郭付明 高曉光 端軍紅

西北工業(yè)大學電子信息學院，西安710129

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空天再入飛行器最優(yōu)過渡段軌道設計方法研究

郭付明 高曉光 端軍紅

西北工業(yè)大學電子信息學院，西安710129

針對空天再入飛行器在再入角和再入點位置給定條件下的過渡段軌道設計問題，提出了一種最優(yōu)過渡段軌道的設計方法。首先，在制動點給定的條件下，由制動脈沖最大限制求得初始航跡角的區(qū)間范圍，然后詳細推導了由給定再入角解析計算初始航跡角的公式，進而可由初始航跡角計算所需的離軌制動脈沖和轉(zhuǎn)移時間。最后用一維搜索策略對轉(zhuǎn)移時間最短和燃料消耗最小的最優(yōu)制動點位置進行了迭代求解。仿真表明，該算法簡單易行，具有很強的實時性，對于空天再入飛行器再入時最優(yōu)過渡軌道的設計具有較高的工程應用價值。

過渡段軌道設計；離軌制動脈沖；再入角；最優(yōu)制動位置

近年來，由于空間遠程快速運輸系統(tǒng)和全球快速精確打擊等的需求，各類能夠往返于地球表面和空間軌道之間的空天飛行器成為各國的研究熱點。其中具有代表性的是美國研制的X-37B軌道試驗飛行器[1]，它不僅可用于空間運輸和空間試驗，而且在偵查監(jiān)視與預警、全球快速精確打擊等軍事應用方面具有重大潛力。此外，這類飛行器還有美國獵鷹計劃中的通用航空飛行器(CAV)、空間作戰(zhàn)飛行器(SOV)以及可重復使用運載器(RLV)等。

空天再入飛行器的返回過程可分為原軌道運行段、過渡段和大氣內(nèi)再入飛行段[2]。目前國內(nèi)外對再入飛行器返回過程中的再入飛行段進行了大量的研究，主要研究內(nèi)容集中在以下幾個方面：再入飛行器的再入制導方法[3-4]、再入軌跡的離線優(yōu)化問題[5-7]和三自由度再入軌跡的實時在線生成技術[8]。而關于再入飛行器過渡段的軌道設計問題研究較少，許多文獻研究飛行器再入飛行段時均假定再入點位置和再入?yún)?shù)已知[9-10]。文獻[11-13]在研究氣動力輔助軌道轉(zhuǎn)移的離軌階段時，均采用簡單的切向脈沖離軌制動方法來確定再入點位置和再入?yún)?shù)，過渡轉(zhuǎn)移軌道遠地點為離軌點，近地點在大氣層內(nèi)。文獻[14-15]研究了航天器連續(xù)小推力離軌制動的最優(yōu)控制問題，但連續(xù)小推力離軌制動時間過長，一般不滿足航天器快速返回的任務需求。文獻[16]在圓軌道情況下分析了依據(jù)初始軌道半徑和可施加的速度脈沖范圍確定最優(yōu)離軌推力角和轉(zhuǎn)移橢圓軌道的方法，但不適用于再入點位置已規(guī)劃好的情況。文獻[17]通過改變制動點的位置，不斷迭代求解Lambert問題來尋找滿足給定再入角和再入位置的過渡段轉(zhuǎn)移軌道，每改變一次制動點位置，均要重新求解一次Lambert問題，計算較為繁瑣，效率不高。

本文針對再入角和再入點位置給定條件下的空天再入飛行器過渡段軌道設計問題，首先推導出由給定再入角解析計算初始航跡角的公式，進而可用初始航跡角由極坐標系下的轉(zhuǎn)移軌道速度計算公式直接求出所需的離軌制動脈沖，避免了迭代計算，在此基礎上，以初始軌道飛行弧段對應的地心角為迭代變量，采用黃金分割法迭代求解出轉(zhuǎn)移時間最短和燃料消耗最小過渡軌道對應的制動點位置。

