李文博 王大軼 劉成瑞

1. 北京控制工程研究所, 北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)重點實驗室, 北京 100190

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衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的故障可診斷性分析方法*

李文博1,2王大軼1,2劉成瑞1,2

1. 北京控制工程研究所, 北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)重點實驗室, 北京 100190

提出一種適用于線性系統(tǒng)的故障可診斷性分析方法，并將其應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)，從而實現(xiàn)在地面設(shè)計階段提高系統(tǒng)故障診斷能力的目標。為有效解決K-L散度應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)故障可診斷性分析中存在的問題，基于方向相似度原理設(shè)計新的可檢測性和可隔離性量化分析方法。通過數(shù)學仿真，驗證了該方法的正確性和有效性。

衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)；可檢測性分析；可隔離性分析

由于結(jié)構(gòu)和工作模式復雜，以及惡劣空間環(huán)境因素的干擾和影響，衛(wèi)星在軌發(fā)生故障的概率越來越高[1]。為降低故障風險、提高系統(tǒng)可靠性和使用壽命，近二十年來，在理論和工程方面對于衛(wèi)星系統(tǒng)故障診斷與容錯控制的研究取得大量有價值的研究成果[2-10]。到目前為止，主要成果集中于診斷算法的設(shè)計，而對于故障可診斷性方面的研究較少；同時，現(xiàn)有文獻在設(shè)計診斷算法時，通常默認故障是可診斷的。

文獻[11]闡述了故障可診斷性與診斷算法之間的關(guān)系：可診斷性是診斷算法的前提和基礎(chǔ)；只有保證系統(tǒng)的故障可診斷性得到滿足，設(shè)計診斷算法才具有實際意義；同時，較好的可診斷性是快速、準確進行故障檢測和隔離的關(guān)鍵。因此，在設(shè)計階段進行衛(wèi)星系統(tǒng)可診斷性的研究，對于工程人員而言顯得尤為重要。對于可診斷性的研究主要包括可診斷性分析與設(shè)計兩方面[11]。其中，可診斷性分析是進行可診斷性設(shè)計的關(guān)鍵和依據(jù)。然而，由于現(xiàn)階段缺乏具體的分析指標，并沒有將可診斷性納入到衛(wèi)星系統(tǒng)的設(shè)計體系中。往往是在系統(tǒng)設(shè)計完成之后，根據(jù)工程經(jīng)驗，通過硬件冗余的方式提高可診斷性，這種作法大大增加衛(wèi)星的復雜性和成本[5]?；诖耍疚奶岢鲆环N適用于線性系統(tǒng)的故障可診斷性分析方法，并將其應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)。

文獻[2]將衛(wèi)星動量輪故障和外部干擾當作線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測的未知輸入項，設(shè)計了一種新的姿態(tài)跟蹤控制策略，能夠在動量輪發(fā)生故障時有效提升姿態(tài)跟蹤精度；文獻[3]在對故障進行估計的前提下，考慮控制輸入的約束，以近空間飛行器的執(zhí)行機構(gòu)故障為研究對象，提出一種基于模型預測控制思想的容錯控制策略；文獻[6]采用自適應(yīng)觀測器，提出一種適用于中立時滯系統(tǒng)的故障估計方法，能夠快速、準確分析故障的可估計性能；文獻[10]通過設(shè)計雙觀測器對紅外地球敏感器和陀螺組成的姿態(tài)確定系統(tǒng)的故障，然后進行檢測和隔離。但是，上述研究均是通過設(shè)計相應(yīng)觀測器實現(xiàn)故障估計，從而達到可診斷性分析的目的。事實上，不設(shè)計復雜的觀測器/診斷算法，直接通過系統(tǒng)本身特性，快速給出可診斷性分析結(jié)果具有更加重要的實際工程意義。

