李 浩 梁 婕 梁海波 呂章剛

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

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不確定二階系統(tǒng)的非奇異快速終端滑?？刂?/p>

李 浩 梁 婕 梁海波 呂章剛

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854

針對(duì)不確定SISO二階系統(tǒng)中存在不確定參數(shù)、擾動(dòng)等影響，研究非奇異快速終端滑?？刂扑惴ǎO(shè)計(jì)控制器，理論上證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和輸出誤差的有限時(shí)間收斂，與采用線性滑模面的滑?？刂品椒ㄏ啾龋摲椒ㄌ岣吡讼到y(tǒng)的響應(yīng)性能。最后通過(guò)仿真證明了該方法的有效性。

二階系統(tǒng)；非奇異快速終端滑?？刂疲环€(wěn)定性；有限時(shí)間收斂

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)對(duì)制導(dǎo)武器的準(zhǔn)確性、快速性等性能提出了全新的要求，導(dǎo)彈無(wú)疑承擔(dān)了重要的角色。電動(dòng)舵機(jī)是導(dǎo)彈制導(dǎo)和控制系統(tǒng)中執(zhí)行機(jī)構(gòu)的重要組成部分，其性能的好壞直接決定導(dǎo)彈飛行過(guò)程中的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。電動(dòng)舵機(jī)作為典型的二階系統(tǒng)，在實(shí)際應(yīng)用中由于存在參數(shù)變化和擾動(dòng)等不確定因素，控制器必須能適應(yīng)參數(shù)變化和負(fù)載擾動(dòng)的影響，才能取得良好的動(dòng)、靜態(tài)性能。

滑模變結(jié)構(gòu)控制通過(guò)控制作用的切換使系統(tǒng)狀態(tài)保持在滑模面上，對(duì)不確定參數(shù)、擾動(dòng)具有很強(qiáng)的魯棒性，是對(duì)不確定系統(tǒng)進(jìn)行控制的一種有效方法[1]。文獻(xiàn)[2]研究了舵機(jī)控制中舵面鉸鏈力矩和外加干擾對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的影響，提出一種滑模面參數(shù)的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[3]通過(guò)相軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，揭示了滑?？刂圃鲆妗⒒Ｃ鎱?shù)和電機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[4]采用滑模變結(jié)構(gòu)控制提高了系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，改善了系統(tǒng)在干擾條件下的性能。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了一種PID形式的滑模面，當(dāng)存在不確定參數(shù)、外界擾動(dòng)和非線性因素時(shí)可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。上述文獻(xiàn)的滑?？刂破鞑捎镁€性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上指數(shù)收斂，意味著系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后只有當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)才能收斂到平衡點(diǎn)。

終端滑?？刂仆ㄟ^(guò)在滑模面中引入終端吸引子來(lái)改變系統(tǒng)的收斂特性，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂[6]，然而終端滑模只有在系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近才具備快速收斂性，文獻(xiàn)[8]中提出的快速終端滑模雖然在系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)仍具有快速收斂性，但存在奇異性問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]針對(duì)n階系統(tǒng)提出一種非奇異快速終端滑模面，解決了奇異性問(wèn)題，但針對(duì)具體應(yīng)用對(duì)象時(shí)其控制律不易實(shí)現(xiàn)。

本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上提出一種不確定SISO二階系統(tǒng)的快速終端滑模控制方法，基于系統(tǒng)模型參數(shù)的界來(lái)設(shè)計(jì)魯棒控制器，可以有效地抑制系統(tǒng)中不確定性對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

1 問(wèn)題描述

考慮如下二階系統(tǒng)：

(1)

其中，x=[x1,x2]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量，y為系統(tǒng)輸出，u為系統(tǒng)輸入控制量，φ(x)∈Rm-1為已知函數(shù)組成的向量，a=[a1,a2,…，am-1]T，ai∈R(i=1,2,…，m-1)。b為控制增益，Δ為系統(tǒng)未建模動(dòng)態(tài)，a和b不確定，但滿足：

