曹智臣，李浩瑩，周恩龍

(蘇州大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215005)

通常用解析法設(shè)計(jì)凸輪廓線時(shí)[1-2]，先利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，求出凸輪輪廓在動(dòng)坐標(biāo)系中的方程，此過程一般會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)合成與分解法[3]、極坐標(biāo)法等，之后再根據(jù)位移變換矩陣[4]，求出定坐標(biāo)系中的方程。本文以直動(dòng)平底從動(dòng)件盤形凸輪為例，綜合利用三心定理[2]和位移變換矩陣的解析法設(shè)計(jì)凸輪廓線。

很多研究者運(yùn)用CAD/CAE軟件建立凸輪機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)并進(jìn)行仿真分析[5-7]，以及二次開發(fā)工作[8-9]。在研究他們的基礎(chǔ)上，運(yùn)用了全參數(shù)化設(shè)計(jì)的方法，期望建立變量與虛擬樣機(jī)間的全相關(guān)性，便于后續(xù)設(shè)計(jì)的閱讀、修改和二次開發(fā)。

1 解析法確定凸輪輪廓

根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，將凸輪的角速度疊加到從動(dòng)件上[1]，建立定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系如圖1。

圖1 直動(dòng)平底從動(dòng)件盤狀凸輪相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理

在初始位置，從動(dòng)件與凸輪接觸于B0點(diǎn)，基圓半徑rb,偏距為e，此時(shí)s0=|O1B0|=rb。凸輪以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)凸輪靜止，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理可知，從動(dòng)件不僅沿原來的導(dǎo)軌作往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，還相對(duì)于凸輪作角速度為-ω的轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)角為φ時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)系O2-x2y2z2中從動(dòng)件與凸輪接觸于B點(diǎn)，過B作x2軸的垂線，垂足為P，則此時(shí)|PB|=s0+s，s為轉(zhuǎn)角為φ時(shí)從動(dòng)件的位移。

根據(jù)平面高副兩構(gòu)件的瞬心概念[2]，瞬心必在過接觸點(diǎn)B的公法線上，即PB上。又由于凸輪是轉(zhuǎn)動(dòng)副，其瞬心在O1(O2)點(diǎn)，從動(dòng)件是移動(dòng)副，其瞬心在垂直于其移動(dòng)方向的無窮遠(yuǎn)處。根據(jù)三心定理[2]，三個(gè)瞬心必位于同一條直線上，即P點(diǎn)，則在P點(diǎn)處凸輪與從動(dòng)件相對(duì)速度為0，絕對(duì)速度相等。對(duì)于凸輪：

vP=ω·|O2P|

(1)

對(duì)于從動(dòng)件：

(2)

由式(1)、式(2)聯(lián)立可得：

(3)

所以在動(dòng)坐標(biāo)系O2-x2y2z2中，B點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(4)

利用兩坐標(biāo)系之間的位移變換矩陣[5]：

(5)

將式(4)變換到定坐標(biāo)系O1-x1y1z1中，即B點(diǎn)在該坐標(biāo)系中的軌跡方程，也就是凸輪輪廓曲線方程：

(6)

展開為:

(7)

式中：s0為初始狀態(tài)時(shí)凸輪與從動(dòng)件接觸點(diǎn)到凸輪旋轉(zhuǎn)中心的垂直距離；φ為凸輪轉(zhuǎn)角；s為轉(zhuǎn)角為φ時(shí)從動(dòng)件的位移。

2 基于UG的仿真分析

設(shè)計(jì)一個(gè)直動(dòng)平底從動(dòng)件盤形凸輪機(jī)構(gòu)作為實(shí)例進(jìn)行仿真，參數(shù)如表1。

表1 凸輪機(jī)構(gòu)參數(shù)

2.1 基于UGNX表達(dá)式和規(guī)律曲線生成凸輪輪廓及曲線特性分析

2.1.1UGNX表達(dá)式內(nèi)容

由余弦加速度運(yùn)動(dòng)曲線(簡諧運(yùn)動(dòng)曲線)推程規(guī)律方程[1]可得從動(dòng)件位移：

(8)

式中，φ0為與h相對(duì)應(yīng)的凸輪轉(zhuǎn)角，此處就為φW。從動(dòng)件速度：

(9)

從動(dòng)件加速度：

(10)

將式(8)對(duì)φ求導(dǎo)，得：

(11)

將式(8)、(11)帶入式(7)可得凸輪推程廓線方程：

(12)

式中，s1即為推程從動(dòng)件位移。

由圓的方程可得從動(dòng)件位移：

s=h=20mm

(13)

從動(dòng)件速度：

v=0

(14)

從動(dòng)件加速度：

a=0

(15)

顯然：

(16)

將式(13)、式(16)帶入式(7)可得凸輪遠(yuǎn)休程廓線方程。

由正弦加速度運(yùn)動(dòng)曲線(擺線)回程的規(guī)律方程可得從動(dòng)件位移：

(17)

從動(dòng)件速度：

(18)

從動(dòng)件加速度：

(19)

將式(17)對(duì)φ求導(dǎo)，得：

(20)

將式(17)、式(20)帶入式(7)可得凸輪回程廓線方程。

從動(dòng)件位移：

s=0mm

(21)

其余與遠(yuǎn)休程類似。

綜上所述，將各參數(shù)和曲線方程轉(zhuǎn)化為UGNX表達(dá)式語言(Tools→Expression)，將曲線的各物理量參數(shù)及其值用變量名和變量值表示，如表2。此表達(dá)式輸入方法實(shí)現(xiàn)了全參數(shù)化，只要修改凸輪基本參數(shù)的其中任意一個(gè)值，其余值及曲線跟隨變動(dòng)，無需再重新計(jì)算方程式、逐行修改表達(dá)式，此方法比方程直接輸入具體數(shù)值更體現(xiàn)了參數(shù)化的思想，設(shè)計(jì)效率更高。

