l交E于P,Q兩點(diǎn),試問:在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使■·■為定值?若存在,求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

        解:(1)橢圓E的方程為■+y2=1.

        (2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則■=(x1-m,y1),■=(x2-m,y2),

        ■·■=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.

        ①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=1,則x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=-■,由m=■,得■·■=-■.

        當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),

        由■+y2=1y=k(x+1)得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0

        則x1+x2=■,x1x2=■,

        y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

        因?yàn)閷τ谌我獾膋值,■·■為定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),得m=■.所以M[■,0],此時(shí)■·■=-■。

        綜上,符合條件的點(diǎn)M存在,且坐標(biāo)為[■,0].

        評注:定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)建立其求解目標(biāo)的代數(shù)表達(dá)式,只要這個(gè)代數(shù)表達(dá)式與引進(jìn)的參數(shù)無關(guān)即可。本題的難點(diǎn)是由■·■的表達(dá)式,如何確定m值使得與直線斜率無關(guān),化解的方法就是對k進(jìn)行集項(xiàng),只有當(dāng)k的系數(shù)等于零時(shí),式子的值才能與k無關(guān),進(jìn)而求出定點(diǎn)。當(dāng)然也可以先通過特殊位置確定數(shù)量積的值和點(diǎn)M的坐標(biāo),再進(jìn)行具體證明。

        (作者單位:浙江省龍泉第一中學(xué))

        猜你喜歡
        過點(diǎn)定值斜率
        圓錐曲線的一類定值應(yīng)用
        “大處著眼、小處著手”解決圓錐曲線中的定值問題
        物理圖像斜率的變化探討
        物理之友(2020年12期)2020-07-16 05:39:16
        一個(gè)圓錐曲線性質(zhì)的推廣
        10kV線路保護(hù)定值修改后存在安全隱患
        電子制作(2018年10期)2018-08-04 03:25:02
        10kV線路保護(hù)定值修改后存在安全隱患
        電子制作(2018年12期)2018-08-01 00:48:08
        求斜率型分式的取值范圍
        基于子孔徑斜率離散采樣的波前重構(gòu)
        MMC-MTDC輸電系統(tǒng)新型直流電壓斜率控制策略
        電測與儀表(2016年6期)2016-04-11 12:05:54
        數(shù)學(xué)(二)
        午夜av福利亚洲写真集| 国产精品无码日韩欧| 伊人精品无码AV一区二区三区 | 国产亚洲曝欧美不卡精品| 美女被内射中出在线观看| 777精品出轨人妻国产| 日日鲁鲁鲁夜夜爽爽狠狠视频97| 国产欧美日韩专区毛茸茸| 一区二区三区在线日本视频| 国产精品久久精品第一页| 亚洲中文字幕无码一区| 99精品视频69v精品视频免费| 99久久婷婷国产精品综合网站 | 中文字幕在线观看| 亚洲精品无码mv在线观看| 国产69精品一区二区三区| 人妻少妇偷人精品一区二区| 97色偷偷色噜噜狠狠爱网站| 久久国产成人午夜av影院| 无遮挡很爽视频在线观看| 精品三级国产一区二区三| 国产69精品久久久久久久| 欧美一欧美一区二三区性| 中文字幕人妻少妇精品| 亚洲夫妻性生活免费视频| 女人被爽到呻吟gif动态图视看| 国产原创精品视频| 高清不卡av在线播放| 精品无人码麻豆乱码1区2区| 97精品伊人久久大香线蕉app| 一本大道久久精品一本大道久久| 免费亚洲老熟熟女熟女熟女| 蜜桃麻豆www久久囤产精品| 国产亚洲精品综合一区| 日本师生三片在线观看| 无码人妻精品一区二区蜜桃网站| 久热香蕉视频| 都市激情亚洲综合一区| 中文无码av一区二区三区| 久久老子午夜精品无码怎么打| 国产极品视觉盛宴在线观看|