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        概率方法用于不等式證明中的應用

        2014-08-16 19:23:07阿不拉江·吾買爾
        文理導航 2014年23期
        關(guān)鍵詞:概率數(shù)學

        阿不拉江·吾買爾

        【摘 要】本文通過運用概率方法對數(shù)學不等式的證明,得出了概率方法在解決某些數(shù)學問題時能夠更簡潔,更直觀的觀點。

        【關(guān)鍵詞】概率;數(shù)學;不等式證明

        在數(shù)學的學習過程中,不等式的證明占據(jù)著非常大的比重。能夠證明不等式的方法有很多,可以用初等的普通的數(shù)學運算方法證明,也可以用高等數(shù)學的方法來證明,有時候還需要采用不同方法綜合運用的方式來證明。本文通過概率方法與一般方法對幾個例題的證明,可以看出,概率在證明某些數(shù)學不等式時相較于其它方法,更為直接、簡潔,容易讓人明了。

        例(1):求證:

        若a,b,c,d都是大于等于0小于等于1的數(shù),則有(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd.

        證法一:因為

        (a+b-ab)(c+d-cd)

        =ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

        =ac+bd-abcd+ad(1-c)(1-b)+bc(1-a)(1-d)

        ≥ac+bd-abcd。

        由此可證得結(jié)論(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd

        證法二:通過對不等式的觀察,可以看出其中包含概率的一些規(guī)律和運算,因此可以構(gòu)造以下概率事件,假設(shè)x,y,z,w是概率分別為a,b,c,d的相互獨立的事件,那么通過概率中事件之間的關(guān)系和運算可以得出:

        (x∪y)(z∪w)=xz∪xw∪yz∪yw?勱xz∪yw。

        又P(xz∪yw)≤P((x∪y)(z∪w)).

        又因為x,y,z,w是相互獨立的事件,得

        P(x∪y)=P(x)+P(y)-P(xy)=a+b-ab.。

        同理可證:P(z∪w)=c+d-cd P(xz∪yz)=ac+bd-abcd.

        又因為: P((x∪y)(z∪w))=P(x∪y)P(z∪w)。

        得出結(jié)論: ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd)。

        例(2):求證: 若x∈[0,■],則■≤1。

        證法一:要證■≤1,即證■cos(x-■)≤1+sinxcosx而■cos(x-■)=■[cosxcos■+sinxsin■)=■[cosx■+sinx■)=sinx+cosx

        又因為

        1+sinxcosx-(sinx+cosx)=1-cosα+sinα(cosα-1)=(1-cosx)(1-sinx)≥0

        所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.(1)

        即得■cos(x-■)≤1+sinxcosx。即■≤1。

        證法二:由方法一中的(1)可以看出,要想證明結(jié)論成立,只需要證明:

        cosx+sinx-sinxcosx≤1。

        首選,需要建一個概率模型,假設(shè)事件a,b相互間是獨立的,并且事件a的發(fā)生概率是cosx,事件b的發(fā)生概率是sinx,即

        P(a)=cosx,P(b)=sinx。P(a∪b)=P(a)+P(b)-P(ab)。

        因為a,b事件相互獨立,可以得出:P(ab)=P(a)P(b)

        又因為P(a∪b)≤1,所以P(a)+P(b)-P(ab)=P(a)+P(b)-P(a)P(b)≤1.

        即cosx+sinx-sinxcosx≤1

        由此可證結(jié)論。

        例(3):d為正數(shù)a,b,c,d中最大的,求證:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

        證明:設(shè)A,B,C是三個相互獨立的事件,

        令P(A)=ad,P(B)=bd,p(C)=cd

        顯然0≤P(A)=ad≤1,0≤P(B)=bd≤1,0≤p(C)=cd≤1.

        根據(jù)概率加法公式及事件的獨立性:

        P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>(a/d-ab/d2)+(bd-bc/d2)+(c/d-ac/d2)

        =a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)

        又因為:0≤P(A+B+C)≤1,

        所以:a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)<1

        由此可得出結(jié)論:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

        從以上例子中可以看出,在論證不等式的過程中不僅可以采用普通運算的方法,通過概率方法的應用,能夠使得解體的思路更加的清晰明朗,將抽象的數(shù)學問題變得更加具體化,更加立體化,更具有創(chuàng)造性,進而激發(fā)學生的創(chuàng)新能力。但是概率方式用于不等式的證明也存在一定的局限性,因為此種證明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教學過程中,可以有選擇性的將概率思想方法融入到對于不等式的證明之中,進而拓寬學生的解題思路,提高他們的解題能力。

        【參考文獻】

        [1]陸曉恒.概率方法在數(shù)學證明問題中的應用[J].高等數(shù)學研究,2003,6(3):43-44.

