李 露，李 峰，鄧雄峰

（1.陜西科技大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，陜西 西安710021；2.聚泰實(shí)業(yè)香港有限公司，廣東 深圳518000）

倒立擺系統(tǒng)廣泛地應(yīng)用在非線(xiàn)性控制理論和研究方面。對(duì)于不同的倒立擺類(lèi)型，控制方法比較多，主要有：雙 PID及自適應(yīng) PID控制[1]、LQR及自適應(yīng) LQR[2]、LQG控制[3]、模糊邏輯控制[5-6]、自適應(yīng)滑模模糊控制[7]、模糊聚類(lèi)[8]、神經(jīng)控制[9]、遺傳算法[10]等，這些方法均能有效地控制倒立擺系統(tǒng)。但這些控制算法有其優(yōu)缺點(diǎn)，同樣復(fù)雜的控制算法，實(shí)時(shí)控制效果不是很好，增加了實(shí)現(xiàn)的難度。PID控制器能夠有效地處理穩(wěn)定狀態(tài)響應(yīng)，但是，要想精確地調(diào)整PID控制器的增益是相當(dāng)困難的；LQR算法在線(xiàn)性系統(tǒng)中能夠較好運(yùn)用，而在非線(xiàn)性較強(qiáng)的系統(tǒng)中也存在一些不足之處；參考文獻(xiàn)[5-8]在模糊邏輯控制的基礎(chǔ)上采用不同的算法，能夠有效地控制非線(xiàn)性系統(tǒng)。模型建立好之后，非線(xiàn)性系統(tǒng)總是線(xiàn)性化在平衡點(diǎn)附近。忽略其他次要部分，這也會(huì)導(dǎo)致大的誤差；遺傳算法控制能夠在全局范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，具有更高的效率，但是也存在不足之處。其交叉和突變作用，不能夠確保個(gè)體具有較好的適應(yīng)度，給目標(biāo)函數(shù)的選取增加了困難。

本文在總結(jié)模糊控制和LQR算法基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自校正模糊PI控制器。運(yùn)用LQR方法，設(shè)計(jì)了融合函數(shù)，對(duì)模糊控制器進(jìn)行降階處理，實(shí)現(xiàn)參數(shù)在線(xiàn)自校正。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，這種模糊控制方法能有效控制二級(jí)倒立擺系統(tǒng)。

1 二級(jí)倒立擺物理模型

在忽略空氣阻力、各種接觸摩擦之后，將二級(jí)倒立擺系統(tǒng)等效為小車(chē)，勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的剛性系統(tǒng)如圖1所示，物理參數(shù)如表1所示。

圖1 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)模型圖

表1 物理參數(shù)

其中，U為系統(tǒng)輸入，Y為系統(tǒng)輸出。A、B、C、D為矩陣，分別為：

通過(guò)調(diào)用MATLAB函數(shù)可以判斷，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是能控能觀的。 由于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為 p1，2，3，4=0、p5，6=±6.2074j，可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，就需要外加控制器。

2 參數(shù)自校正模糊PI控制器的設(shè)計(jì)

2.1 融合函數(shù)的設(shè)計(jì)

二級(jí)倒立擺系統(tǒng)有小車(chē)位移和速度、下擺角度和角速度、上擺角度和角速度6個(gè)變量，如果將這6個(gè)變量作為模糊控制器的輸入，每個(gè)輸入變量在論域范圍內(nèi)取7個(gè)模糊子集，則會(huì)出現(xiàn)76=117 649條推理規(guī)則，這會(huì)大大影響模糊控制器的性能。由于線(xiàn)性系統(tǒng)具有可融合的特點(diǎn)，在此將二級(jí)倒立擺系統(tǒng)6個(gè)變量融合成為綜合誤差E和綜合誤差變化量EC，作為模糊控制器的輸入，則融合函數(shù)設(shè)計(jì)如下[12]。

(2)根據(jù)反饋矩陣K，融合函數(shù)可設(shè)計(jì)為：

(3)融合函數(shù)的輸出，即模糊控制器的輸入為：

2.2 參數(shù)自校正模糊PI控制器的設(shè)計(jì)

在基本模糊控制器基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了參數(shù)自校正模糊PI控制器[5-8]。經(jīng)上述融合函數(shù)降維后，根據(jù)圖2所示的模糊控制二級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)圖，選擇合適的量化因子Ke、Kec和比例因子Ku。E、EC作為模糊控制器1的輸入量，U作為輸出控制量。輸入量和輸出量均采用三角型隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化，每個(gè)語(yǔ)言變量的論域?yàn)閧-6，6}，語(yǔ)言 值 設(shè) 為 {PB，PM，PS，ZE，NS，NM，NB}， 分 別 表 示{正大，正中，正小，零，負(fù)小，負(fù)中，負(fù)大}，以重心法解模糊化[13]。模糊控制器1控制規(guī)則表如表2所示。