假設(shè)1：系統(tǒng)參數(shù)和干擾有界，即：

ai,min≤ai≤ai,max,i=1,2,…,m-1

0

(2)

其中，ai,min,ai,max,bmin,bmax和ζd已知。

控制的目標(biāo)是對(duì)模型(1)，在滿足假設(shè)1和2時(shí)，設(shè)計(jì)控制器，使系統(tǒng)輸出誤差e1=y-xd收斂為0，并且保證系統(tǒng)中所有信號(hào)有界。

2 控制器設(shè)計(jì)

以式(1)作為研究對(duì)象，可設(shè)計(jì)如下非奇異快速終端滑模面(NFTSM)[9]：

(3)

其中，β>0，c>0，γ=p1/q1，p1和q1為大于0的互質(zhì)奇數(shù)，且p1

(4)

其中，t0為系統(tǒng)到達(dá)滑模面σ2的時(shí)間，而γ′和β′為：

注1：式(3)中，若令β=γ=1，則σ2為線性滑模面。然而非奇異快速終端滑模面中當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)，可實(shí)現(xiàn)誤差e1的有限時(shí)間收斂，而線性滑模面中當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)只能實(shí)現(xiàn)誤差的指數(shù)收斂。

對(duì)σ2求導(dǎo)，可得[9]：

(5)

(6)

則由式(3)可知：

(7)

(8)

=-cσ2+β″[bu+φT(x)a+Δ+xed]

=-cσ2+β″[bu+ψT(x)θ+Δ]

(9)

由式(9)可設(shè)計(jì)如下控制律：

u=(us1+us2)/bmin

(10)

注2：式(10)中us1用于構(gòu)造趨近律，加快系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面的速度。而us2則用于抑止系統(tǒng)中不確定性的影響，這里us2是基于不確定參數(shù)和系統(tǒng)擾動(dòng)的界來(lái)設(shè)計(jì)的。

3 穩(wěn)定性分析

定理1：對(duì)于對(duì)象(1)，采用式(3)和(10)組成的控制器時(shí)，有：

1) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

2) 系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂。

(11)

2) 首先證明系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面σ2，分2種情況來(lái)證明。

由式(11)可知：

(12)

(13)

即：

(14)

(15)

將式(10)代入式(15)，有：

ψT(x)θ+Δ

(16)

當(dāng)σ2>0時(shí)，有：

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面σ2之后，由式(3)和(4)可知，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。

4 仿真與分析

以電動(dòng)舵機(jī)為例，進(jìn)行仿真分析。忽略電感的影響，舵機(jī)的數(shù)學(xué)模型為[10]：

(17)

其中，δ為舵偏角，u為電機(jī)電樞電壓，J，f和K1分別為折算到舵機(jī)輸出端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、粘滯摩擦系數(shù)和力矩-電壓轉(zhuǎn)換常數(shù)，Δ′為系統(tǒng)未建模動(dòng)態(tài)。TL為舵機(jī)負(fù)載力矩，TL為舵偏角的函數(shù)[10]：

(18)

(19)

其中，Δ=Δ′/J。由(19)可知φ(x)=[-x1,-x2,-1]T，ai(i=1,2,3,4)為：

計(jì)算可得a=[23.81,1.2,0.635]T，b=1.714。在進(jìn)行仿真時(shí)假設(shè)參數(shù)a和b未知，但其最小值和最大值已知，分別為：amin=[20,1.0,0.48]T，bmin=1.34，amax=[28.58,1.5,0.8]T，bmax=2.057。

對(duì)2種控制器進(jìn)行對(duì)比，即非奇異快速終端滑?？刂破?NFTSMC)和基于線性滑模面的滑?？刂破?LSMC)。采用Matlab/Simulink的ODE4仿真算法，仿真步長(zhǎng)為1ms，仿真時(shí)長(zhǎng)為5s。控制器參數(shù)分別為：

