王維

推理能力在數(shù)學中是屬于數(shù)學思考（思維）能力中的一種，因此《課程標準（2011年版）》在數(shù)學思考的目標表述中作了明確的要求，指出：要“發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力”。合情推理是數(shù)學家喬治·波利亞對歸納推理、類比推理等或必然性推理（即推理的結論不一定成立的推理）的特稱。合情推理是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，在某種情境和過程中推出可能性結論的推理。通俗講合情推理就是一種合乎情理的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯(lián)想、自覺、頓悟、靈感等思維形式。合情推理所得的結果具有偶然性，但也不是完全憑空想象，它是根據(jù)一定的知識和方法做出的探索性的判斷。本人結合數(shù)學教學談談如何培養(yǎng)學生的合情推理能力。

一、在數(shù)學概念的學習中培養(yǎng)合情推理能力

數(shù)學概念形成的過程，是數(shù)學家漫長的創(chuàng)造過程，其思考問題的方法和其中包含的數(shù)學思想，往往具有很高的數(shù)學價值。雖然我們不可能把這個形成過程照搬給學生，但是若能發(fā)揮其要領，濃縮精華地將數(shù)學家的發(fā)現(xiàn)過程暴露給學生，提供給學生數(shù)學“再創(chuàng)造”的環(huán)境和機會，則無疑是教會學生“數(shù)學地思考”的重要途徑。在數(shù)學概念的實際學習中，需要理解數(shù)學概念的名稱、定義、例子和屬性， 采取歸納、類比、聯(lián)想、直覺想象等合情推理的方法，讓學生經(jīng)歷從典型、豐富 的具體事例中概括概念的本質(zhì)的活動，而不是給出概念定義、舉例說明、練習鞏固。這樣既符合學生學習概念時由具體到抽象的認識規(guī)律，掌握形式的數(shù)學概念背后的事實，而且更容易讓學生發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，理解概念的內(nèi)涵，把概念納入到已有的認知結構中。比如在進行“有理數(shù)的乘方”的教學時，借助下面例子：由一張厚度為0.1毫米的紙，將它對折1次后，厚度為2×0.1毫米。那么（1）對折2此后，厚度為多少毫米？（2）對折3此后，厚度為多少毫米？（3）對折4此后，厚度為多少毫米？（4）對折20此后，厚度為多少毫米？（5）如果每層樓為3米高，這張紙對折20次后有多少層樓高？讓學生經(jīng)歷“折紙—猜想—計算”的過程，再引入乘方的概念。學生驚訝之余，既提高了學習興趣又鍛煉了推理能力。再如，初中教材是用溫度計經(jīng)過形象類比和推理引入數(shù)學數(shù)軸知識的。

二、在數(shù)學公式、法則、定理教學中培養(yǎng)合情推理能力

數(shù)學公式、法則、定理的發(fā)現(xiàn)過程是數(shù)學家數(shù)學智慧的體現(xiàn)，也是進行合情推理的典范。所以，教師在教學中如果能為學生創(chuàng)造“發(fā)現(xiàn)”定理、公式結論的機會，并且在“發(fā)現(xiàn)”的過程和方法上加以引導，那么學生既能學到鮮活的數(shù) 學知識，又能漸漸體驗和掌握合情推理的方法。在課堂教學中要善于捕捉有利的時機，力求讓學生思維與數(shù)學家發(fā)現(xiàn)問題的思維過程或教材作者的思維過程同步，讓學生參與到知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)過程中去，體驗到發(fā)明創(chuàng)造的思維情景、方法及樂趣，才有利于學生的創(chuàng)新活動。貫徹“兩個過程”原則，“兩個過程”就是數(shù)學定理（公式、法則）的發(fā)生發(fā)展過程和學生的數(shù)學學習過程。貫徹“兩個過程”原則，必須做好兩個還原：第一個是還原數(shù)學定理（公式、法則）的原始發(fā)現(xiàn)過程，第二個是學生思維過程的還原。具體的做法是：①創(chuàng)設問題情景，引發(fā)并處理學生的先前經(jīng)驗和直覺；②開展觀察、實驗、類比、猜想、歸納、特殊化、一般化等活動，形成假設；③利用已有知識進行推理論證活動，檢驗假設，獲得新知，并納入到有的認知結構中。比如在三角形內(nèi)角和180o的教學中，通過學生剪裁拼合三個內(nèi)角，再度量的方式發(fā)現(xiàn)得出三角形內(nèi)角和180o；軸對稱圖形、線、底邊上的中線、高線重合（三線合一）等，教材中沒有加以證明，就用折紙的方法使學生確定它們的存在；在圓的教學中，結合圓的軸對稱性，發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關系；通過觀察、度量，發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角之間的數(shù)量關系；利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)點與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關系等等。在學生通過觀察、操作、變換探究出圖形的性質(zhì)后，還要求學生對發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進行證明，使直觀操作和邏輯推理有機地整合在一起，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續(xù)，這個過程中就發(fā)展了學生的合情推理能力。