對于一般控制系統(tǒng)，現(xiàn)有關(guān)于可診斷性分析的文獻主要分為固有和實際可診斷性分析2種。其中，固有可診斷性分析是指：在不依賴于診斷算法的前提下，通過系統(tǒng)模型、輸入/輸出信息，對能否被檢測和隔離或被檢測和隔離的難易程度進行分析；但在分析過程中不考慮模型不確定性(主要包括：未建模動態(tài)、過程噪聲和觀測噪聲等)的影響。具有代表性的成果包括：根據(jù)故障到輸出傳遞函數(shù)的存在性以及不同故障對輸出傳遞函數(shù)的不同響應(yīng)，分析可檢測性和可隔離性[12-13]；通過輸入和輸出構(gòu)造殘差的方式，給出可檢測性和強可檢測性的存在條件[14]；基于狀態(tài)的可觀性分析故障可診斷性[15]；利用關(guān)聯(lián)矩陣進行故障可檢測性和可隔離性的分析[16]。實際可診斷性分析，就是在固有可診斷性分析的基礎(chǔ)上，考慮模型不確定性的影響。由于問題的復雜性，該領(lǐng)域的研究成果相對較少，文獻[17]利用K-L散度對隨機線性系統(tǒng)進行可診斷性的量化分析。然而，將K-L散度應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)時存在以下問題：1) 對于一類本身可被檢測的故障模式，無法分析其可檢測性；2) 當系統(tǒng)測量輸出的個數(shù)等于1時，無法實現(xiàn)可隔離性分析。

鑒于K-L散度在具體應(yīng)用中存在的上述問題，本文在不依賴于任何診斷算法的前提下，提出一種適用于線性系統(tǒng)的故障可診斷性量化分析方法，并將其應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)。為彌補該不足，利用方向相似度原理，基于矩陣的誘導范數(shù)和余弦相似度設(shè)計新的可診斷性量化指標。通過數(shù)學仿真，驗證本文所提方法的正確性和有效性。

1 衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)

衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)是衛(wèi)星進行姿態(tài)控制的重要組成部分，其主要任務(wù)是通過敏感器測量信息，精確估計衛(wèi)星的姿態(tài)角與角速度，并為姿態(tài)控制系統(tǒng)提供反饋信息。衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)主要由敏感器和姿態(tài)確定算法組成，其精度水平對衛(wèi)星姿態(tài)的控制精度和穩(wěn)定度起到?jīng)Q定性作用。通常采用的敏感器包括：星敏感器、紅外地球敏感器、太陽敏感器和陀螺儀等。

(1)

式中：ω0為衛(wèi)星的軌道角速度。

紅外地球敏感器可描述成：

(2)

式中：nhi(t),i=φ,θ為高斯白噪聲；fhi(t),i=φ,θ為紅外地球敏感器的故障向量。

三軸正交安裝陀螺的數(shù)學表達式為：

(3)

式中：gx，gy和gz表示陀螺的測量輸出；bx，by和bz表示陀螺的常值漂移項；dx，dy和dz表示陀螺的指數(shù)相關(guān)漂移項；nx，ny和nz表示零均值的高斯白噪聲；fgx，fgy和fgz表示陀螺的故障矢量。

陀螺的常值和指數(shù)相關(guān)漂移項可以寫成：

(4)

式中：αi為時間常數(shù)；nbi和ndi為虛擬白噪聲。

將式(1)至(4)進行合并，并按如下所示離散狀態(tài)空間模型對衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)進行表述：

(5)

式中：

Δt表示采樣時間間隔，取值為Δt=0.01s；0和I分別為相應(yīng)階數(shù)的零矩陣和單位矩陣。

2 故障可診斷性的量化分析方法

2.1 K-L 散度的分析原理

按照時間序列對式(5)所示衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)進行迭代，得到[17]：

Lzs=Hxs+Ffs+Ees

(6)

式中：s=n+1表示時間窗口的長度；L，H，F(xiàn)和E分別表示相應(yīng)維數(shù)的系數(shù)矩陣，具體形式詳見文獻[17]；zs，xs，fs和es分別表示觀測、狀態(tài)、故障和模型不確定性的時間堆棧向量，具體如下所示：

在式(2)的等號兩邊同時左乘矩陣NH，得到：

NHLzs=NHFfs+NHEes

(7)

式中：NHH=0；NHLzs表示觀測得到的系統(tǒng)動態(tài)行為；NHFfs表示故障矢量，fs為故障模式的時間序列矢量；NHEes表示模型不確定性，根據(jù)式(5)的具體形式可知：NHEes是均值為0，方差為Σ的正態(tài)分布，即NHEes～N(0,Σ)。