1 最優(yōu)過渡段轉(zhuǎn)移軌道設計問題

如圖1所示，設再入飛行器在初始點M收到再入任務命令，要求以給定的再入角到達再入點E。再入飛行器并不立即進行離軌制動，而是沿原軌道飛行一段時間后，在K點進行離軌制動，顯然不同的制動點K對應的總轉(zhuǎn)移時間和需要施加的制動速度脈沖各不相同，把所需轉(zhuǎn)移時間最短或燃料消耗最小的制動點都稱為最優(yōu)制動點。最優(yōu)過渡段轉(zhuǎn)移軌道設計問題的實質(zhì)就是最優(yōu)制動點位置的選擇和制動脈沖的求解問題。

圖1 最優(yōu)過渡段軌道設計問題示意圖

若給定制動點位置，且規(guī)定從制動點到再入點的轉(zhuǎn)移時間，則再入飛行器從制動點到再入點的軌道轉(zhuǎn)移過程可以看成Lambert問題。但是Lambert問題僅僅對轉(zhuǎn)移時間有要求，對飛行器到達目標位置的速度傾角并沒有進行限制，然而對于再入飛行器來說，再入點處的速度傾角對飛行器大氣再入段的過載和熱負荷起著十分重要的作用，一般在任務規(guī)劃階段應給出確定值，飛行器到達再入點的速度傾角應嚴格滿足給定值；相反，對轉(zhuǎn)移飛行時間并不需要嚴格規(guī)定為某一定值，只需要在一定的時間范圍內(nèi)即可。

下面首先研究制動點位置、再入角、再入點位置均給定的情況下離軌制動脈沖的求解方法，在此基礎上，再討論確定最優(yōu)制動點位置的迭代算法。

2 制動點給定時離軌制動脈沖的求解方法

2.1 極坐標系下軌道方程

以地心為極點，地心到再入飛行器制動點的連線為極軸建立極坐標系，再入飛行器的運動可以用極徑r和極角θ表示，如圖2所示。

圖2 極坐標示意圖

假設再入飛行器只受地球引力的作用，則在r1和r2組成的平面內(nèi)，再入飛行器的運動方程可描述為[18]

(1)

V=

(2)

初始速度脈沖的方向由下式確定

(3)

其中，

(4)

在0<λ<2，λ=2，λ>2三種情況下，由積分式(4)，可得飛行時間的閉合形式解ft(γ)(具體形式參見文獻[18])，它們分別對應的轉(zhuǎn)移軌道形狀為橢圓、拋物線和雙曲線。

2.2 初始航跡角范圍限定

由于再入飛行器攜帶燃料有限，其制動速度脈沖有最大值限制，所以制動后的速度大小也不會超過某一最大值。設飛行器初始速度大小為V0，制動速度脈沖最大值為ΔVmax，當制動速度脈沖沿初始速度方向時，制動后所能達到的最大速度為

Vmax=V0+ΔVmax

(5)

在式(2)中，將V對γ求導并令導數(shù)為0，可得極點

(6)

(7)

求解上式中的γ，可得最大制動速度對應的2個極限速度傾角為

(8)

(9)

其中，

Δ=k4sin2θf-(1-cosθf)2+

2.3 由給定再入角解析求解初始航跡角

由2.1節(jié)可知，若已知制動點位置、再入點位置和初始航跡角，便可求出到達再入點所需的初始速度和轉(zhuǎn)移時間，進一步可得到再入飛行器到達再入點時的速度和再入角。因此再入角可以看作是關于初始航跡角的函數(shù)，下面推導再入角關于初始航跡角的關系式。

(10)

在r1處，由能量守恒定理可得轉(zhuǎn)移軌道半長軸

(11)

在r2處，由能量守恒定理有

(12)

將式(11)帶入式(12)可得

(13)

將式(13)帶入式(10)，可得再入角γf關于初始速度傾角γ的函數(shù)關系式

γf=fγ(γ)

(14)

圖3 再入角-航跡角關系曲線

在滿足初始航跡角限制時，再入角關于初始航跡角的函數(shù)曲線形狀可能出現(xiàn)如圖4所示的3種情況：單調(diào)增，單調(diào)減，先單調(diào)增后單調(diào)減。對于單調(diào)增和單調(diào)減的情況，如果給定再入角，可能存在唯一的初始航跡角，使再入飛行器到達再入點時滿足給定的再入角要求，也可能不存在滿足要求的初始航跡角；對于先單調(diào)增后單調(diào)減的情況，則可能有3種結(jié)果： 存在唯一的初始航跡角、存在2個初始航跡角或不存在滿足給定再入角要求的初始航跡角。