        [2]鄧永錄.應用概率及其理論基礎(chǔ)[M].北京:清華大學出版社,2005.

        (作者單位:喀什地區(qū)體育運動學校)

        【摘 要】本文通過運用概率方法對數(shù)學不等式的證明,得出了概率方法在解決某些數(shù)學問題時能夠更簡潔,更直觀的觀點。

        【關(guān)鍵詞】概率;數(shù)學;不等式證明

        在數(shù)學的學習過程中,不等式的證明占據(jù)著非常大的比重。能夠證明不等式的方法有很多,可以用初等的普通的數(shù)學運算方法證明,也可以用高等數(shù)學的方法來證明,有時候還需要采用不同方法綜合運用的方式來證明。本文通過概率方法與一般方法對幾個例題的證明,可以看出,概率在證明某些數(shù)學不等式時相較于其它方法,更為直接、簡潔,容易讓人明了。

        例(1):求證:

        若a,b,c,d都是大于等于0小于等于1的數(shù),則有(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd.

        證法一:因為

        (a+b-ab)(c+d-cd)

        =ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

        =ac+bd-abcd+ad(1-c)(1-b)+bc(1-a)(1-d)

        ≥ac+bd-abcd。

        由此可證得結(jié)論(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd

        證法二:通過對不等式的觀察,可以看出其中包含概率的一些規(guī)律和運算,因此可以構(gòu)造以下概率事件,假設(shè)x,y,z,w是概率分別為a,b,c,d的相互獨立的事件,那么通過概率中事件之間的關(guān)系和運算可以得出:

        (x∪y)(z∪w)=xz∪xw∪yz∪yw?勱xz∪yw。

        又P(xz∪yw)≤P((x∪y)(z∪w)).

        又因為x,y,z,w是相互獨立的事件,得

        P(x∪y)=P(x)+P(y)-P(xy)=a+b-ab.。

        同理可證:P(z∪w)=c+d-cd P(xz∪yz)=ac+bd-abcd.

        又因為: P((x∪y)(z∪w))=P(x∪y)P(z∪w)。

        得出結(jié)論: ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd)。

        例(2):求證: 若x∈[0,■],則■≤1。

        證法一:要證■≤1,即證■cos(x-■)≤1+sinxcosx而■cos(x-■)=■[cosxcos■+sinxsin■)=■[cosx■+sinx■)=sinx+cosx

        又因為

        1+sinxcosx-(sinx+cosx)=1-cosα+sinα(cosα-1)=(1-cosx)(1-sinx)≥0

        所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.(1)

        即得■cos(x-■)≤1+sinxcosx。即■≤1。

        證法二:由方法一中的(1)可以看出,要想證明結(jié)論成立,只需要證明:

        cosx+sinx-sinxcosx≤1。

        首選,需要建一個概率模型,假設(shè)事件a,b相互間是獨立的,并且事件a的發(fā)生概率是cosx,事件b的發(fā)生概率是sinx,即

        P(a)=cosx,P(b)=sinx。P(a∪b)=P(a)+P(b)-P(ab)。

        因為a,b事件相互獨立,可以得出:P(ab)=P(a)P(b)

        又因為P(a∪b)≤1,所以P(a)+P(b)-P(ab)=P(a)+P(b)-P(a)P(b)≤1.

        即cosx+sinx-sinxcosx≤1

        由此可證結(jié)論。

        例(3):d為正數(shù)a,b,c,d中最大的,求證:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

        證明:設(shè)A,B,C是三個相互獨立的事件,

        令P(A)=ad,P(B)=bd,p(C)=cd

        顯然0≤P(A)=ad≤1,0≤P(B)=bd≤1,0≤p(C)=cd≤1.

        根據(jù)概率加法公式及事件的獨立性:

        P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>(a/d-ab/d2)+(bd-bc/d2)+(c/d-ac/d2)

        =a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)

        又因為:0≤P(A+B+C)≤1,

        所以:a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)<1

        由此可得出結(jié)論:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

        從以上例子中可以看出,在論證不等式的過程中不僅可以采用普通運算的方法,通過概率方法的應用,能夠使得解體的思路更加的清晰明朗,將抽象的數(shù)學問題變得更加具體化,更加立體化,更具有創(chuàng)造性,進而激發(fā)學生的創(chuàng)新能力。但是概率方式用于不等式的證明也存在一定的局限性,因為此種證明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教學過程中,可以有選擇性的將概率思想方法融入到對于不等式的證明之中,進而拓寬學生的解題思路,提高他們的解題能力。

        【參考文獻】

        [1]陸曉恒.概率方法在數(shù)學證明問題中的應用[J].高等數(shù)學研究,2003,6(3):43-44.

        [2]鄧永錄.應用概率及其理論基礎(chǔ)[M].北京:清華大學出版社,2005.

