王曉娟

教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)目標(biāo)：（1）掌握等腰三角形存在性問題的常用方法，并重點(diǎn)理解構(gòu)造法解決等腰三角形存在性問題。（2）掌握構(gòu)造法解決等腰三角形存在性問題的條件，能用適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q等腰三角形存在性問題。

（二）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，以及對(duì)綜合性問題的獨(dú)立解決能力，并引導(dǎo)學(xué)生掌握從特殊到一般的研究方法。

（三）情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、探究、歸納、總結(jié)的能力，并在學(xué)習(xí)過程中激發(fā)學(xué)生獨(dú)立探討、協(xié)作學(xué)習(xí)的熱情，以期提高學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：用構(gòu)造法解決等腰三角形的存在性問題。

教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造法解決等腰三角形的存在性問題的基本條件。

教學(xué)方法：課堂討論法

教學(xué)準(zhǔn)備：計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)

教學(xué)過程：

師：昨天我們布置了一道作業(yè)題，讓同學(xué)們課后探究其解法，下面就請(qǐng)同學(xué)們針對(duì)題目談?wù)勀銓?duì)此題的看法，并展示你的作法。（教師屏幕顯示作業(yè)題）

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）。拋物線y=ax2+bx過A、C兩點(diǎn)。

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)。沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)。速度均為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E。

①過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G。當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長？

②連接EQ。在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得△CEQ是等腰三角形？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值。

■

生：老師，昨天的題目中的第一個(gè)問題很簡單，把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中就可以求解，第二個(gè)問題中的線段最大值問題也比較容易解決，只要把EG的長表示成關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式即可，我的答案分別是A（4，8），解析式為y=■x2+4x。第二個(gè)問題的第一小問，是t=4的時(shí)候，EG的最大值為2.

師：他說的對(duì)嗎？

生：對(duì)！

師：那我們現(xiàn)在就來談?wù)勀銓?duì)最后一個(gè)問題的看法。

生：老師，我們小組的同學(xué)，在解決最后一個(gè)問題的時(shí)候，都注意到了，要想使△CEQ成為等腰三角形，首先要分類討論，也就是原來的題目中，并沒設(shè)定哪兩條邊的相等關(guān)系。

師：對(duì)，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，題目并沒有直接給出要使哪兩條邊相等，而是否存在這樣的等腰三角形，需要我們進(jìn)一步求證，我們這節(jié)課就來具體的研究一下等腰三角形的存在性問題。（老師板書：________等腰三角形的存在性問題）

生：我們注意到了這個(gè)問題后，首先做了分類，也就是分三個(gè)方面解決這個(gè)問題，即（1）CE=CQ（2）CE=EQ（3）CQ=EQ。（教師板書上面三條）其中CQ=t，CE=4■-■t，EQ的長也通過過E向CD做垂線，用勾股定理得到，EQ=■。這樣，我們通過解方程的方法就可以獲得最后的答案。

師：其他小組的同學(xué)有什么看法嗎？

生：我們小組也做過方程法的嘗試，但在進(jìn)行的過程中，發(fā)現(xiàn)只有（1）所列的方程比較好解，而（2）中所列方程4■-■t=■的運(yùn)算繁復(fù)冗長，在短時(shí)間內(nèi)并不能保證我們的答案是正確的，因?yàn)槲覀儺厴I(yè)生面臨的是中考，所以我們?cè)谇蠼膺^程中放棄了用t表示EQ的做法。

師：說的比較好，我們面臨的是中考，所以我們所采用的方法必需是清晰、明了、簡單而實(shí)用的，請(qǐng)你繼續(xù)發(fā)言。

生：我們小組認(rèn)為，等腰三角形除了邊等的特點(diǎn)外，還有別的性質(zhì)，比如三線合一的特性，所以我們?cè)诮鉀Q（3）CQ=EQ的過程中，過Q向AC做垂線交AC于N點(diǎn)。從而構(gòu)造△CNQ與△CDA的相似關(guān)系，用對(duì)應(yīng)線段成比例列方程得到答案。而在（2）CE=EQ的求解中，同樣過E向CD做垂線，交CD于M點(diǎn)，只要利用CM為CQ的一半就可以求解了。

師：這個(gè)方法也很好，用相似的原理得到了答案，并且計(jì)算起來，顯然比上一組做法要簡單。對(duì)這個(gè)方法還有不理解的嗎？

生：老師，利用等腰三角形的性質(zhì)來求解的方法是挺簡單，但是我們?cè)诳紤]的時(shí)候，被圖形所迷惑，因?yàn)樵谠瓐D上思考（2）CE=EQ時(shí)，圖形的誤區(qū)，讓我們很難設(shè)想CQ與CM的關(guān)系。

