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        一類“00”型未定式極限的簡(jiǎn)單求法

        2012-05-23 06:30:22
        關(guān)鍵詞:職工大學(xué)河?xùn)|區(qū)題設(shè)

        李 娟

        (天津河?xùn)|區(qū)職工大學(xué),天津 300171)

        “00”型未定式極限一般在求冪指函數(shù)的極限時(shí)產(chǎn)生,通常采用換底方法,即limf(x)g(x)=elimg(x)lnf(x)轉(zhuǎn)化為“0·!”,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“”型極限,利用羅必達(dá)法則求解。但是,當(dāng)極限式子中的f(x)、F(x)比較復(fù)雜,或者其求導(dǎo)運(yùn)算比較麻煩時(shí),應(yīng)用羅必達(dá)法則就會(huì)遇到很多不便。為解決這個(gè)問(wèn)題本文給出一個(gè)新的方法,可以使計(jì)算或證明過(guò)程得以簡(jiǎn)化。

        為此,先提出如下命題:

        命題 設(shè)α、β、α′、β′均為同一自變量變化趨勢(shì)下無(wú)窮小,且α>0,α′>0,α~α′,β~β′。如果極限limα′β′存在,則limαβ存在,且limα′β′=limαβ

        證明 設(shè)y=αβ,取對(duì)數(shù),有l(wèi)ny=βlnα,

        于是limlny=lim(βlnα)

        由題設(shè)limβ=0,lim=1,lim=1

        lim(lnα′β′)=ln(limα′β′)存在

        故limlny= (limβ)(lim)+ (lim)[lim(lnα′β′)]

        =0·1+1·ln(limα′β′)

        =ln(limα′β′)

        則limy=limelny=elim(lny)=eln(limα′β′)=limα′β′證畢通過(guò)舉例,來(lái)看此命題的應(yīng)用及其優(yōu)點(diǎn)。

        解法一 設(shè)y= (sinx)tanx,取對(duì)數(shù),有l(wèi)ny=tanx·(lnsinx)

        解法二 當(dāng)x→0+時(shí),sinx>0,tanx>0

        且sinx~x,tanx~x

        解法二 當(dāng)x→+!時(shí),-arctanx>0且

        解法一 設(shè)y= (cotx)arcsinx,取對(duì)數(shù),有l(wèi)ny=arcsinx·lncotx

        解法二 當(dāng)x→0+時(shí),tanx>0,arcsinx>0,

        且tanx~x,arcsinx~x,

        我們知道,當(dāng)x→0+時(shí),x,sinx,arcsinx,tanx,arctanx,ln(1+x)均大于0,且是彼此等價(jià)的無(wú)窮小量。因此,在求冪指函數(shù)αβ的極限時(shí),如果出現(xiàn)它們,均可用x代替,從而使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。

        [1]劉玉縺編.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,1985.

        [2]盛祥耀編.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1987.

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