三、在數(shù)學解題過程中培養(yǎng)合情推理能力

可以說每一個數(shù)學解題思路的產(chǎn)生都是一個推理的完整過程，從條件要達到結論的彼岸，如何選擇入口？如何實現(xiàn)過渡？怎樣一步步逼近結論？這是一個集觀察、類比、聯(lián)想、直覺等合情推理手段和論證推理的過程。因此，每一個解題過程就是一個“數(shù)學發(fā)現(xiàn)”，也為教師展示“數(shù)學智慧”提供了取之不盡的素材。在解題活動中，培養(yǎng)學生“不妨猜一猜”的良好習慣。在解題活動中，要引導學生在沒有答案（或結論）時，可先猜測一下答案（或結論）；猜測答數(shù)的形式，答數(shù)的范圍；猜測中間結論；猜測解題方向，以形成思路；對某思路的能解性作出估計；培養(yǎng)學生“不妨猜一猜”的良好習慣。例1：在學完乘法公式后教師可為學生創(chuàng)設這樣一個思維情境：

請觀察下列等式：

（a-1）（a+1）=a2-1

（a-1）（a2+a+1）=a3-1

（a-1）（a3+a2+a+1）=a4-1

根據(jù)前面的等式你能得到什么規(guī)律？請用一個等式表示你的發(fā)現(xiàn)，并說明理由。學生對這樣的問題樂于思考和探究，并通過類比容易得到：

（a-1）（an+an-1+an-2+……+a+1）=an-1-1

該結論學生運用多項式的乘法法則可直接推得，這里證明從略。對教師來講，前面的過程只是一種精心設計，而對學生來說卻經(jīng)歷了一個從感性認識到解決問題的完整歷程，其活動的程序大致可表示如下：觀察——研究——歸納——得到猜想——驗證。猜想是通向創(chuàng)造的門扉，猜想給創(chuàng)造以巨大的推動力。在創(chuàng)造的過程中，猜想常常是一個接一個的，一個猜想被證實了，又轉(zhuǎn)入另一個猜想；一個猜想被否定了，又調(diào)換一個新猜想。猜想和證明有時遙遙無期，如哥德巴赫猜想；有時近在咫尺。在猜想中，已經(jīng)包含了學生跳躍性的思維，我們要善于捕捉學生稍縱即逝的思維火花，使它發(fā)揚光大。

總之，在中學教學中進行合情推理方法研究，是提高課堂效率、優(yōu)化教學條件、提升教學水平的一種途徑，對于學生，它不但能使學生學到知識，會解決問題，而且能使學生掌握在新問題出現(xiàn)時該如何應對的思想方法。對于老師，研究合情推理教學能提高自己的業(yè)務水平，增加課堂教學的趣味性，使教學更加有條理。

【參考文獻】

[1]G·波利亞.數(shù)學與猜想[M].北京：科學出版社，2001.

[2]G·波利亞.怎樣解題——數(shù)學教學法的新面貌[M].上海：上海科技教育出版社，2002.

[3]教育部.數(shù)學課程標準（全日制義務教育實驗稿）[M] .北京：北京師范大出版社，2001.

（作者單位：浙江省寧波市明樓中學）