李斌

摘 要 數(shù)學(xué)解題不僅能檢測學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓(xùn)練學(xué)生的思維的同時(shí)，開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)解題過程 創(chuàng)造性思維

中圖分類號(hào)：G658.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）14-0105-02

數(shù)學(xué)教育作為學(xué)校教育的重要內(nèi)容之一，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的形成和發(fā)展起著非常重要的作用，尤其作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題又是重中之重。數(shù)學(xué)解題不僅能檢測學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓(xùn)練學(xué)生的思維的同時(shí)，開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

一、數(shù)學(xué)解題對(duì)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，思維的靈活性表現(xiàn)為能對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題作出具體分析，善于根據(jù)情況的變化，及時(shí)調(diào)整原有的思維過程與方法，靈活地運(yùn)用有關(guān)的定理、公式、法則，并且思維不具于固定程式或模式，具有較強(qiáng)的應(yīng)變能力。下面以具體例子來說明數(shù)學(xué)解題對(duì)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

例1 已知a≥-3，解關(guān)于x的方程

x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0

分析：用常規(guī)方法解此四次方程比較困難。調(diào)整思維方向，發(fā)現(xiàn)方程中的最高次數(shù)是2，可把主元與次元作一轉(zhuǎn)換，整理出關(guān)于x的一元二次方程，這樣問題便易于解決了。對(duì)于此題的求解，是通過主元與次元的轉(zhuǎn)換，突破了思維定勢，體現(xiàn)了思維的靈活性。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維活動(dòng)的整個(gè)過程都離不開聯(lián)想、想象、幻想等科學(xué)的想象力，因此，勤于動(dòng)腦、熟練掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)想象的思維方法，往往是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵。

例2 求經(jīng)過點(diǎn)A（4，-1）并且與直線2x-y=0相切與點(diǎn)M（1，2）的圓的方程。

分析：解此題的一般思維方法是先設(shè)出所求的圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2，再由已知條件列出方程組，然后求出系數(shù)a，b，r。這種方法計(jì)算繁瑣，有些學(xué)生會(huì)這樣分析：點(diǎn)M可以看作點(diǎn)圓（x-1）2+（y-2）2=0，所求的圓即過已知直線和點(diǎn)圓交點(diǎn)的圓，通過這種分析就將問題簡單化，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性與科學(xué)性。

根據(jù)上述分析可以利用曲線系的思想和方法求解這個(gè)問題。

解析：設(shè)所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2+ （2x-y）=0，有點(diǎn)A（4，-1）在所求圓上，所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，代入求得 =-2，即所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2-2（2x-y）=0，即x2+y2-6x-2y+5=0。

點(diǎn)評(píng)：這種解法新穎、獨(dú)特、簡便，富于創(chuàng)造性，顯然是想象后的創(chuàng)造性思維方式的結(jié)果。大量的實(shí)踐證明，許多命題的發(fā)現(xiàn)、思路的相成和方法的創(chuàng)造都可通過數(shù)學(xué)猜想、歸納而得到，因此數(shù)學(xué)猜想、歸納是對(duì)學(xué)生平時(shí)培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種方法。

例3 已知f（x）=lg（x2+2x-3m），求（1）函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集時(shí)m的取值范圍；（2）函數(shù)的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集時(shí)m的取值范圍。

分析：若把此例題的兩問不放在一起，很多學(xué)生就會(huì)把它們視為同一個(gè)問題來處理，極易出錯(cuò)。事實(shí)上，這兩問是從不同角度考察二次函數(shù)的圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，故解答過程截然相反。

解：令t=x2+2x-3m，則

（1）若使原函數(shù)的定義域?yàn)镽，則使△<0即可，解之得m<-；

（2）若使原函數(shù)的值域?yàn)镽，則使△≥0即可，解之得m≥-；

（3）擴(kuò)大成果。所得到的結(jié)論能否推廣、引申，得到更為一般的規(guī)律和事實(shí)。這是數(shù)學(xué)研究與發(fā)展的重要方式，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力的良好途徑。