1) NFTSMC

β=0.1，c=10，γ=r=3/5，k1=k2=20，k3=4。

2) LSMC

由注1知，當(dāng)終端滑模面中的β=γ=1時(shí)，可獲得線性滑模面，因此令NFTSMC中β=γ=1，則可得LSMC。

仿真時(shí)分別對(duì)階躍輸入和正弦跟蹤時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)性能進(jìn)行比較。

1) 0.1rad的階躍響應(yīng)

為了使期望軌跡滿足假設(shè)2，設(shè)置如下前置濾波器來(lái)獲得階躍響應(yīng)時(shí)的期望軌跡：

(20)

圖1為階躍響應(yīng)時(shí)的誤差曲線。由圖可知在階躍響應(yīng)時(shí)NFTSMC比LSMC收斂速度更快。由于仿真時(shí)的計(jì)算誤差等原因，系統(tǒng)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，從圖1中的放大圖可以看出NFTSMC的穩(wěn)態(tài)誤差比LSMC的小。圖2為階躍響應(yīng)時(shí)的系統(tǒng)控制量。由于在控制律中采用符號(hào)函數(shù)sign(σ2)，系統(tǒng)控制中存在一定程度的抖振。

在正弦跟蹤時(shí)，系統(tǒng)初始位置設(shè)置為0.2rad。圖3為正弦跟蹤的系統(tǒng)誤差，由圖可知在正弦跟蹤時(shí),與LSMC相比，NFTSMC的收斂速度快，穩(wěn)態(tài)誤差小。圖4為正弦跟蹤時(shí)的系統(tǒng)控制量。

圖1 階躍響應(yīng)時(shí)系統(tǒng)誤差曲線

圖2 階躍響應(yīng)時(shí)的系統(tǒng)控制量

2) 0.2sin(πt)rad的正弦信號(hào)跟蹤

圖3 正弦跟蹤時(shí)系統(tǒng)誤差

由階躍響應(yīng)和正弦跟蹤的仿真結(jié)果可知，NFTSMC在系統(tǒng)響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面均比LSMC具有更好的性能。

圖4 正弦跟蹤時(shí)系統(tǒng)控制量

5 結(jié)論

針對(duì)不確定二階系統(tǒng)研究了一種非奇異快速終端滑?？刂品椒ǎ谙到y(tǒng)存在不確定參數(shù)和外界擾動(dòng)的情況下，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，并使系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)證明該方法比采用線性滑模面的滑模控制具有更快的收斂速度和更高的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)精度。

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Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Control for Uncertain Second Order System

LI Hao LIANG Jie LIANG Haibo LV Zhanggang

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Theapproachofnonsingularfastterminalslidingmodecontrolisresearchedandthecontrollerforsecondordersystemwithuncertainparametersandloaddisturbanceisdesigned.Theclose-loopstabilityofthesystemandthefinite-timeconvergenceofthetrajectorytrackingerrorareproved.Thesystemperformanceisimprovedincomparisonwiththeslidingmodecontrolbasedonlinearslidingmode.Finally,theeffectivenessofproposedmethodisvalidatedbysimulation.

Secondordersystem；Nonsingularfastterminalslidingmodecontrol；Stability；Finite-timeconvergence

2013-10-08

李 浩(1982-)，男，四川漢源人，博士，工程師，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)綜合，滑?？刂?；梁 婕(1980-)，女，四川成都人，碩士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)綜合，自動(dòng)控制；梁海波(1984-)，男，天津?qū)氎嫒?，博士，工程師，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)綜合，導(dǎo)航制導(dǎo)與控制；呂章剛(1986-)，男，山東煙臺(tái)人，碩士，助理工程師，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)綜合，自動(dòng)控制。

1006-3242(2014)04-0008-05

TP13

A