從式(7)中可以看出：式(5)所示衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的動態(tài)行為是故障矢量和模型不確定性的線性組合，并服從以下概率分布：當無故障發(fā)生(fs=0)時，NHLzs～N(0,Σ)；而當發(fā)生故障(fs≠0)時，NHLzs～N(NHFfs,Σ)。因此，可以將式(5)所示衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的可診斷性分析問題轉(zhuǎn)化為概率分布中的假設(shè)檢驗問題。

利用K-L散度對上述假設(shè)檢驗問題進行分析，其數(shù)學表達式為：

(8)

式中：pi和pj分別為分布zi和zj的概率密度函數(shù)。

考慮到2個概率分布之間的最小K-L散度滿足這2者的最大似然估計，采用最小K-L散度來定量分析故障fi的可檢測性以及故障fi與fj之間的可隔離性，具體計算公式分別如式(9)和(10)所示[18-19]：

(9)

式中：fsi表示fi對應(yīng)的故障模式；Fi表示fi在F中對應(yīng)的位置矩陣。當FD(fi)=0時，表示故障fi不可被檢測；FD(fi)數(shù)值越大，表示故障fi越容易被檢測，即fi的可檢測性越高。

(10)

2.2 K-L散度在衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)中存在的問題

上一小節(jié)介紹了K-L散度進行可檢測性和可隔離性分析的基本原理。但是，該方法在應(yīng)用于式(5)所示衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)時存在以下問題：1) 對于一類本身可被檢測的故障模式，無法分析其可檢測性；2) 當系統(tǒng)測量輸出的個數(shù)等于1時，無法分析其可隔離性。

下面將對上述2個問題進行詳細闡述。從式(7)中可以看出，K-L散度對故障fi進行可檢測性分析的前提是：NHFifsi≠0；而當fsi≠0且NHFifsi=0時，K-L散度無法分析其可檢測性。

在此，首先給出K-L散度進行可檢測性分析的充要條件：針對式(5)所示衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)，在矩陣NHFi的行最簡階梯形中，當每個非零行的非零元素個數(shù)等于1時，可以采用K-L散度對本身可被檢測的故障模式(fsi≠0)進行可檢測性分析。

證明.

不失一般性，設(shè)矩陣NHFi的維數(shù)為m×n，秩為r。對于非零故障模式fsi≠0，使得NHFifsi=0成立的充要條件為[20]：r

(11)

(充分性)令T為充分大的正數(shù)，且fr+1=Tn-r,…,fn=T，得到：

fsi=-Tn-rai,r+1-…-Tai,n,i=1,…,r

由于fsi非零，則至少有一個系數(shù)ai,j是非零的。不失一般性，設(shè)ai,r+k(1≤k≤n-r)，則：

換言之，在式(11)中，當每個非零行中只有1個非零元素時，即ai,r+1=…=ai,n=0, 1≤i≤r，必有：NHFifsi≠0。

(必要性)若ai,r+1=…=ai,n=0, 1≤i≤r，則fsi=0，這與fsi是非零的前提相矛盾。

因此，當NHFifsi=0時，在第i個非零行中至少有一個元素ai,j≠0。也就是說，當NHFifsi≠0時，在式(11)中，每個非零行的非零元素個數(shù)等于1。

證畢.

針對式(5)所示衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)，K-L散度進行可隔離性分析的前提條件是：測量輸出的個數(shù)大于1。

證明.

設(shè)式(5)中狀態(tài)和輸出的維數(shù)分別為l和t，則矩陣H和[HFj]的維數(shù)分別為(l+t)s×l(s+1)和(l+t)s×[l(s+1)+s]。為保證NH和N(H Fj)存在，必須使得下式成立：

由于t為大于等于1的正整數(shù)，且s=l+1，則l

因此，當系統(tǒng)測量輸出的個數(shù)等于1時，K-L散度僅能給出可檢測性分析結(jié)果，而無法分析可隔離性。

當t≠1時，即t≥2，由l

l

考慮到s=l+1，則上式恒成立。

因此，只有當系統(tǒng)測量輸出的個數(shù)大于1時，才能使用K-L散度進行可隔離性分析。

證畢。

2.3 衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的可診斷性分析

為解決K-L散度在應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)中存在的上述問題，分別基于矩陣誘導范數(shù)和余弦相似度，提出新的故障可診斷性分析方法。