例4 已知三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

本例不難求出結(jié)果。按發(fā)散思維的特性，可對(duì)本題作出不同的變化、猜測。

（1）若三角形的面積為定值時(shí)，它的周長有最大值嗎？

（2）已知直角三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

（3）若四邊形的周長為定值時(shí)，它的面積有最大值嗎？

（4）若封閉的平面曲線周長一定時(shí)，它的面積有最大值嗎？

創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)主要是指擺脫舊的思維序列的束縛影響，機(jī)智靈活地從一種思維過程轉(zhuǎn)向另一種思維過程。這種思維的靈活性表現(xiàn)為能夠根據(jù)客觀事物的發(fā)展與變化，及時(shí)調(diào)整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新的解決問題的方法。也就是說學(xué)生能夠從多視角、多維度、多類型看問題、分析問題和解決問題。這一品質(zhì)可以從課堂反應(yīng)來體現(xiàn)，如學(xué)生的一題多解、一個(gè)故事多種結(jié)尾等等，也可以通過標(biāo)準(zhǔn)化測驗(yàn)來鑒定。如讓學(xué)生說出一件事物的用途，說得越多越好，然后對(duì)所說出的用途進(jìn)行整理分類，分類越多，表明思維的靈活性越強(qiáng)；分類不多，只能表明重復(fù)性大。

二、數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維

解題教學(xué)中要營造一個(gè)和諧、民主的教學(xué)環(huán)境，教師要做好以下幾個(gè)方面的工作：

第一，保證學(xué)生的心理自由。人本主義心理學(xué)認(rèn)為，只有個(gè)體得到充分的心理安全和心理自由，才能充分發(fā)揮和發(fā)展他的創(chuàng)造力。因?yàn)橹挥行睦碜杂桑庞兴季S自由，個(gè)體才能充分進(jìn)行發(fā)散思維，才能表現(xiàn)出創(chuàng)造力。因而，教學(xué)中要營造高度民主、輕松活潑、相互理解的教學(xué)氛圍，這對(duì)于活躍學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑反思的能力，有極為重要的意義。

第二，善待學(xué)生對(duì)問題提出的見解。有一句話說得好，“孩子都是往大人鼓勵(lì)的方向發(fā)展”，學(xué)生提出有別于教師的獨(dú)特想法，是他們現(xiàn)有認(rèn)知水平的表現(xiàn)，是他們認(rèn)真思考、勇于探究的結(jié)果，教師應(yīng)該多給學(xué)生鼓勵(lì)和贊美，以激發(fā)他們創(chuàng)造思考的動(dòng)機(jī)。更為重要的是，當(dāng)其他學(xué)生看到教師鼓勵(lì)和重視提出不同見解的同學(xué)時(shí)，無形中也會(huì)激勵(lì)他們，最后逐漸形成“爭先發(fā)言”的場面，師生關(guān)系也變得融洽、和諧。

第三，訓(xùn)練學(xué)生的統(tǒng)攝能力是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的保證。思維的統(tǒng)攝能力，即辨證思維能力，是學(xué)生創(chuàng)造性思維能力培養(yǎng)與形成的最高層次。在具體教學(xué)中，我們一定要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，它既是科學(xué)的，也是不斷變化和發(fā)展的，它是從否定、否定之否定的變化發(fā)展中篩選出的最經(jīng)得住考驗(yàn)的東西，努力使學(xué)生形成較強(qiáng)的辨證思維能力，也就是說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要密切聯(lián)系時(shí)間、空間等多種可能的條件，將構(gòu)想的主體與其運(yùn)動(dòng)的持續(xù)性、順序性和廣延性作為存在形式統(tǒng)一起來作多方探討，經(jīng)常性地教育學(xué)生思考問題時(shí)不能顧此失彼，掛一漏萬，要做到“兼權(quán)熟計(jì)”。這里，特別是在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們要教育學(xué)生不能單純的依靠定義、定理，而是吸收另一些習(xí)題的啟示，拓寬思維的廣度，在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生逐步完成某個(gè)單元、章節(jié)或某些解題方法規(guī)律的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的思維統(tǒng)攝能力。