表2 UGNX表達(dá)式內(nèi)容

2.1.2 利用規(guī)律曲線生成凸輪輪廓曲線

利用UGNX規(guī)律曲線功能(Insert→Curve→Law Curve)，建立由以上表達(dá)式確定的凸輪輪廓方程，再通過草圖畫出基圓、標(biāo)出各轉(zhuǎn)角，如圖2(a)。

2.1.3 曲線特性分析

根據(jù)方程生成的曲線，還要依據(jù)從動(dòng)件類型及其預(yù)定運(yùn)動(dòng)方式，計(jì)算曲線的曲率半徑[10]，檢查曲率過渡是否均勻，有無沖擊及沖擊類型等。運(yùn)用UGNX進(jìn)行曲線特性分析，則可以簡化理論計(jì)算過程。

1) 利用UGNX的曲率梳分析功能[11](Analysis→Curve→Combs)，查看凸輪廓線的曲率梳，如圖2(b)。

可以得到該廓線曲率梳位于同側(cè)，沒有內(nèi)凹現(xiàn)象。推程(余弦加速度運(yùn)動(dòng))與遠(yuǎn)休程之間有柔性沖擊，遠(yuǎn)休程與回程(正弦加速度運(yùn)動(dòng))、回程與近休程之間均無沖擊，這一分析特征符合該運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)特征。

2) 利用UGNX的峰值點(diǎn)分析功能[11](Analysis→Curve→Peaks)，查看凸輪廓線的峰值點(diǎn)，如圖2(c)。

可以從圖4中看到，輪廓上標(biāo)小三角的為峰值點(diǎn)，這些點(diǎn)也是從動(dòng)件加速度的變化點(diǎn)，這將在本文2.2部分驗(yàn)證。

3) 利用UGNX的偏轉(zhuǎn)點(diǎn)分析功能[11](Analysis→Curve→Inflections)，查看凸輪廓線有無偏轉(zhuǎn)點(diǎn)，如圖2(d)。

圖2 凸輪廓線及曲線特性

可以得到該輪廓曲線沒有偏轉(zhuǎn)點(diǎn)，說明曲線函數(shù)不存在凹凸性的變換，這與式(12)等凸輪廓線方程是一致的，從動(dòng)件加速度也不存在正負(fù)號(hào)的變換，這也將在本文2.2部分得到驗(yàn)證。

2.2 基于UGNX的凸輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真

根據(jù)表1的凸輪機(jī)構(gòu)參數(shù)，利用草圖功能(Sketch)建立凸輪機(jī)構(gòu)平面模型，如圖3。

圖3 平面機(jī)構(gòu)模型

圖4 定義連桿及運(yùn)動(dòng)副

進(jìn)入運(yùn)動(dòng)仿真模塊(Start→Motion Simulation)，新建仿真(New Simulation)，選擇運(yùn)動(dòng)學(xué)(Kinematics)。分別定義凸輪和從動(dòng)件為連桿L001和L002，定義凸輪為繞其旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副，角速度為：

ω=10degrees/s

(22)

定義從動(dòng)件為絕對(duì)移動(dòng)副，定義凸輪和從動(dòng)件之間為“線在線上(Curve on Curve)”的高副，定義完成如圖4。

建立解算方案，設(shè)時(shí)間為36s，步數(shù)為360，然后解算。運(yùn)動(dòng)仿真動(dòng)畫，如圖5。

圖5 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真動(dòng)畫

輸出從動(dòng)件位移數(shù)值列表及曲線，如圖6(a)?？砂l(fā)現(xiàn)與理論計(jì)算的從動(dòng)件位移，即式(8)，式(13)，式(17)，式(21)相吻合。

圖6 從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)值列表和函數(shù)曲線

輸出從動(dòng)件速度曲線，如圖6(b)?？砂l(fā)現(xiàn)與理論計(jì)算的從動(dòng)件速度，即式(9)、式(14)、式(18)相吻合。

輸出從動(dòng)件加速度曲線，如圖6(c)?？砂l(fā)現(xiàn)與式(10)，式(15)，式(19)相吻合。且在0°，14°，120°，122°，135°，236°，311°等處有加速度突變，這也與圖2(c)所示的曲線峰值點(diǎn)相吻合。還可以從圖6(c)中發(fā)現(xiàn)加速度沒有負(fù)值，這也與圖2(d)所示的曲線無偏轉(zhuǎn)點(diǎn)相吻合。

3 結(jié)語

采用的解析法思路清晰且較為簡便，并基于UG進(jìn)行數(shù)字化樣機(jī)的建立和仿真分析，只要改變表達(dá)式中變量的值，曲線方程、模型隨之改變，而無需重新設(shè)計(jì)和輸入表達(dá)式，此過程體現(xiàn)了參數(shù)化的思想，縮短了設(shè)計(jì)修改的周期，提高了效率。當(dāng)利用表達(dá)式和規(guī)律曲線生成輪廓曲線后，可以對(duì)曲線的特性進(jìn)行分析，查看有無與預(yù)定運(yùn)動(dòng)和控制相悖的重大缺點(diǎn)，減少了理論計(jì)算曲線特性的過程。最后通過運(yùn)動(dòng)分析，分析整個(gè)旋轉(zhuǎn)周期從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，查看是否符合預(yù)定運(yùn)動(dòng)。由于本文實(shí)例中的凸輪機(jī)構(gòu)是平面機(jī)構(gòu)，故并未拉伸為實(shí)體，而是直接對(duì)曲線做了仿真和分析，簡化了研究過程。

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