從式(9)中可以明顯看出：NHFifsi是由矩陣NHFi和故障模式fsi兩部分組成。其中，NHFi表示故障矢量在殘差空間中的指向；fsi表示故障矢量的幅值。本小節(jié)通過引入矩陣誘導范數(shù)，解除K-L散度對故障模式fsi的約束。

基于矩陣誘導范數(shù)的定義，得到：

(12)

由此，得到故障fi的可檢測性量化指標為：

(13)

文獻[21]指出，基于解析模型的故障隔離原理主要包括：結(jié)構(gòu)化殘差集和固定方向性殘差兩種。

根據(jù)式(10)所示可隔離性指標，可知：該指標的數(shù)學本質(zhì)與結(jié)構(gòu)化殘差集是一致的，即使得故障矢量僅對fi敏感而對fj不敏感。

為消除對于測量輸出個數(shù)的限制，本小節(jié)基于固定方向性殘差的故障隔離原理[22]，采用余弦相似度對故障fi與fj之間的可隔離性進行分析，即在殘差空間內(nèi)某一固定方向上僅響應(yīng)指定故障，具體計算公式為：

(14)

其中：下角標k表示矩陣的第k列。

上式表明：在s個時間序列內(nèi)，找出故障fi與fj之間空間指向夾角的最小值。在此需要說明的是，由于式(5)所示衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)屬于控制理論中的動態(tài)系統(tǒng)，在每個時刻fi/fj的空間指向均不相同，因此需要找出其中的最小夾角值。

考慮到cosβij的取值范圍為[-1, 1]，為便于對比分析將其轉(zhuǎn)換為正的角度值；且當夾角值超過π/2時作如下處理，得到如下可隔離性分析指標：

(15)

式(15)表明：當其等于0時，故障fi與fj之間不可被隔離；當其越接近π/2時，故障fi與fj之間的可隔離性越高；反之，可隔離性越低。

3 仿真驗證

由于不受上述約束影響，本文所提可診斷性分析方法可以應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)，所得可檢測性和可隔離性的量化分析結(jié)果如表1所示。本文所得結(jié)果與文獻[24]所得結(jié)論相一致，從而驗證了該方法的正確性和有效性。

4 結(jié)論

為實現(xiàn)在地面設(shè)計階段提高衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)故障診斷能力的目標，本文對其故障的可診斷性分析問題開展深入研究，并得到如下結(jié)論：

1) 將衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)描述成離散形式的狀態(tài)空間模型，并闡述了K-L散度對該系統(tǒng)進行可診斷性分析的原理和存在的問題；

2) 為有效解決上述問題，基于方向相似度原理，分別采用矩陣的誘導范數(shù)和余弦相似度，設(shè)計適用于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的可診斷性分析方法；并通過數(shù)學仿真，驗證了該方法的正確性和有效性。

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AnApproachtoFaultDiagnosabilityAnalysisofSatelliteAttitudeDeterminationSystems

LI Wenbo1,2WANG Dayi1,2LIU Chengrui1,2
1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory, Beijing 100190, China

Thispaperproposesamethodforfaultdiagnosabilityanalysisoflinearsystems.ThemethodisappliedtosatelliteattitudedeterminationsystemsandcanimprovetheFDI (FaultDetectionandIsolation)performanceduringthesystemdesignprocess.InordertosolvetheproblemsinquantifyingfaultdiagnosabilityofsatelliteattitudedeterminationsystemsbasedonK-Ldivergence,theprincipleofdirectionalsimilarityareadoptedtodesignanewapproachtoanalyzequantitativelyfaultdetectabilityandisolability.Finally,thecorrectnessandeffectivenessoftheproposedmethodisverifiedthroughamathematicalsimulation.

SatelliteAttitudeDeterminationSystems；DirectionalSimilarity；DetectabilityEvaluation；IsolabilityEvaluation

*國家自然科學基金資助項目(61203093，61004073)和重點實驗室基金資助項目(9140C590304130C59016)

2013- 03- 12

宋征宇(1970-),男，江蘇靖江人，院士，研究方向為運載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計。

TP206+3；V448.22

： A

1006- 3242(2014)06- 0050- 07