（責(zé)任編輯 劉 馨）endprint

摘 要 數(shù)學(xué)解題不僅能檢測學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓(xùn)練學(xué)生的思維的同時(shí)，開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)解題過程 創(chuàng)造性思維

中圖分類號(hào)：G658.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）14-0105-02

數(shù)學(xué)教育作為學(xué)校教育的重要內(nèi)容之一，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的形成和發(fā)展起著非常重要的作用，尤其作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題又是重中之重。數(shù)學(xué)解題不僅能檢測學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓(xùn)練學(xué)生的思維的同時(shí)，開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

一、數(shù)學(xué)解題對(duì)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，思維的靈活性表現(xiàn)為能對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題作出具體分析，善于根據(jù)情況的變化，及時(shí)調(diào)整原有的思維過程與方法，靈活地運(yùn)用有關(guān)的定理、公式、法則，并且思維不具于固定程式或模式，具有較強(qiáng)的應(yīng)變能力。下面以具體例子來說明數(shù)學(xué)解題對(duì)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

例1 已知a≥-3，解關(guān)于x的方程

x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0

分析：用常規(guī)方法解此四次方程比較困難。調(diào)整思維方向，發(fā)現(xiàn)方程中的最高次數(shù)是2，可把主元與次元作一轉(zhuǎn)換，整理出關(guān)于x的一元二次方程，這樣問題便易于解決了。對(duì)于此題的求解，是通過主元與次元的轉(zhuǎn)換，突破了思維定勢，體現(xiàn)了思維的靈活性。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維活動(dòng)的整個(gè)過程都離不開聯(lián)想、想象、幻想等科學(xué)的想象力，因此，勤于動(dòng)腦、熟練掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)想象的思維方法，往往是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵。

例2 求經(jīng)過點(diǎn)A（4，-1）并且與直線2x-y=0相切與點(diǎn)M（1，2）的圓的方程。

分析：解此題的一般思維方法是先設(shè)出所求的圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2，再由已知條件列出方程組，然后求出系數(shù)a，b，r。這種方法計(jì)算繁瑣，有些學(xué)生會(huì)這樣分析：點(diǎn)M可以看作點(diǎn)圓（x-1）2+（y-2）2=0，所求的圓即過已知直線和點(diǎn)圓交點(diǎn)的圓，通過這種分析就將問題簡單化，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性與科學(xué)性。

根據(jù)上述分析可以利用曲線系的思想和方法求解這個(gè)問題。

解析：設(shè)所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2+ （2x-y）=0，有點(diǎn)A（4，-1）在所求圓上，所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，代入求得 =-2，即所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2-2（2x-y）=0，即x2+y2-6x-2y+5=0。

點(diǎn)評(píng)：這種解法新穎、獨(dú)特、簡便，富于創(chuàng)造性，顯然是想象后的創(chuàng)造性思維方式的結(jié)果。大量的實(shí)踐證明，許多命題的發(fā)現(xiàn)、思路的相成和方法的創(chuàng)造都可通過數(shù)學(xué)猜想、歸納而得到，因此數(shù)學(xué)猜想、歸納是對(duì)學(xué)生平時(shí)培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種方法。

例3 已知f（x）=lg（x2+2x-3m），求（1）函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集時(shí)m的取值范圍；（2）函數(shù)的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集時(shí)m的取值范圍。

分析：若把此例題的兩問不放在一起，很多學(xué)生就會(huì)把它們視為同一個(gè)問題來處理，極易出錯(cuò)。事實(shí)上，這兩問是從不同角度考察二次函數(shù)的圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，故解答過程截然相反。

解：令t=x2+2x-3m，則

（1）若使原函數(shù)的定義域?yàn)镽，則使△<0即可，解之得m<-；

（2）若使原函數(shù)的值域?yàn)镽，則使△≥0即可，解之得m≥-；

（3）擴(kuò)大成果。所得到的結(jié)論能否推廣、引申，得到更為一般的規(guī)律和事實(shí)。這是數(shù)學(xué)研究與發(fā)展的重要方式，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力的良好途徑。