圖4 航跡角限制下的再入角-航跡角關系曲線

對于上述由已知再入角求解初始航跡角的問題，直觀的想法是先確定一個隔根區(qū)間，然后迭代求解方程γf=fγ(γ)的根，但是下面經(jīng)過推導發(fā)現(xiàn)式(14)可化為關于tanγ的一元二次方程形式，從而可獲得γ的解析解，避免了求解γ值的迭代計算。

2、基于當下開始普及流行的 HTML5，Web App可以實現(xiàn)很多原本Native App才可以實現(xiàn)的功能，比如 Canvas、本地離線存儲等；

(15)

將式(2)和(13)帶入上式，經(jīng)化簡整理可得

acos2γ+bcosγsinγ+c=0

(16)

將式(16)進一步整理為關于tanγ的一元二次方程形式

ctan2γ+btanγ+a+c=0

(17)

解上述方程可得求解γ的解析公式

(18)

特別地，當γf=0時，方程有唯一實根

(19)

此時γ值對應圖2中曲線的頂點。

2.4 離軌制動脈沖求解步驟

綜上，將再入飛行器在制動點位置、再入角和再入點位置均給定的情況下解析求解離軌制動脈沖的步驟歸納如下：

1)根據(jù)變軌速度增量限制由式(8)和(9)求解初始航跡角范圍[γmin,γmax]；

2)將制動點位置r1、再入點位置r2、地心角θf、給定再入角γf帶入式(18)，求解初始航跡角；

3)將初始航跡角值γ1和γ2與步驟1)求解出的航跡角范圍進行比較，若γ1和γ2有1個值位于區(qū)間[γmin,γmax]內(nèi)，則該值即為所求；若γ1和γ2均位于限制區(qū)間內(nèi)，由文獻[19]可知轉(zhuǎn)移飛行時間隨初始航跡角單調(diào)遞增，較小的初始航跡角對應的轉(zhuǎn)移軌道所需轉(zhuǎn)移時間較少，因此可選擇較小的初始航跡角作為求解結(jié)果；若γ1和γ2均位于限制區(qū)間外，則不存在滿足要求的解；

4)將步驟3)所求的初始航跡角帶入式(2)～(4)，求得所需初始速度矢量V和轉(zhuǎn)移時間，進而求解離軌速度脈沖矢量ΔV=V-V0，其中V0為制動點處原軌道速度矢量。

3 最優(yōu)過渡段軌道的確定

在以上求解制動脈沖問題的討論中，假設再入飛行器的制動點是給定的，但在實際工程中，考慮到過渡段時間與能量的限制有必要對過渡段的軌道設計進行尋優(yōu)，即確定最優(yōu)制動點的位置。在得到最優(yōu)制動點位置后，由上節(jié)給出的方法求得該制動點處的制動速度脈沖，便可完成最優(yōu)過渡段軌道的設計。下面分別討論最短轉(zhuǎn)移時間和最小燃料消耗制動點的求解方法。

3.1 最短轉(zhuǎn)移時間制動點求解

1)置初始區(qū)間[θmin,θmax]=[0,θME]及精度要求ε>0，計算試探點λ1，μ1，計算函數(shù)值tME(λ1)，tME(μ1)，其中試探點計算公式為

λ1=θmin+0.382(θmax-θmin)

(20)

μ1=θmin+0.618(θmax-θmin)

(21)

2)若θmax-θmin<ε，則停止計算，取最優(yōu)值θMK=(θmin+θmax)/2。否則，當tME(λ1)>tME(μ1)時， 轉(zhuǎn)步驟3)；當tME(λ1)≤tME(μ1)時，轉(zhuǎn)步驟4)。