生：老師，我們也是在思考（2）CE=EQ時(shí)把輔助線都畫出來了，但是沒找到等量關(guān)系，最后放棄了。也就是說，（2）和（3）的做法也不是完全相似的，那么有沒有一種做法能夠在方法上讓（2）和（3）得到統(tǒng)一呢？

師：同學(xué)們考慮的很全面，提出的問題也恰到好處，那么讓我們重新審視一下此題，這個(gè)問題是想讓△CEQ構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，其中有兩邊CE和CQ都可以用t來表示，除此之外，此題還有沒有其他的已知條件讓我們忽視了呢？

（稍等了一下）

生：老師，這個(gè)圖形中，∠ECQ的大小始終沒變。

師：回答得非常正確。那么，同學(xué)們可不可以根據(jù)這個(gè)條件來回答此題呢？

生：老師，這道題可以借助上題的輔助線，利用三角函數(shù)來解答，因?yàn)檫@個(gè)已知角的正切值始終是■。

師：非常正確，同學(xué)們還有其他的想法嗎？

（生無人說話）

師：現(xiàn)在老師來推薦一種構(gòu)造法，實(shí)際在這道題中，只有（2）和（3）兩個(gè)結(jié)論讓我們感覺困難，而這兩個(gè)問有個(gè)共同的特點(diǎn)，就是都是要以∠ECQ做底角來構(gòu)造等腰三角形（停頓給學(xué)生以思考的時(shí)間）那么對(duì)于等腰三角形來說，如果給定一個(gè)底角就意味著……

生：形狀一定！

師：對(duì)，這樣你就可以構(gòu)造一個(gè)底角和∠ECQ相等的等腰三角形來，而一個(gè)底角正切值為■的等腰三角形的腰和底邊的比是多少呢？

生：■∶4

生：老師那么這道題就可以列出這樣兩個(gè)式子CE∶CQ=■∶4和CQ∶CE=■∶4。

師：非常正確。試想，這樣的方法把后兩個(gè)分類一并解決了，達(dá)到了方法上的統(tǒng)一，讓思維變得簡單化，而在計(jì)算上，更是出現(xiàn)了一個(gè)奇跡，兩個(gè)式子都可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程。這種解決問題的方式，在我們數(shù)學(xué)上，叫構(gòu)造法。（在題目預(yù)留的橫線上板書：用構(gòu)造法解決）

師：構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種重要的化歸手段，歷史上有不少的著名數(shù)學(xué)家如歐幾里德、歐拉、高斯、拉格朗日等人都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題，而此題是構(gòu)造法中的一支——構(gòu)造幾何圖形法，用它來解決等腰三角形的存在性問題確實(shí)起到了事半功倍的作用。

師：同學(xué)們，想不想再試一下？

生：想。

教師切換屏幕

2012年平和縣初中畢業(yè)班適應(yīng)性考試試題：

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖2擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上.∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm.如圖3，△DEF從圖2的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△DEF的頂點(diǎn)F出發(fā)，以3cm/s的速度沿FD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，P點(diǎn)停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)。DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接BQ、PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）。解答下列問題：

（1）設(shè)三角形BQE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，三角形DPQ為等腰三角形？

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使P、Q、B三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由。

■

師：同學(xué)們看完題目，考慮下第（2）問即可。

（幾分鐘后）

生：老師，這道題的答案是不是2s，■s和■s？

師：正確。

生：老師，用構(gòu)造法解決等腰三角形的存在性問題的確又簡單又方便，以后凡是等腰三角形的存在性問題都可以這樣解決嗎？

師：同學(xué)們說可以嗎？

生：不可以，等腰三角形的存在性問題五花八門，構(gòu)造法適用于有一個(gè)底角是已知角這樣的題目。根據(jù)已知角，能夠構(gòu)造出等腰三角形形狀的題目才可以。

師：說的非常好，無論我們做什么題目，實(shí)際上都要具體問題具體分析，選擇最適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。

師：大家的總結(jié)也非常好。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種方法，它使某些等腰三角形存在性問題由復(fù)雜變得簡單，而數(shù)學(xué)方法有很多種，我們?cè)谑褂眠@些方法的時(shí)候，要有所選擇，不能盲目。數(shù)學(xué)吸引人的地方正是在于一個(gè)復(fù)雜的問題最終用很簡單的方式給予解決，更使我們獲得成功的喜悅和快樂。

（責(zé)任編輯：張華偉）

生：老師那么這道題就可以列出這樣兩個(gè)式子CE∶CQ=■∶4和CQ∶CE=■∶4。

師：非常正確。試想，這樣的方法把后兩個(gè)分類一并解決了，達(dá)到了方法上的統(tǒng)一，讓思維變得簡單化，而在計(jì)算上，更是出現(xiàn)了一個(gè)奇跡，兩個(gè)式子都可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程。這種解決問題的方式，在我們數(shù)學(xué)上，叫構(gòu)造法。（在題目預(yù)留的橫線上板書：用構(gòu)造法解決）