例4 已知三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

本例不難求出結(jié)果。按發(fā)散思維的特性，可對(duì)本題作出不同的變化、猜測。

（1）若三角形的面積為定值時(shí)，它的周長有最大值嗎？

（2）已知直角三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

（3）若四邊形的周長為定值時(shí)，它的面積有最大值嗎？

（4）若封閉的平面曲線周長一定時(shí)，它的面積有最大值嗎？

創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)主要是指擺脫舊的思維序列的束縛影響，機(jī)智靈活地從一種思維過程轉(zhuǎn)向另一種思維過程。這種思維的靈活性表現(xiàn)為能夠根據(jù)客觀事物的發(fā)展與變化，及時(shí)調(diào)整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新的解決問題的方法。也就是說學(xué)生能夠從多視角、多維度、多類型看問題、分析問題和解決問題。這一品質(zhì)可以從課堂反應(yīng)來體現(xiàn)，如學(xué)生的一題多解、一個(gè)故事多種結(jié)尾等等，也可以通過標(biāo)準(zhǔn)化測驗(yàn)來鑒定。如讓學(xué)生說出一件事物的用途，說得越多越好，然后對(duì)所說出的用途進(jìn)行整理分類，分類越多，表明思維的靈活性越強(qiáng)；分類不多，只能表明重復(fù)性大。

二、數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維

解題教學(xué)中要營造一個(gè)和諧、民主的教學(xué)環(huán)境，教師要做好以下幾個(gè)方面的工作：

第一，保證學(xué)生的心理自由。人本主義心理學(xué)認(rèn)為，只有個(gè)體得到充分的心理安全和心理自由，才能充分發(fā)揮和發(fā)展他的創(chuàng)造力。因?yàn)橹挥行睦碜杂?，才有思維自由，個(gè)體才能充分進(jìn)行發(fā)散思維，才能表現(xiàn)出創(chuàng)造力。因而，教學(xué)中要營造高度民主、輕松活潑、相互理解的教學(xué)氛圍，這對(duì)于活躍學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑反思的能力，有極為重要的意義。

第二，善待學(xué)生對(duì)問題提出的見解。有一句話說得好，“孩子都是往大人鼓勵(lì)的方向發(fā)展”，學(xué)生提出有別于教師的獨(dú)特想法，是他們現(xiàn)有認(rèn)知水平的表現(xiàn)，是他們認(rèn)真思考、勇于探究的結(jié)果，教師應(yīng)該多給學(xué)生鼓勵(lì)和贊美，以激發(fā)他們創(chuàng)造思考的動(dòng)機(jī)。更為重要的是，當(dāng)其他學(xué)生看到教師鼓勵(lì)和重視提出不同見解的同學(xué)時(shí)，無形中也會(huì)激勵(lì)他們，最后逐漸形成“爭先發(fā)言”的場面，師生關(guān)系也變得融洽、和諧。

第三，訓(xùn)練學(xué)生的統(tǒng)攝能力是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的保證。思維的統(tǒng)攝能力，即辨證思維能力，是學(xué)生創(chuàng)造性思維能力培養(yǎng)與形成的最高層次。在具體教學(xué)中，我們一定要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，它既是科學(xué)的，也是不斷變化和發(fā)展的，它是從否定、否定之否定的變化發(fā)展中篩選出的最經(jīng)得住考驗(yàn)的東西，努力使學(xué)生形成較強(qiáng)的辨證思維能力，也就是說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要密切聯(lián)系時(shí)間、空間等多種可能的條件，將構(gòu)想的主體與其運(yùn)動(dòng)的持續(xù)性、順序性和廣延性作為存在形式統(tǒng)一起來作多方探討，經(jīng)常性地教育學(xué)生思考問題時(shí)不能顧此失彼，掛一漏萬，要做到“兼權(quán)熟計(jì)”。這里，特別是在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們要教育學(xué)生不能單純的依靠定義、定理，而是吸收另一些習(xí)題的啟示，拓寬思維的廣度，在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生逐步完成某個(gè)單元、章節(jié)或某些解題方法規(guī)律的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的思維統(tǒng)攝能力。