3)置θmin=λ1，λ1=μ1，μ1=θmin+0.618(θmax-θmin)，計算函數(shù)值tME(μ1)，轉(zhuǎn)步驟2)；

4)置θmax=μ1，μ1=λ1，λ1=θmin+0.382(θmax-θmin)，計算函數(shù)值tME(λ1)，轉(zhuǎn)步驟2)。

3.2 最小燃料消耗制動點求解

4 仿真算例

設再入飛行器初始時刻位于軌道傾角i0=0°的近地圓軌道上，軌道高度為400km，初始點M的經(jīng)度φM=30°，緯度φM=0°。再入點在地心慣性系中的經(jīng)度、緯度、高度分別為φE=120°，φE=5°，hE=120km，且滿足給定再入角γE=-6.0°。再入飛行器離軌制動速度脈沖限制ΔVmax=2000m/s，黃金分割法的迭代精度ε=0.01°。

最短轉(zhuǎn)移時間過渡軌道設計結(jié)果如表1所示，最小燃料消耗過渡軌道設計結(jié)果如表2所示。圖5為再入飛行器在地心慣性系OXYZ中的過渡段飛行軌跡，圖中M為初始點，E為再入點，K1為最短轉(zhuǎn)移時間制動點，K2為最小燃料消耗制動點。

表1 最短轉(zhuǎn)移時間制動點設計參數(shù)

表2 最小燃料消耗制動點設計參數(shù)

圖5 再入飛行器過渡段飛行軌跡

在本仿真算例中，由最短轉(zhuǎn)移時間過渡軌道設計結(jié)果可知，θMK數(shù)值很小，可以近似認為制動點與初始點位置相同，制動速度脈沖大小為1491.70m/s，總體轉(zhuǎn)移時間1173.12s。對于最省燃料設計結(jié)果，θMK為42.9161°，制動速度脈沖大小為1037.64m/s，總體轉(zhuǎn)移時間為1424.33s。軌道設計算法在CPU為3.0GHz的微機配置下，由Matlab編程實現(xiàn)，2種軌道設計結(jié)果分別僅耗時2.55ms和5.51ms，說明算法具有很高的實時性。

5 結(jié)論

針對空天再入飛行器最優(yōu)過渡段軌道設計問題，提出了一種求解離軌制動脈沖解析算法，并給出了確定最優(yōu)制動點位置的一種迭代算法。從再入角關于初始航跡角的函數(shù)關系式出發(fā)，推導出由已知再入角求解初始航跡角的解析公式，進而由得到的初始航跡角計算離軌制動脈沖，避免了迭代計算，保證了算法的實時性。以初始軌道飛行弧段對應的地心角為迭代變量，采用黃金分割法迭代求解了最短轉(zhuǎn)移時間和最省燃料制動點位置。通過仿真算例證明了算法的可行性和較強的實時性，該算法對于天地往返的空天飛行器或天基再入對地打擊武器等的過渡段軌道設計具有很高的參考應用價值。

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Research on Optimal Transition Trajectory Planning for Reentry Vehicle

GUO Fuming GAO Xiaoguang DUAN Junhong

School of Electronic and Information Technology，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710129，China

Amethodoftheoptimaltransitiontrajectoryplanningisproposedfortheproblemofplanningthetransitiontrajectoryofthereentryvehicleonconditionthatthereentrylocationandreentryanglearefixed.Firstly,onconditionofagivenbrakingposition,theconstraintofthevelocityincrementistransformedintoflyoutangleinterval.Secondly,theformulatocalculatetheflyoutanglebyusingknownreentryangleisderived,andthenthede-orbitthrustandthetransfertimecanbecalculated.Finally,theoptimalbrakingpositionsoftheoptimaltransfertimeandtheoptimalfuelconsumingarecalculatediteratively.Thesimulationresultapprovesthatthemethodproposedissimpleandhighreal-time,whichpossesseshighapplicationvalueforthechoiceofthebrakingpositionandthede-orbitthrustcalculationofreentryvehicle.

Transitiontrajectory；De-orbitthrust；Reentryangle；Optimalbrakingposition

2013-09-10

郭付明(1987-)，男，河南鶴壁人，碩士研究生，主要研究方向為先進火力控制技術；高曉光(1957-)，女，遼寧鞍山人，博士，教授，主要研究方向為航空武器系統(tǒng)效能分析與先進火力控制技術；端軍紅(1983-)，男，河北邢臺人，博士研究生，主要研究方向為先進火力控制技術。

1006-3242(2014)04-0069-06

V448.235

A