圖2 模糊控制二級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)圖

為了對(duì)模糊控制器 1的參數(shù) Ke、Kec、Ku進(jìn)行自校正，引入模糊控制器2，其調(diào)整方法為：當(dāng)系統(tǒng)的誤差E和誤差的變化EC較大時(shí)，應(yīng)加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，此時(shí)需要降低量化因子Ke和Kec來(lái)降低E和EC輸入量的分辨率，同時(shí)加大比例因子 Ku，使響應(yīng)加快；當(dāng)E和EC較小時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)已經(jīng)趨于穩(wěn)定，此時(shí)要求提高系統(tǒng)精度，要增大量化因子Ke和Kec來(lái)提高對(duì)輸入變化的分辨率，同時(shí)減小比例因子，以減小超調(diào)量。此處 Ke、Kec增加的倍數(shù)與比例因子Ku的減小倍數(shù)相同。

表2 模糊控制器1控制規(guī)則表

選擇輸入量和輸出量均為三角型隸屬度函數(shù)進(jìn)行模糊化，取 Ke、Kec的論域?yàn)閧-6，6}，在論域范圍內(nèi)把 E、EC 劃分為 {NB，NS，NM，ZE，PS，PM，PB}7個(gè)模糊子集，取定義 Ku的論域?yàn)閧0.125，0.25，0.5，1，2，4，8}，模糊子集定義為{AH，AM，AL，KO，CL，CM，CH}，分別表示{高放，中放，低放，不變，低縮，中縮，高縮}，以重心法解模糊化。模糊控制器2控制規(guī)則表如表3所示。

表3 模糊控制器2控制規(guī)則表

其中，參數(shù)調(diào)整方法為：(1)以原始的 Ke、Kec對(duì) E、EC進(jìn)行量化得到 E′、EC′；(2)將 E′、EC′作為模糊控制器 2 的輸入量，輸出控制量為調(diào)整倍數(shù)M；(3)令=KeM，=KecM，=Ku/M；(4)用調(diào)整后的參數(shù)、對(duì) E、EC 重新量化；(5)用重新量化得到的 E′、EC′作為模糊控制器 1的輸入，得到控制量U；(6)用比例因子乘以U獲得控制量 u。

對(duì)整定得出的控制量u與系統(tǒng)輸入量作差，作為PI控制器的輸入，再將PI控制器的輸出作為二級(jí)倒立擺狀態(tài)模型的輸入，即可以對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。

3 仿真結(jié)果分析

在Simulink環(huán)境中建立的二級(jí)倒立擺的參數(shù)自校正模糊PI和模糊控制器的仿真結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

根據(jù)式(1)，取 Q=diag(1000，500，500，0，0，0)，R=1，采用LQR方法得到狀態(tài)反饋矩陣K為：

取系統(tǒng)的初始值為零，設(shè)置仿真時(shí)間為5 s，仿真步長(zhǎng)為5 ms，通過(guò)多次調(diào)整參數(shù)，得到兩種控制器仿真曲線(xiàn)圖如圖4所示。由圖4可知，小車(chē)最終距離初始位置10 cm左右處保持平衡，下擺擺角偏離平衡位置最大值為0.05 rad，上擺擺角偏離平衡位置最大值為0.003 rad，系統(tǒng)能在2.5 s左右時(shí)間內(nèi)達(dá)到并維持平衡，由此可見(jiàn)控制效果比較理想。比較兩者的仿真結(jié)果可知，基于融合函數(shù)的參數(shù)自校正模糊PI控制器不僅能使小車(chē)維持平衡，而且系統(tǒng)的響應(yīng)速度也較快，可以用來(lái)對(duì)二級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制。

圖3 參數(shù)自校正模糊PI和模糊控制器的仿真結(jié)構(gòu)圖

圖4 參數(shù)自校正模糊PI和模糊控制器的仿真曲線(xiàn)

在基本模糊控制器結(jié)構(gòu)上，設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自校正模糊PI控制器，通過(guò)融合函數(shù)對(duì)模糊控制器的輸入進(jìn)行降維，避免了控制規(guī)則過(guò)多而影響控制性能的缺點(diǎn)，同時(shí)又對(duì)模糊控制器的量化因子和比例因子進(jìn)行在線(xiàn)校正調(diào)整，達(dá)到了自校正目的。為了測(cè)試倒立擺系統(tǒng)魯棒性，選用了外部測(cè)試方法(即施加外力與系統(tǒng))，系統(tǒng)能夠很快校正偏差，回到平衡位置。仿真結(jié)果和圖5實(shí)時(shí)控制曲線(xiàn)表明，這種控制器能有效地控制二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，具有良好的穩(wěn)態(tài)性能，響應(yīng)速度較快，魯棒性較好。

圖5 二級(jí)倒立擺實(shí)時(shí)控制曲線(xiàn)

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