（責(zé)任編輯 劉 馨）endprint

摘 要 數(shù)學(xué)解題不僅能檢測學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓(xùn)練學(xué)生的思維的同時(shí)，開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)解題過程 創(chuàng)造性思維

中圖分類號(hào)：G658.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）14-0105-02

數(shù)學(xué)教育作為學(xué)校教育的重要內(nèi)容之一，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的形成和發(fā)展起著非常重要的作用，尤其作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題又是重中之重。數(shù)學(xué)解題不僅能檢測學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的掌握情況，更重要的是能在訓(xùn)練學(xué)生的思維的同時(shí)，開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

一、數(shù)學(xué)解題對(duì)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，思維的靈活性表現(xiàn)為能對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題作出具體分析，善于根據(jù)情況的變化，及時(shí)調(diào)整原有的思維過程與方法，靈活地運(yùn)用有關(guān)的定理、公式、法則，并且思維不具于固定程式或模式，具有較強(qiáng)的應(yīng)變能力。下面以具體例子來說明數(shù)學(xué)解題對(duì)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

例1 已知a≥-3，解關(guān)于x的方程

x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0

分析：用常規(guī)方法解此四次方程比較困難。調(diào)整思維方向，發(fā)現(xiàn)方程中的最高次數(shù)是2，可把主元與次元作一轉(zhuǎn)換，整理出關(guān)于x的一元二次方程，這樣問題便易于解決了。對(duì)于此題的求解，是通過主元與次元的轉(zhuǎn)換，突破了思維定勢，體現(xiàn)了思維的靈活性。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維活動(dòng)的整個(gè)過程都離不開聯(lián)想、想象、幻想等科學(xué)的想象力，因此，勤于動(dòng)腦、熟練掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)想象的思維方法，往往是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵。

例2 求經(jīng)過點(diǎn)A（4，-1）并且與直線2x-y=0相切與點(diǎn)M（1，2）的圓的方程。

分析：解此題的一般思維方法是先設(shè)出所求的圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2，再由已知條件列出方程組，然后求出系數(shù)a，b，r。這種方法計(jì)算繁瑣，有些學(xué)生會(huì)這樣分析：點(diǎn)M可以看作點(diǎn)圓（x-1）2+（y-2）2=0，所求的圓即過已知直線和點(diǎn)圓交點(diǎn)的圓，通過這種分析就將問題簡單化，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性與科學(xué)性。

根據(jù)上述分析可以利用曲線系的思想和方法求解這個(gè)問題。

解析：設(shè)所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2+ （2x-y）=0，有點(diǎn)A（4，-1）在所求圓上，所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，代入求得 =-2，即所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2-2（2x-y）=0，即x2+y2-6x-2y+5=0。

點(diǎn)評(píng)：這種解法新穎、獨(dú)特、簡便，富于創(chuàng)造性，顯然是想象后的創(chuàng)造性思維方式的結(jié)果。大量的實(shí)踐證明，許多命題的發(fā)現(xiàn)、思路的相成和方法的創(chuàng)造都可通過數(shù)學(xué)猜想、歸納而得到，因此數(shù)學(xué)猜想、歸納是對(duì)學(xué)生平時(shí)培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種方法。

例3 已知f（x）=lg（x2+2x-3m），求（1）函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集時(shí)m的取值范圍；（2）函數(shù)的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集時(shí)m的取值范圍。

分析：若把此例題的兩問不放在一起，很多學(xué)生就會(huì)把它們視為同一個(gè)問題來處理，極易出錯(cuò)。事實(shí)上，這兩問是從不同角度考察二次函數(shù)的圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，故解答過程截然相反。

解：令t=x2+2x-3m，則

（1）若使原函數(shù)的定義域?yàn)镽，則使△<0即可，解之得m<-；

（2）若使原函數(shù)的值域?yàn)镽，則使△≥0即可，解之得m≥-；

（3）擴(kuò)大成果。所得到的結(jié)論能否推廣、引申，得到更為一般的規(guī)律和事實(shí)。這是數(shù)學(xué)研究與發(fā)展的重要方式，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力的良好途徑。

