李芳芳

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思路是明確的，定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變量所影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn)。化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。

題型一、直線過定點(diǎn)問題

例型1 點(diǎn)A為雙曲線C：x2-■=1的右頂點(diǎn)，直線MN不過點(diǎn)A交C于M，N兩點(diǎn)，若AM⊥AN；求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）

則由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■，x1x2=■

由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m（舍去）

此時(shí)直線MN：過定點(diǎn)P（-3，0）

當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)易知直線MN也過定點(diǎn)P（-3，0）所以直線MN過定點(diǎn)P（-3，0）；

評注：經(jīng)典題型，讓學(xué)生了解斜率之積、斜率之和為定值時(shí)求定點(diǎn)的解法?？梢酝茝V一般結(jié)論：不過圓錐曲線的頂點(diǎn)A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點(diǎn)，若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值，則直線MN過定點(diǎn)。

變式1：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率e=■，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（2，■），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過，求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

題型二、曲線過定點(diǎn)

例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1（a>b>0）相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB.（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求證：不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)P，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：由■-■=1y=-x+1

得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.

由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=■，x1x2=■.

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，則不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)（■，■）.

評注：本類題由已知條件OA⊥OB經(jīng)過轉(zhuǎn)化找到滿足曲線方程橢圓中a，b的關(guān)系式a2+b2-2a2b2=0.，因?yàn)闄E圓恒過一定點(diǎn)，所以將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為橢圓方程的一般形式，可從一般形式中得到這一定點(diǎn)。

變式3：橢圓C：x2+■=1過點(diǎn)S（-■，0）的動直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以為AB直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)的T坐標(biāo)；若不存在，則說明理由。

題型三、定點(diǎn)與定值綜合

例3.已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為■-1，離心率e=■.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)（1，0）作直線l交E于P，Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使■·■為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：（1）橢圓E的方程為■+y2=1.

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M（m，0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）， 則■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2），

■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2.

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，則x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），

由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0

則x1+x2=■，x1x2=■，

y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因?yàn)閷τ谌我獾膋值，■·■為定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此時(shí)■·■=-■。

綜上，符合條件的點(diǎn)M存在，且坐標(biāo)為[■，0].

評注：定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)建立其求解目標(biāo)的代數(shù)表達(dá)式，只要這個(gè)代數(shù)表達(dá)式與引進(jìn)的參數(shù)無關(guān)即可。本題的難點(diǎn)是由■·■的表達(dá)式，如何確定m值使得與直線斜率無關(guān)，化解的方法就是對k進(jìn)行集項(xiàng)，只有當(dāng)k的系數(shù)等于零時(shí)，式子的值才能與k無關(guān)，進(jìn)而求出定點(diǎn)。當(dāng)然也可以先通過特殊位置確定數(shù)量積的值和點(diǎn)M的坐標(biāo)，再進(jìn)行具體證明。

（作者單位：浙江省龍泉第一中學(xué)）

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思路是明確的，定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變量所影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn)?；膺@類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。

題型一、直線過定點(diǎn)問題

例型1 點(diǎn)A為雙曲線C：x2-■=1的右頂點(diǎn)，直線MN不過點(diǎn)A交C于M，N兩點(diǎn)，若AM⊥AN；求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）

則由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■，x1x2=■

由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m（舍去）

此時(shí)直線MN：過定點(diǎn)P（-3，0）

當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)易知直線MN也過定點(diǎn)P（-3，0）所以直線MN過定點(diǎn)P（-3，0）；

評注：經(jīng)典題型，讓學(xué)生了解斜率之積、斜率之和為定值時(shí)求定點(diǎn)的解法?？梢酝茝V一般結(jié)論：不過圓錐曲線的頂點(diǎn)A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點(diǎn)，若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值，則直線MN過定點(diǎn)。

變式1：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率e=■，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（2，■），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過，求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

題型二、曲線過定點(diǎn)

例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1（a>b>0）相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB.（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求證：不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)P，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：由■-■=1y=-x+1

得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.

由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=■，x1x2=■.

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，則不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)（■，■）.

評注：本類題由已知條件OA⊥OB經(jīng)過轉(zhuǎn)化找到滿足曲線方程橢圓中a，b的關(guān)系式a2+b2-2a2b2=0.，因?yàn)闄E圓恒過一定點(diǎn)，所以將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為橢圓方程的一般形式，可從一般形式中得到這一定點(diǎn)。

變式3：橢圓C：x2+■=1過點(diǎn)S（-■，0）的動直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以為AB直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)的T坐標(biāo)；若不存在，則說明理由。

題型三、定點(diǎn)與定值綜合

例3.已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為■-1，離心率e=■.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)（1，0）作直線l交E于P，Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使■·■為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：（1）橢圓E的方程為■+y2=1.