師：構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種重要的化歸手段，歷史上有不少的著名數(shù)學(xué)家如歐幾里德、歐拉、高斯、拉格朗日等人都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題，而此題是構(gòu)造法中的一支——構(gòu)造幾何圖形法，用它來解決等腰三角形的存在性問題確實(shí)起到了事半功倍的作用。

師：同學(xué)們，想不想再試一下？

生：想。

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2012年平和縣初中畢業(yè)班適應(yīng)性考試試題：

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖2擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上.∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm.如圖3，△DEF從圖2的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△DEF的頂點(diǎn)F出發(fā)，以3cm/s的速度沿FD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，P點(diǎn)停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)。DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接BQ、PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）。解答下列問題：

（1）設(shè)三角形BQE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，三角形DPQ為等腰三角形？

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使P、Q、B三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由。

■

師：同學(xué)們看完題目，考慮下第（2）問即可。

（幾分鐘后）

生：老師，這道題的答案是不是2s，■s和■s？

師：正確。

生：老師，用構(gòu)造法解決等腰三角形的存在性問題的確又簡單又方便，以后凡是等腰三角形的存在性問題都可以這樣解決嗎？

師：同學(xué)們說可以嗎？

生：不可以，等腰三角形的存在性問題五花八門，構(gòu)造法適用于有一個(gè)底角是已知角這樣的題目。根據(jù)已知角，能夠構(gòu)造出等腰三角形形狀的題目才可以。

師：說的非常好，無論我們做什么題目，實(shí)際上都要具體問題具體分析，選擇最適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。

師：大家的總結(jié)也非常好。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種方法，它使某些等腰三角形存在性問題由復(fù)雜變得簡單，而數(shù)學(xué)方法有很多種，我們?cè)谑褂眠@些方法的時(shí)候，要有所選擇，不能盲目。數(shù)學(xué)吸引人的地方正是在于一個(gè)復(fù)雜的問題最終用很簡單的方式給予解決，更使我們獲得成功的喜悅和快樂。

（責(zé)任編輯：張華偉）

生：老師那么這道題就可以列出這樣兩個(gè)式子CE∶CQ=■∶4和CQ∶CE=■∶4。

師：非常正確。試想，這樣的方法把后兩個(gè)分類一并解決了，達(dá)到了方法上的統(tǒng)一，讓思維變得簡單化，而在計(jì)算上，更是出現(xiàn)了一個(gè)奇跡，兩個(gè)式子都可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程。這種解決問題的方式，在我們數(shù)學(xué)上，叫構(gòu)造法。（在題目預(yù)留的橫線上板書：用構(gòu)造法解決）

師：構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種重要的化歸手段，歷史上有不少的著名數(shù)學(xué)家如歐幾里德、歐拉、高斯、拉格朗日等人都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題，而此題是構(gòu)造法中的一支——構(gòu)造幾何圖形法，用它來解決等腰三角形的存在性問題確實(shí)起到了事半功倍的作用。

師：同學(xué)們，想不想再試一下？

生：想。

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2012年平和縣初中畢業(yè)班適應(yīng)性考試試題：

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖2擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上.∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm.如圖3，△DEF從圖2的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△DEF的頂點(diǎn)F出發(fā)，以3cm/s的速度沿FD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，P點(diǎn)停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)。DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接BQ、PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）。解答下列問題：

（1）設(shè)三角形BQE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，三角形DPQ為等腰三角形？

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使P、Q、B三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由。

■

師：同學(xué)們看完題目，考慮下第（2）問即可。

（幾分鐘后）

生：老師，這道題的答案是不是2s，■s和■s？

師：正確。

生：老師，用構(gòu)造法解決等腰三角形的存在性問題的確又簡單又方便，以后凡是等腰三角形的存在性問題都可以這樣解決嗎？

師：同學(xué)們說可以嗎？

生：不可以，等腰三角形的存在性問題五花八門，構(gòu)造法適用于有一個(gè)底角是已知角這樣的題目。根據(jù)已知角，能夠構(gòu)造出等腰三角形形狀的題目才可以。

師：說的非常好，無論我們做什么題目，實(shí)際上都要具體問題具體分析，選擇最適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。

師：大家的總結(jié)也非常好。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種方法，它使某些等腰三角形存在性問題由復(fù)雜變得簡單，而數(shù)學(xué)方法有很多種，我們?cè)谑褂眠@些方法的時(shí)候，要有所選擇，不能盲目。數(shù)學(xué)吸引人的地方正是在于一個(gè)復(fù)雜的問題最終用很簡單的方式給予解決，更使我們獲得成功的喜悅和快樂。

（責(zé)任編輯：張華偉）