        (作者單位:喀什地區(qū)體育運動學校)

        【摘 要】本文通過運用概率方法對數(shù)學不等式的證明,得出了概率方法在解決某些數(shù)學問題時能夠更簡潔,更直觀的觀點。

        【關(guān)鍵詞】概率;數(shù)學;不等式證明

        在數(shù)學的學習過程中,不等式的證明占據(jù)著非常大的比重。能夠證明不等式的方法有很多,可以用初等的普通的數(shù)學運算方法證明,也可以用高等數(shù)學的方法來證明,有時候還需要采用不同方法綜合運用的方式來證明。本文通過概率方法與一般方法對幾個例題的證明,可以看出,概率在證明某些數(shù)學不等式時相較于其它方法,更為直接、簡潔,容易讓人明了。

        例(1):求證:

        若a,b,c,d都是大于等于0小于等于1的數(shù),則有(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd.

        證法一:因為

        (a+b-ab)(c+d-cd)

        =ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

        =ac+bd-abcd+ad(1-c)(1-b)+bc(1-a)(1-d)

        ≥ac+bd-abcd。

        由此可證得結(jié)論(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd

        證法二:通過對不等式的觀察,可以看出其中包含概率的一些規(guī)律和運算,因此可以構(gòu)造以下概率事件,假設(shè)x,y,z,w是概率分別為a,b,c,d的相互獨立的事件,那么通過概率中事件之間的關(guān)系和運算可以得出:

        (x∪y)(z∪w)=xz∪xw∪yz∪yw?勱xz∪yw。

        又P(xz∪yw)≤P((x∪y)(z∪w)).

        又因為x,y,z,w是相互獨立的事件,得

        P(x∪y)=P(x)+P(y)-P(xy)=a+b-ab.。

        同理可證:P(z∪w)=c+d-cd P(xz∪yz)=ac+bd-abcd.

        又因為: P((x∪y)(z∪w))=P(x∪y)P(z∪w)。

        得出結(jié)論: ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd)。

        例(2):求證: 若x∈[0,■],則■≤1。

        證法一:要證■≤1,即證■cos(x-■)≤1+sinxcosx而■cos(x-■)=■[cosxcos■+sinxsin■)=■[cosx■+sinx■)=sinx+cosx

        又因為

        1+sinxcosx-(sinx+cosx)=1-cosα+sinα(cosα-1)=(1-cosx)(1-sinx)≥0

        所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.(1)

        即得■cos(x-■)≤1+sinxcosx。即■≤1。

        證法二:由方法一中的(1)可以看出,要想證明結(jié)論成立,只需要證明:

        cosx+sinx-sinxcosx≤1。

        首選,需要建一個概率模型,假設(shè)事件a,b相互間是獨立的,并且事件a的發(fā)生概率是cosx,事件b的發(fā)生概率是sinx,即

        P(a)=cosx,P(b)=sinx。P(a∪b)=P(a)+P(b)-P(ab)。

        因為a,b事件相互獨立,可以得出:P(ab)=P(a)P(b)

        又因為P(a∪b)≤1,所以P(a)+P(b)-P(ab)=P(a)+P(b)-P(a)P(b)≤1.

        即cosx+sinx-sinxcosx≤1

        由此可證結(jié)論。

        例(3):d為正數(shù)a,b,c,d中最大的,求證:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

        證明:設(shè)A,B,C是三個相互獨立的事件,

        令P(A)=ad,P(B)=bd,p(C)=cd

        顯然0≤P(A)=ad≤1,0≤P(B)=bd≤1,0≤p(C)=cd≤1.

        根據(jù)概率加法公式及事件的獨立性:

        P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>(a/d-ab/d2)+(bd-bc/d2)+(c/d-ac/d2)

        =a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)

        又因為:0≤P(A+B+C)≤1,

        所以:a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)<1

        由此可得出結(jié)論:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

        從以上例子中可以看出,在論證不等式的過程中不僅可以采用普通運算的方法,通過概率方法的應用,能夠使得解體的思路更加的清晰明朗,將抽象的數(shù)學問題變得更加具體化,更加立體化,更具有創(chuàng)造性,進而激發(fā)學生的創(chuàng)新能力。但是概率方式用于不等式的證明也存在一定的局限性,因為此種證明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教學過程中,可以有選擇性的將概率思想方法融入到對于不等式的證明之中,進而拓寬學生的解題思路,提高他們的解題能力。

        【參考文獻】

        [1]陸曉恒.概率方法在數(shù)學證明問題中的應用[J].高等數(shù)學研究,2003,6(3):43-44.

        [2]鄧永錄.應用概率及其理論基礎(chǔ)[M].北京:清華大學出版社,2005.

        (作者單位:喀什地區(qū)體育運動學校)

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