例4 已知三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

本例不難求出結(jié)果。按發(fā)散思維的特性，可對(duì)本題作出不同的變化、猜測。

（1）若三角形的面積為定值時(shí)，它的周長有最大值嗎？

（2）已知直角三角形的周長為定值，求其面積的最大值。

（3）若四邊形的周長為定值時(shí)，它的面積有最大值嗎？

（4）若封閉的平面曲線周長一定時(shí)，它的面積有最大值嗎？

創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)主要是指擺脫舊的思維序列的束縛影響，機(jī)智靈活地從一種思維過程轉(zhuǎn)向另一種思維過程。這種思維的靈活性表現(xiàn)為能夠根據(jù)客觀事物的發(fā)展與變化，及時(shí)調(diào)整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新的解決問題的方法。也就是說學(xué)生能夠從多視角、多維度、多類型看問題、分析問題和解決問題。這一品質(zhì)可以從課堂反應(yīng)來體現(xiàn)，如學(xué)生的一題多解、一個(gè)故事多種結(jié)尾等等，也可以通過標(biāo)準(zhǔn)化測驗(yàn)來鑒定。如讓學(xué)生說出一件事物的用途，說得越多越好，然后對(duì)所說出的用途進(jìn)行整理分類，分類越多，表明思維的靈活性越強(qiáng)；分類不多，只能表明重復(fù)性大。

二、數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維

解題教學(xué)中要營造一個(gè)和諧、民主的教學(xué)環(huán)境，教師要做好以下幾個(gè)方面的工作：

第一，保證學(xué)生的心理自由。人本主義心理學(xué)認(rèn)為，只有個(gè)體得到充分的心理安全和心理自由，才能充分發(fā)揮和發(fā)展他的創(chuàng)造力。因?yàn)橹挥行睦碜杂桑庞兴季S自由，個(gè)體才能充分進(jìn)行發(fā)散思維，才能表現(xiàn)出創(chuàng)造力。因而，教學(xué)中要營造高度民主、輕松活潑、相互理解的教學(xué)氛圍，這對(duì)于活躍學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑反思的能力，有極為重要的意義。

第二，善待學(xué)生對(duì)問題提出的見解。有一句話說得好，“孩子都是往大人鼓勵(lì)的方向發(fā)展”，學(xué)生提出有別于教師的獨(dú)特想法，是他們現(xiàn)有認(rèn)知水平的表現(xiàn)，是他們認(rèn)真思考、勇于探究的結(jié)果，教師應(yīng)該多給學(xué)生鼓勵(lì)和贊美，以激發(fā)他們創(chuàng)造思考的動(dòng)機(jī)。更為重要的是，當(dāng)其他學(xué)生看到教師鼓勵(lì)和重視提出不同見解的同學(xué)時(shí)，無形中也會(huì)激勵(lì)他們，最后逐漸形成“爭先發(fā)言”的場面，師生關(guān)系也變得融洽、和諧。

第三，訓(xùn)練學(xué)生的統(tǒng)攝能力是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的保證。思維的統(tǒng)攝能力，即辨證思維能力，是學(xué)生創(chuàng)造性思維能力培養(yǎng)與形成的最高層次。在具體教學(xué)中，我們一定要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，它既是科學(xué)的，也是不斷變化和發(fā)展的，它是從否定、否定之否定的變化發(fā)展中篩選出的最經(jīng)得住考驗(yàn)的東西，努力使學(xué)生形成較強(qiáng)的辨證思維能力，也就是說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要密切聯(lián)系時(shí)間、空間等多種可能的條件，將構(gòu)想的主體與其運(yùn)動(dòng)的持續(xù)性、順序性和廣延性作為存在形式統(tǒng)一起來作多方探討，經(jīng)常性地教育學(xué)生思考問題時(shí)不能顧此失彼，掛一漏萬，要做到“兼權(quán)熟計(jì)”。這里，特別是在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們要教育學(xué)生不能單純的依靠定義、定理，而是吸收另一些習(xí)題的啟示，拓寬思維的廣度，在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生逐步完成某個(gè)單元、章節(jié)或某些解題方法規(guī)律的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的思維統(tǒng)攝能力。

（責(zé)任編輯 劉 馨）endprint