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M（m，0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）， 則■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2），

■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2.

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，則x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），

由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0

則x1+x2=■，x1x2=■，

y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因?yàn)閷τ谌我獾膋值，■·■為定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此時(shí)■·■=-■。

綜上，符合條件的點(diǎn)M存在，且坐標(biāo)為[■，0].

評注：定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)建立其求解目標(biāo)的代數(shù)表達(dá)式，只要這個(gè)代數(shù)表達(dá)式與引進(jìn)的參數(shù)無關(guān)即可。本題的難點(diǎn)是由■·■的表達(dá)式，如何確定m值使得與直線斜率無關(guān)，化解的方法就是對k進(jìn)行集項(xiàng)，只有當(dāng)k的系數(shù)等于零時(shí)，式子的值才能與k無關(guān)，進(jìn)而求出定點(diǎn)。當(dāng)然也可以先通過特殊位置確定數(shù)量積的值和點(diǎn)M的坐標(biāo)，再進(jìn)行具體證明。

（作者單位：浙江省龍泉第一中學(xué)）

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思路是明確的，定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變量所影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn)?；膺@類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。

題型一、直線過定點(diǎn)問題

例型1 點(diǎn)A為雙曲線C：x2-■=1的右頂點(diǎn)，直線MN不過點(diǎn)A交C于M，N兩點(diǎn)，若AM⊥AN；求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）

則由y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2）x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■，x1x2=■

由■·■（k2+1）x1x2-（km-1）（x1+x2）+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m（舍去）

此時(shí)直線MN：過定點(diǎn)P（-3，0）

當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)易知直線MN也過定點(diǎn)P（-3，0）所以直線MN過定點(diǎn)P（-3，0）；

評注：經(jīng)典題型，讓學(xué)生了解斜率之積、斜率之和為定值時(shí)求定點(diǎn)的解法?？梢酝茝V一般結(jié)論：不過圓錐曲線的頂點(diǎn)A的直線與圓錐曲線相交于M、N兩點(diǎn)，若直線AM、AN的斜率之積、斜率之和為定值，則直線MN過定點(diǎn)。

變式1：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率e=■，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（2，■），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過，求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

題型二、曲線過定點(diǎn)

例2.已知直線y=-x+1與橢圓■+■=1（a>b>0）相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB.（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求證：不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)P，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：由■-■=1y=-x+1

得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.

由Δ=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）>0，整理得a2+b2>1.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=■，x1x2=■.

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.，得■+■=1，則不論a、b如何變化，橢圓恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)（■，■）.

評注：本類題由已知條件OA⊥OB經(jīng)過轉(zhuǎn)化找到滿足曲線方程橢圓中a，b的關(guān)系式a2+b2-2a2b2=0.，因?yàn)闄E圓恒過一定點(diǎn)，所以將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為橢圓方程的一般形式，可從一般形式中得到這一定點(diǎn)。

變式3：橢圓C：x2+■=1過點(diǎn)S（-■，0）的動直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以為AB直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)的T坐標(biāo)；若不存在，則說明理由。

題型三、定點(diǎn)與定值綜合

例3.已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為■-1，離心率e=■.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)（1，0）作直線l交E于P，Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使■·■為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：（1）橢圓E的方程為■+y2=1.

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M（m，0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）， 則■=（x1-m，y1），■=（x2-m，y2），

■·■=（x1-m）（x2-m）+y1y2=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2.

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，則x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-■，由m=■，得■·■=-■.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），

由■+y2=1y=k（x+1）得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0

則x1+x2=■，x1x2=■，

y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因?yàn)閷τ谌我獾膋值，■·■為定值，所以2m2-4m+1=2（m2-2），得m=■.所以M[■，0]，此時(shí)■·■=-■。

綜上，符合條件的點(diǎn)M存在，且坐標(biāo)為[■，0].

評注：定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)建立其求解目標(biāo)的代數(shù)表達(dá)式，只要這個(gè)代數(shù)表達(dá)式與引進(jìn)的參數(shù)無關(guān)即可。本題的難點(diǎn)是由■·■的表達(dá)式，如何確定m值使得與直線斜率無關(guān)，化解的方法就是對k進(jìn)行集項(xiàng)，只有當(dāng)k的系數(shù)等于零時(shí)，式子的值才能與k無關(guān)，進(jìn)而求出定點(diǎn)。當(dāng)然也可以先通過特殊位置確定數(shù)量積的值和點(diǎn)M的坐標(biāo)，再進(jìn)行具體證明。

（作者單位：浙江省龍泉第一中學(xué)）